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1、第 章7 多元函数微分法及其应用 推广一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同一、平面点集的有关概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性Ch7-1 多元函数的基本概念 1. 邻域 一、平面点集的有关概念2. 区域例如，即为开集开区域闭区域(a)(b)(c)(d)(6) 区域 连通的开集称为区域或开区域 开区域连同它的边界一起称为闭区域(a)(b)(c)(d)有界闭区域；无界开区域例如，3. 有界集4. 聚点(1) 内点一定是聚点；(2) 边界点一定是聚点；例如，(0,0)既是边界点也是聚点说说 明明(3) 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E例如,(0
2、,0) 是聚点但不属于集合例如,边界上的点都是聚点也都属于集合5. n维空间(1) n维空间的记号为注：注：(2) n维空间中两点间距离公式 注：n维空间中邻域、区域等概念特殊地, 当n=1，2，3 时，便为数轴、平面 、空间两点间的距离内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义邻域：设两点为1. 引例 圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦(秦九韶)公式二、多元函数的概念类似地可定义三元及三元以上函数定义 1 设D是平面上的一个点集，则称映射 f:DR为定义在D上的二元函数，2. 二元函数的定义点函数符号 f (P) 例1 解所求定义域为二元函数的图形通常是一张曲面.3. 二元函数z
3、=f(x,y) 的图形例如, 二元函数定义域为圆域图形为中心在原点的上半球面.三元函数 定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球三、多元函数的极限1. 定义（1）定义中 PP0 的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似（4） 二元以上的函数的极限可类似地定义。说说 明明例2 用定义证明 证明:原结论成立2二元函数极限问题举例 例3 求极限 解其中例4 证明 分析：要证明二重极限不存在，可使P选择不同的路径而趋于P0，如有不同的极限，则二重极限不存在。证明：令P沿直线y=kx而趋于点P0(0,0),则有显然，此极限值随k的变化而变化,所以二重极限确
4、定极限不存在的方法：定义3(1) 间断点的判别与一元函数类似。(2)多元函数不仅有间断点而且有间断线。1.多元函数连续性的定义 四、 多元函数的连续性说说 明明例如, 函数在点(0 , 0) 极限不存在 (例4), 又如, 函数上间断.故 ( 0, 0 )为其间断点.在圆周多元初等函数：由常数及不同自变量的一元 基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步 骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫 多元初等函数定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域2. 多元初等函数的连续性 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的例5解3. 闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上 至少取得它的最大值和最小值各一次在有界闭区域D上的多元连续函数，如果 在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取 得介于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理（2）介值定理小结本节主要讨论了多元函数的概念、多元函数极限及连续的概念本节要求了解多元函数极限及连续的概念，知道多元初等函数的连续性及有界闭区域上连续 函数的性质，会求一些二元函数的极限思考 ： 解：当P沿直线y=kx而趋于(0，0)点时， 当P沿曲线y=kx2而趋于(0，0)时,它是与k的取值有关的，所以二重极限
