高等电磁场第一章1

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1、高等电磁理论高等电磁理论教材教材：杨儒贵：杨儒贵 高等电磁理论高等电磁理论 高等教育出版社高等教育出版社 参考书参考书：1 1、“ “电磁理论电磁理论” ” 方面的书方面的书2 2、金亚秋、金亚秋 电磁散射与热辐射的遥感理电磁散射与热辐射的遥感理 论论科学出版社科学出版社第一章 基本电磁理论第二章 平面波第三章 辅助函数第四章 电磁定理和原理第五章 电磁散射理论（随机粗糙面散射）第一章第一章基本电磁理论基本电磁理论 麦克斯韦方程组 介质的电磁特性 边界条件 辐射条件 电磁能量与能流 磁荷与磁流 电磁微分方程 Green定理 矢量场唯一性定理 Helmholtz定理1.1 Maxwell 方程组

2、1.1.1 时变电磁场1864 年， Maxwell 高度概括和完整总结了宏观电磁现象基 本规律，并给出了严格的数学表达式，即积分形式微分形式依次称为 Maxwell 方程的第一、二、三、四方程。 Maxwell 方程组的独立方程和非独立方程 Maxwell 方程中四个方程并不完全是独立的。只有两个 旋度方程是独立的，而散度方程可由旋度方程和电流连续 性方程导出。即独立方程为： 由旋度方程和电流连续性方程可导出散度方程 独立方程和非独立方程也不是绝对的如由 Maxwell 方程 1 和 4 可导出电流连续性方程Maxwell 方程组的辅助方程 无论选择哪三个方程作为独立方程，这三个独立方程中包

3、 含 5 个场矢量 E 、 D 、 B 、 H 和 J 以及一个标量 ， 共有 16 个标量函数。三个独立方程对应有 7 个标量方程 ，还需要 9 个标量方程。这就是表述场矢量与媒质特性关 系的方程，称为媒质的本构关系或组成关系。在线性、各向媒质中，有媒质的本构关系即 Maxwel 方程组的辅助方程是在导电媒质中电场产生的传导电流密度注：在物质中， 其中， 是外部源（如电池中的化学能）产生的电流密度是运流电流1.1.2 正弦电磁场 正弦电磁场：电磁场中矢量的每个坐标分量及标量函数都 随时间以相同的频率作简谐规律变化的时变电磁场，也称 时谐电磁场。一、场量和场源的复数形式 对任何简谐变化的场矢量

4、可用复矢量表示 以电场强度为例，考虑直角坐标系电场强度的三个分量可用余 弦函数表示用复数的实部表示式中称为时谐电场的复振幅 对任何简谐变化的标量，如电荷分布、电位可用复标量表示 场量对时间微积分的复数表示 场量对空间求导的复数表示二、Maxwell方程组的复数形式1.2 介质的电磁特性均匀介质线性介质 各向同性介质色散介质介电常数、磁导率、电导率若外加场强的方向改变时，介电常数、磁导率 、也发生变化，成为各向异性介质。引入张量介电常数、张量磁导率仅具有张量介电常数的介质称为电各向异性介质，仅 具有张量磁导率的介质称为磁各向异性介质。具有标量介电常数和标量磁导率的介质称为各向同性 介质。例：处于

5、恒定磁场中的等离子体具有电各向异性，处 于恒定磁场中的铁氧体具有磁各向异性。一旦恒定磁场消失，等离子体和铁氧体都是各向同性 介质。晶体是一种典型的电各向异性介质。若介电常数和磁导率分别为：则称为双轴介质。若矩阵中的两个对角线元素相等， 则称为单轴介质。若介电常数和磁导率分别为：则分别称为旋电介质和旋磁介质。等离子体和铁氧体在恒定磁场的作用下，分别成为旋 电介质和旋磁介质。若介质的电磁特性方程可表示为：式中 称为电磁张量，这种关系表明介质的极化特性 和磁化特性之间存在耦合关系，电场不但可使介质极 化，也可使其磁化，同样磁场也使这种介质同时发生 磁化和极化，具有这种特性的介质称为双各向异性介 质。

