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1、因式分解（复习）南田中学：刘文周 义务教育课程标准义务教育课程标准 浙江版七年级下浙江版七年级下七年级数学备课组知识点1 因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的 形式，这种变形叫做把这个多项式因式 分解，也叫做把这个多项式分解因式 。X2-1 (X+1)(X-1)因式分解整式乘法知识点2 提公因式法多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公 共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式 的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+ mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中 一个因式是各项的公因式m，另一个因式 (a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商，像 这种分解因式的方法叫做
2、提公因式法. 例如：x2 x = x(x-1)，8a2b-4ab+2a = 2a(4ab-2b+1) x 2a探究交流 下列变形是否是因式分解？为什么? (1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)；(2)x2-2x+3=(x-1)2+2；(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；(4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.提公因式错误，可以用整式乘法检验其真伪. 不满足因式分解的含义 因式分解是恒等变形而本题不恒等. 是整式乘法. 典例剖析 例1 用提公因式法将下列各式因式分解. (1)-x3z+x4y；(2)3x(a-b)+2y(b-a)解：(1)-x3z+x4y=x3
3、(-z+xy).(2)3x(a-b)+2y(b-a)=3x(a-b)-2y(a-b)=(a-b)(3x-2y)x3+ (b-a)- (a-b)(a-b)小结 运用提公因式法分解因式时，要注意下列问题： (1)因式分解的结果每个括号内如有同类项 要合并，而且每个括号内不能再分解. 如：(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y) =(x+y)(7m-8n)-(3m-2n) =(x+y)(4m-6n). =2(x+y)(2m-3n).(2)如果出现像(2)小题需统一时，首先 统一,尽可能使统一的个数少，这时注意到 (a-b)n=(b-a)n(n为偶数) 例如：分解因式a(x-y)2+b(y-
4、x)3+c(y-x)2.本题既可以把(x-y)统一成(y-x)，也可以把(y-x) 统一成(x-y),但比较而言把(x-y)化成(y-x)比较简 便，因为(x-y)2=(y-x)2. a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2=a(y-x)2+b(y-x)3+c(y-x)2 =(y-x)2a+b(y-x)+c =(y-x)2(a+by-bx+c).(3)因式分解最后如果有同底数幂，要写成 幂的形式.例如：(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b) =(a-2b)(7a-8b)+(a-8b) =(a-2b)(8a-16b) =8(a-2b)(a-2b) =8(a-2b)2.做一做
5、把下列各式分解因式. (1)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b)；(2)4p(1-q)3+2(q-1)2；2(2a+b)22(1-q)2(2p-2pq+1)或2(q-1)2(2p-2pq+1)(2)完全平方公式：a22ab+b2=(ab)2其中，a22ab+b2叫做完全平方式. 例如：4x2-12xy+9y2=(2x)2-22x3y+(3y)2=(2x-3y)2.知识点3 公式法(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).例如：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3). 探究交流 下列变形是否正确？为什么？ (1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y)；
6、(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2；(3)x2-2x-1=(x-1)2. 目前在有理数范围内不能再分解. 不是完全平方式，不能进行分解 不是完全平方式，不能进行分解例2 把下列各式分解因式. (1)(a+b)2-4a2 ； (2)1-10x+25x2； (3)(m+n)2-6(m+n)+9 解:(1)(a+b)2-4a2=(a+b)2-(2a)2做 一 做 把下列各式分解因式. (1)(x2+4)2-2(x2+4)+1； (2)(x+y)2-4(x+y-1).(1)(x2 +3)2 (2)(x+y-2)2(2)1-10x+25x2 (3)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3
7、)2.=(a+b+2a)(a+b- 2a)=(3a+b)(b-a) =(1-5x)2=1-10x+(5x)24a2(2a)2 +2a-2a25x2(5x)2综合运用 例3 分解因式. (1)x3-2x2+x；(2)x2(x-y)+y2(y-x) 解:(1)x3-2x2+x=x(x2- 2x+1)=x(x-1)2(2)x2(x-y)+y2(y- x)x=x2(x-y)-y2(x-y)=(x-y)(x+y)(x-y) =(x+y)(x-y)2=(x-y)(x2-y2)小结 解因式分解题时，首先考虑 是否有公因式，如果有，先提公因式； 如果没有公因式是两项，则考虑能否用 平方差公式分解因式. 是三项式考虑用 完全平方式，最后，直到每一个因式都 不能再分解为止. 探索与创新题 例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= 分析:完全平方式是形如：a22ab+b2即两数 的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差). 9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2 kxy=23x6y=36xy k=36 做一做 若x2+(k+3)x+9是完全平方式，则k=_ k=3或k=-9 课堂小结用提公因式法和公式法分解因式, 会运用因式分解解决计算问题.各项有“公”先提“公 ”， 首项有负常提负， 某项提出莫漏“1”, 括号里面分到“底”。
