塑性本构方程

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1、第八章 塑形本构关系引言:塑性变形规律的复杂性, 到目前为止这个塑性本 构关系问题还没有得到满意的解决.经典塑性本构关 系的理论分为两大类:(1)全量理论, 又称为形变理论, 它认为在塑性状态下 仍有应力和应变全量之间的关系. 包括：Hencky(亨奇)理论（1924）：不考虑弹性变形和材 料硬化。 （理想刚塑形模型）Nadai理论（1938）：考虑有限变形和材料硬化，但 总变形中不考虑弹性变形。Ilyushin (伊柳辛)理论（1943）：考虑有限变形和材 料硬化。(2)增量理论, 又称为流动理论, 它认为在塑性状 态下是塑性应变增量和应力及应力增量之间的随 动关系.增量理论能够反映应力历史

2、的相关性， 但数学处理相对复杂。塑性力学早期的增量理论 有Levy-Mises(莱维-米泽斯)理论和Prandtl- Reuss(普朗特-罗伊斯)理论. 20世纪50年代，随着Drucker公设和稳定材料 的定义，正交流动法则概念的提出，塑性力学有 了很大的发展。这些定义和概念建立了屈服面或加载面与塑性 应变的联系，为塑性应力-应变关系的描述提供 了统一方法。Shield和Ziegler指出, 建立塑性本构关系需要考虑三个 基本要素:(1)初始屈服条件;(2)流动法则;(3)加载条件.其中(1) 在第六章已经解决, 本章要解决第(2) ;(3)点.yy8-1 塑性应变增量进入塑性状态后，应变不

3、仅取决于应力状态 ，而且 还取决于达到该应力状态的历史，描述历史引入一个 内变量 。材料从当前状态卸载后，恢复的应变为弹性应变，保 留的应变为塑性应变。即在某一状态下的应变可分解 为： 假设卸载过程为弹性与开始卸载时的应力 和内变量 有关非线弹性加载塑性引起弹性性质改变为常张量，可由弹性本构方程确定弹性本构方程卸载过程中卸载完成，应力状态为零，对应的残余变形即塑性应变：对应的塑性增量由：得：由：得：(1)理想塑性材料的加载和卸载准则. 理论塑性材料是无硬化的, 屈服条件与加载历史无关, 初始屈服 面和后继屈服面是重合的. 即 屈服面法线方向加载卸载的梯度方向如图所示弹性状态;加载;卸载.8-2

4、 加卸载判别准则(2)硬化材料的加,卸载准则.中性变载加载卸载后继屈服面对于硬化材料,后继屈服面和 初始屈服面不同, 与塑性变 形的大小和历史有关. 加,卸载准则为:加载;中性变载;卸载.中性变载是指不产 生新的塑性变形.所示的材料,随加载应力,应变都增加,材料是硬化的. 在这 一变形工程中,附加应力在应变增量上作正功,这种特性的材料 被称为稳定材料或硬化材料. 所示,应力应变曲线在过D点 以后, 应变增加,应力减小,此时应力增量作负功, 这种特性的材 料被称为材料不稳定或软化材料. 所示,与能量守恒矛盾,所 以不可能.8-3 Drucker公设和Ilyushin公设一、Drucker公设 1

5、. 稳定材料和不稳定材料. 材料的拉伸应力应变曲线可能有:2. Drucker公设 从右边的单向拉伸应力应变 曲线看, 对于稳定材料, 如果 从 开始加载到 再到, 然后卸载,此时弹性 应变可以恢复, 相应的弹性 应变能完成释放, 但塑性变 形不能恢复被保留下来, 消 耗的塑性应变能是图上的红 框包围的两块面积A,B被保 留下来.它们是恒大于零的:第二式中的等号适用于理想 塑性材料. Drucker把它引伸到复杂应力 情况,这就是Drucker公设.Drucker公设在塑性力学中有 重要意义.3. 屈服面的外凸性和塑性应变增量的法向性我们如将塑性应变空间与应力空间重合起来,由Drucker公

