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1、泰勒 级数泰勒(Taylor)级数洛朗 级数洛朗(Laurent)级数张红英张红英& 1. 问题的引入4.3 泰勒(Taylor)级数& 2. 泰勒级数展开定理& 3. 简单初等函数的泰勒展开式& 4. 小结一个幂级数的和函数在它的 收敛圆内部是一个解析函数。1. 问题的引入问题问题: : 任一个解析函数能否用幂级数来表达任一个解析函数能否用幂级数来表达？.内任意点如图:.K.幂级数性质回顾幂级数性质回顾：定理（泰勒级数展开定理）2. 泰勒(Taylor)级数展开定理Dk代入(1)分析 ：Dkz联合(I),(II)(*)式证明 ：注 ：(2) 展开式的唯一性 分析：设f (z)用另外的方法展开
2、为幂级数:直接法 间接法：由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分析运算和 已知函数的展开式来展开函数展开成Taylor级数的方法：3. 简单初等函数的泰勒展开式例1 解：直 接 法间 接 法例2 把下列函数展开成 z 的幂级数:解：(2)由幂级数逐项求导性质得：注:通过奇点判断收敛范围。4. 小结：F(z)在z0点解析& 1. 引入 4.4 罗朗(Laurent)级数& 2. 双边幂级数& 3. Laurent级数展开定理& 4. 函数的Laurent级数展开式& 5 小结回顾：f (z) 在z0解析思考：若 f (z) 在z0点不解析，但在圆环域 :R1z - z0R2 内解析，那么，f
3、(z)能否用级数表示呢？1. 引入f (z)在z0的某一个圆域z - z0R 内展开成 z - z0的幂级数 。例：由此推想，若f (z) 在R 1z - z0R2 内解析, f (z) 可 以展开成含有负幂次项的级数,即本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数数和计算留数的基础。2. 双边幂级数-含有负幂项的级数定义 形如-双边幂级数负幂项部分正幂项(包括常数项)部分是一幂级数，设收敛半径为R2 ， 收敛域：z - z0=R2 。收敛域 ：z0R1R2z0R2R1注： (2)在圆环域的边界z - z0=R1, z
4、 - z0=R2上,3. 洛朗级数展开定理定理(2)在许多实际应用中，经常遇到f (z)在奇点z0的去心邻域内解析，需要把f (z)展成洛朗（ Laurent ）级数来展开。级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为 洛朗级数的解析部分和主要部分。(3) 展开式的唯一性一个在某一圆环域内解析的函数展开为含有 正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f (z)的洛朗级数。 分析：Dz0R1R2cDz0R1R2c由唯一性，将函数展开成Laurent级数，主要用间接法。例1解4 函数的Laurent级数展开式例2解例3解例4xyo12xyo12xyo12解:无 奇 点注意首项解 (1) 在(最大的)去心
5、邻域例5yxo12(2) 在(最大的)去心邻域xo12练习：(1) Laurent级数与Taylor 级数的不同点： Taylor级数先展开求收敛半径R, 找出收敛域。 Laurent级数先求 f(z) 的奇点，然后以 z0为中心奇点为分隔点，找出z0到无穷远点的所有使 f(z) 解析的环域，在环域上展成级数。5 小结(3)根据区域判别级数方式：在圆域内需要把 f (z) 展成泰勒(Taylor)级数，在环域内需要把f (z)展成 洛朗( Laurent )级数。(1)对于无理函数及其它初等函数的洛朗展开式，可以利用已知基本初等函数的泰勒展开式，经过代换、逐次求导、逐次积分等计算获得。(4) 把f (z)展成洛朗级数的方法：(2)对于有理函数的洛朗展开式，首先把有理函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式。