6、一切运动介质都会显示双各向异性或双各向同性 （ 均为实标量）。1.3 边界条件在两种不同媒质的分界面上场量所满足的关系称为边 界条件，是场方程在边界上的特殊形式边界处应利用积分形式的 Maxwell 方程分析；设界面的法线方向是由媒质 1 指向媒质 2 ，用 表示1.4 辐射条件电磁场中边值问题的求解场区有两类：闭区域的边值问题：麦克斯韦方程、结构方程、边界条件开区域的边值问题：麦克斯韦方程、结构方程、辐射条件辐射条件：若所有的场源均在有限空间中，则无限远处的场需 满足的条件。若空间是有损耗的，则无限远处的场的任一横向分量满足：若空间是无损耗、均匀的，则：三维情况：可以证明无限远处的场一定是T

7、EM波无限远处电磁场的振幅下降至少比 要快。二维情况：物理含义与三维情况类似。对于无耗空间，三维和二维无限空间 电磁场的振幅衰减是由于无限远处电磁场本身的发散特性导致的 。 一维情况：振幅与距离无关一维空间的电磁场形成平面波，自身不具有发散特性。矢量场表达的辐射条件：1.5 电磁能量与能流 一、坡印廷定理 时变场中电场和磁场是随时间、空间变化的，而磁场和电场均存贮着 能量，因此能量的流动是时变场中的一个重要现象。 流动的能量同空间媒质所消耗的能量以及电磁储能之间应满足能量守 恒定律，即Poynting定理，也称能流定理。在线性、各向同性的无源媒质中：得坡印廷定理 的微分形式单位时间内 流入单位

8、体 积中的能量单位体积内电场能量和磁场能量的增加率单位时间单位体积 内焦耳热损耗取体积分，由高斯定律得坡印廷定理的积分形式：由于假设体积V内无外加源，根据能量守恒定律，等式左端为 单位时间内穿过闭合面S进入体积V的能量体积V内电场能量和磁场能量的增加率单位时间内体积V 内焦耳热损耗 坡印廷定理的物理意义微分形式外界向电磁场某点提供的电磁功率密度，等于该点电磁场能量密度的时间增加 率，与对这点自由电荷提供的功率密度之和。积分形式某时刻外界通过闭合面进入其所包围体积V中的电磁功率，等于V中电磁场能量 的时间增加率，与V中焦耳热损耗的瞬时功率之和。坡印廷定理是电磁场中的能量守恒和转换定律。它清楚地表

9、明，电磁场是能量的携带者和传播者。二、坡印廷矢量由坡印廷定理可知， 表示通过闭合面S的总瞬时功率。定义：为坡印廷矢量，也称为能流密度矢量大小：表示通过单位面积的瞬时功率，即瞬时功率流密度单位：单位面积上流过的功率，瓦/米2（W/m2）方向：该点瞬时功率流动的方向，与E和H成右手螺旋关系。三、复坡印廷定理及坡印廷矢量 前面讨论了与瞬时功率相关的坡印廷定理及坡印廷矢量瞬时形式的坡印廷定理：瞬时形式的坡印廷矢量： 一般，S的大小和流向都是随时间变化的，为了能对能流的大 小有一个更明确的判断，往往需要知道其时间平均值。 瞬时形式的坡印廷定理也不便表达由介质色散所导致的功率损 耗，它只能用复数形式，即在

10、频域进行分析。 下面讨论与时谐场平均功率及平均功率流密度相关的复坡印廷 定理（又称频域中的坡印廷定理）及坡印廷矢量两端同乘以1/2，得：复数Poynting定 理的微分形式对体积V积分，得：复数Poynting定 理的积分形式物理含义： 右端的实部，即第一项表示体积V内实际热损耗功率的平均值 右端的虚部，即第二项表示体积V内磁场储能与电场储能的时间平均值之差 的2w倍。磁场能量密度的 时间平均值电场能量密度的 时间平均值热损耗功率的时 间平均值 左端应表示通过闭合面S进入体积V内的复功率。 其中，进入闭合面S所围体积V内的有功功率，等于体积V内损耗的平均功率 （焦耳热损耗）。而进入闭合面S所围

11、体积V内的无功功率，等于体积V内储 存的磁场能量时间平均值与电场能量时间平均值差值的2w倍。复数坡印廷矢量表示穿过单位面积的复功率，代表复功率密度平均坡印廷矢量表示穿过单位面积瞬时功率的时间平均值，是平均功率流密度或有功功率流 密度，即已知，电荷和电流是产生电磁场唯一的源，自 然界中至今尚未发现真实的磁荷及磁流存在。但是 对某些电磁场问题的分析，引入磁荷和磁流的概念 较方便。1.6 磁荷和磁流由于自然界中没有发现磁荷和磁流 ，因此上两式中有电荷密度和电流密度 项，但没有磁荷密度和磁流密度项，即 麦氏方程组中电和磁是不对称的。作为一种分析方法，我们可以把某些 真实的场源等效为假想的磁荷和磁流，这