6、设的第一式, 把它看成是两个矢量的点积.图示即为这两个矢量的夹角, 必定为锐角. 在这种情况下, 一定在屈服面 点的外法线方向 上, 因为 点在屈服 面内, 的活动范围是 点的切线 方向到反切线方向( ), 要 与它夹角是锐角就一定在法线方向上, 并且屈服面一定是外凸的. 如果屈服面不是外凸的, 如左图所示,夹 角有可能是钝角, Drucker公设不成立. 上面提到 是在屈服面的 点的外法线方向上. 这称为塑 性应变增量的法向性. 我们知道如果屈服函数为势函数, 屈服面 即为等势面, 它的外法线方向和它的梯度方向一致, 则 和 梯度矢量的分量成正比,即其中 为一个大于零的比例系数.称为与屈服条

7、件相关联的 塑性流动法则.也称为塑性应变增量的正交流动法则对研究塑性力学的本构关系有重要意义. Drucker公设的第二式是加载准则. 它的几何意义是当 不为零时, 的方向必须指向加载面外法线一侧, 即因为 , 所以这就是加载准则.二、Ilyushin共设Drucker共设是在应力空间中进行讨论的，只适 用于稳定材料。对应变软化材料（非稳定材料）-岩土材料-不 能完全适用。Ilyushin在应变空间中提出的塑性共设可适用于 稳定材料和非稳定材料。将加载面中的应力由应变表示，得到应变空间表 示的加载面。Ilyushin共设认为：在一个应变循环中，只要产 生塑性变形，外力所做的功不小于零。 在弹性

8、范围内, 广义Hooke定律可以表达为 也可以表示为:我们来证明一下: 由应力和应变的分解式,即 代入上面广义Hooke定律的公式,考虑到所以可以写成两个相应分解张量之间的关系.8-4 全量理论及本构方程（p:278) 所以也可写成如下形式 当应力从加载面卸载, 也服从广义Hooke定律,写成增量形式这是七个方程第二个式子是六个方程,但因为有 , 所以有5个是独立的. 从第二式可以看到在弹性范围内应力主轴和应变主轴是一致 的. 应变偏量的分量和相应的应力偏量的分量成正比. 第二式也可以写成 ,把它代入等效应力的表达式 就可以得到下面的第二式, 然后有 再代回上面第 一式得到下面的第二式.Ily

9、ushin在1943年提出的硬化材料在弹塑性小变形情况下的本 构关系, 这是一个全量型的关系, 类似于广义Hooke定律. 在小 变形的情况下作出下列关于基本要素的假定:(1) 体积变形是弹性的, 即(2) 塑性应变张量和应力偏张量成比例 这个假定就是应力和应变的定性关系, 即方向关系和 分配关系. 方向关系指应变偏量主轴和应力偏量主轴 重合, 也即应变主轴和应力主轴重合,而分配关系是指 应变偏量和应力偏量成正比. 形式上和广义Hooke定律相似, 但这里的比例系数不是一 个常数.这是一个非线性关系.下面我们来看一下这个系数 等于什么?总的偏应变张量：一、全量理论因为等效应力和等效应变的公式为

10、:把 代入上面右式并考虑上面左式得到(3)等效应力是等效应变的函数 , 实验证明：当材料为不可压缩时，按照不同应力路径所得 出的 曲线与单轴拉伸时的 曲线相近，在工 程计算中视为相同。即单一曲线假定.可用单轴拉伸曲线确 定 。综上所述, 全量型塑性本构方程为注意的是上式只是描述了加载过程中的弹塑性变形规律. 加 载的标志是等效应力 成单调增长. 下降时为卸载过 程, 它服从增量Hooke定律.对可压缩材料，按照不同应力路径所得出的 曲线 与单轴拉伸时的 曲线不一致，不能用单轴拉伸曲线 确定 。对单一曲线假定做修改，表述为：按照不同应力路径所得 出的 曲线与单轴拉伸时的 曲线一致。二、全量理论的

