《实对称矩阵的对角化》由会员分享，可在线阅读，更多相关《实对称矩阵的对角化（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 实对称矩阵的对角化 一个n阶方阵可以对角化的充分必要条件是具 有n个线性无关的特征向量 而并非所有n阶方阵都 能对角化 但实对称矩阵都是可以对角化的 v定理3 实对称阵的特征值为实数 设复数为对称阵A的特征值 复向量x为对应的特 征向量 即Axx x0 证明 显然有 于是有 两式相减 得 但因x0 所以 显然 当特征值i为实数时 齐次线性方程组 (AiE)x0 是实系数方程组 由|AiE|0知必有实的基础解系 所以对应 的特征向量可以取实向量 v定理4 设1 2是对称阵A的两个特征值 p1 p2是对应的特征 向量 若12是 则p1与p2正交 证明 已知Ap11p1 Ap22p2 12 因为
2、A对称 故 p1TA p1TAT (Ap1)T (1p1)T 1p1T 于是 1p1Tp2 p1TAp2 p1T(2p2) 2p1Tp2 即 (12)p1Tp20但12 即p1与p2正交 故p1Tp20 注：对称阵的属于不同特征值的特征向量是正交的 v定理5 设A为n阶对称阵 则必有正交阵P 使P1APPTAP 其 中是以A的n个特征值为对角元的对角矩阵 v推论设A为n阶对称阵 是A的特征方程的k重根 则矩阵AE 的秩R(AE)nk 从而对应特征值恰有k个线性无关的特征 向量 求正交矩阵Q化实对称矩阵A为对角阵的计算步骤：(1) 求A的特征值，设 的基础解系，得（2）对每个求特征向量，即求分别
3、作Schmidt正交化单位化，得到一组标准正交向量组则Q是一个n阶的正交矩阵，且其中（3）对每组向量（4）令为对角阵。解：（1） 例4 设，求正交矩阵Q ，使得 得（2）将 求得基础解系：将解得基础解系为：（3）进行正交化；单位化：（4）令Q是正交矩阵，且提示 例2 设 求An 因为A对称 故A可对角化 即有可逆向量P及对角阵 解 从而AnPnP1 于是APP1 使P1AP 因为|AE|(1)(3)对应11 解方程(AE)x0对应13 解方程(A3E)x0于是有可逆矩阵P(p1 p2) 及diag(1 3) 使 P1AP 从而 或APP1 AnPnP1 所以A的特征值为11 23 得p1(1 1)T 得p2(1 1)T提示 例2 设 求An 解 因为|AE|(1)(3)对应11 解方程(AE)x0对应13 解方程(A3E)x0P1AP 从而 或APP1 AnPnP1 所以A的特征值为11 23 得p1(1 1)T 得p2(1 1)T于是有可逆矩阵P(p1 p2) 及diag(1 3) 使