12、 样应用对偶原理，使得某些问题的分析计 算大大简化。若将场源电流激发的磁场看作场源，即将这一 部分磁场看作局外场，由局外场在空间中激发电场 ，这样麦氏方程中第二方程写为： 表示局外 时变磁场令则称为磁流密度，它是电场的漩涡源。我们视磁流为磁荷流，并引入磁流连续性方程 ：称为磁荷密度，对第二方程取散度，得对于时变场，及均不为零，且不可能是常数（随t的常数 ）即磁荷是磁场的通量源。若将一部分激励源作为电 荷、电流处理，而将另一部分 激励源看作磁荷、磁流，即空 间中同时存在电源和磁源时， 麦氏方程组为：引入磁荷和磁流后，认为磁荷产生磁场，磁流产生 电场，那么，由电荷及电流，磁荷及磁流共同产生的正 弦

13、电磁场满足的方程式为：为磁荷密度为磁流密度 麦克斯韦方程组的对称形式及对偶原理如果两个方程具有相同的数学形式，这两个方 程就称为对偶方程，方程中对应位置的量称为对偶 量，知道一个方程的解就能写出另一个方程的解， 这一原理称为对偶原理。若将电场和磁场分为两个部分，和以表示，即以和表示。一部分由电荷及电流产生，另一部分由磁荷和磁流产生，电荷和电流产生的电磁场方程，磁荷和磁流产生的 电磁场方程分别为上述两个方程组之间存在下述对偶关系：利用这些对偶关系，可以直接由电荷及电流产生的电磁场 结果导出具有相同分布特性的磁荷和磁流产生的电磁场。1.7 1.7 电磁微分方程电磁微分方程 在线性、各向同性、均匀的

14、静止理想介质（ ）中，电荷及电流、磁荷及磁流共同产生的正弦电 磁场方程式为： 其频域形式可表达如下：对于外源不存在的无源区， ，则方程变为： 利用矢量恒等式 ，考虑到对于均 匀各向同性的线性介质，在有源区内， 在有源区内，Maxwell方程的求解归结为根据给定的 源分布及其边界条件，求解非齐次的波动方程或 Helmholtz方程；在无源区内，归结为根据边界条件 ，求解齐次的波动方程或Helmholtz方程。而在无源内， ，则对于上述微分方程的求解，分为解析方法和 数值方法两种。其中，解析方法又可分为严 格解和近似解。数值方法求得的结果当然也 是近似的，不过，随着计算机技术的不断发 展，数值解的

15、精度通常均可满足工程要求。各种求解方法大致可以归纳如下图 上面提到的各种求解Helmholtz方程的方法都 有各自的优点和局限性，我们应根据具体的处 理对象予以综合考虑。 应该指出，鉴于工程电磁场问题的复杂性，即 各类电磁装置在其结构、几何形状上的复杂性 ，以及在材料性质变化上的复杂性，致使只适 用于某些典型的电磁场问题的各种解析方法， 例如分离变量法、变换法、镜像法和格林函数 法等，已经无法适应广泛工程问题分析求解的 需要。 因而，30余年来，随着计算机技术的飞速发 展，属于近似计算方法范畴的各种电磁场数 值计算方法得到了长足的进展，并最终已可 满足科技和工程方面对于数学模型精确分析 的实际需要。1-8 Green1-8 Green定理定理 Green定理是描述一个有限区域内存在的 两个标量场或矢量场之间的关系，因此具 有标量和矢量两种形式。1.8.1 1.8.1 标量标量GreenGreen定理定理 设在区域V中任意两个标量场 及 具有连续的二 阶导数，则下列等式成立式中S为包围体积V的闭合面； 为 在闭合面S的 外法线方向上的方向导数。如果令 为闭合面S的 外法线方向上的单位矢量，则上式又可写为若将标量 与 对调，等式仍然成立，得第二标量Green定理。第一标量Green定理。1.8.2 1.8.2 矢量矢量GreenGreen定理定理设在区域