11、基本方程及边值问题的提法设在物体 内给定体力 ,在应力边界 上给定面 力 , 在位移边界 上 给定位移为 , 要求确 定物体内处于塑性变形 状态的各点的应力 , 应变 和位移 .按照全量理论,确定这些基本未知量的基本方程有平衡方程几何方程本构方程其中边界条件这就是对于全量理论的塑性力学的边值问题.三、全量理论的适用范围 全量理论适用小变形并且是简单加载.简单加载：在加载过程中物体每一点的各个应力分量按比 例增长. 即其中 是某一非零的参考应力状态, 是单调增加的参数 .这样定义的简单加载说明, 在加载时物体内应变和应力的主方 向都保持不变. 但是物体内的内力是不能事先确定的, 那么如何判断加载

12、过 程是简单加载? Ilyushin指出, 在符合下列三个条件时, 可以 证明物体内所有各点是处于简单加载过程:(1) 荷载(包括体力)按比例增长.如有位移边界条件应为零. (2) 材料是不可压缩的. (3)等效应力和等效应变之间幂指数关系, 即 这就是Ilyushin简单加载定律.有人认为只有第(1)条就可以了 .塑性应力应变关系的重要特点时它的非线性和不唯一性. 全 量理论则企图直接建立全量形式表示的与加载路径无关的本 构关系, 一般是不正确的. 本构关系应该是它们的增量之间的关系. 这就是增量理论, 也 就是流动法则.这里介绍两个增量理论. 即Levy-Mises流动法则和Prandtl

13、- Reuss流动法则.8-5 理想弹塑性材料的增量本构关系一、Levy-Mises流动法则和Prandtl-Reuss流动法则1. Levy-Mises流动法则 这个理论认为应变增量主轴和应力 主轴重合, 应变增量分量与相应的应力偏量分量成比例, 即式中的比例系数决定于质点的位置和荷载的水平. 这一理论是 Levy和Mises分别在1871年和1931年独立提出的, 所以被称为 Levy-Mises流动法则. 这个关系式不包括弹性变形部分, 所以只 适用刚塑性体.2. Prandtl-Reuss流动法则 这个理论考虑了塑性状态变形中 的弹性变形部分, 并认为弹性变形服从广义Hooke定律;

14、而对于 塑性变形部分, 被认为塑性应变增量的主轴和应力偏量的主轴 重合. 即又由塑性不可压缩性, 体积变化是弹性的,有这就是 Prandtl- Reuss流 动法则二、理想弹塑性材料的增量本构方程 对于理想弹塑性材料, 后继屈服面和初始屈服面是重 合的. 若采用Mises条件, 有屈服函数Prandtl-Reuss本构关系又因为应变比能的增量为上式第一项是体积比能增量,第二项为形状变形比能,记为 这样考虑Levy-Mises定律有:所以有 理想弹塑性材料的增量型本构方程可以写为 如果塑应变增量比弹性应变增量大得多：或Levy-Mises本构关系即理想刚塑性材料的 增量本构方程对于一个材料的微元

15、体，给定应力，使材料进 入屈服后。关于比例因子比例因子的不能通过本构方程确定。公式确定的是塑性应变的方向，即各分量的比例关系，但 大小是任意的，即是任意正值。增量实际问题中，如已屈服的微元体周围的物 体仍为弹性，由变形协调条件，微元体的变形 要受到周围物体的限制，而不能任意发展，这 时 是确定的。但不能由微元体本身的本构 关系确定，而是由问题的整体条件确定。的讨论：8-6 弹塑性硬化材料的增量型本构方程 对于弹塑性硬化材料, 采用等向硬化模型, 取Mises屈服条件, 即(对于理想弹塑性Mises条件为 )去掉弹性理想弹塑性上式微分得到是函数 对自变量的导数, 有简单的物理意义, 见上图. 在线性强化时 时常数.所以也称为塑性模量。 将上面得到的 代入Levy-Mises流动法则就得到弹塑性硬化 材料的增量型本构方程:或写成:例题3-1 如图所示, 一薄壁圆管,其材料的拉伸硬化曲线 为线性.试根据增量理论分别对下列三种加载路径求管 的总轴向应变 和切向 应变(1)先拉后扭OAB(2)先扭后拉OCB(3)拉扭同时,并保持 比例,如图OB.屈服曲线解: 根据题意薄壁圆管的应力只有 ,每一加载路径分为弹性和 弹塑性两个阶段, 在弹塑性阶段本构关系有:下面分三个路径进行计