《生物统计学第九章 单因素方差分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《生物统计学第九章 单因素方差分析（61页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第九章 单因素方差分析One-factor analysis of variance 用6种培养液培养红苜蓿，每一种培养液做5次重复，测定5盆苜蓿的含氮量，结果如下表（单位:mg）。问用6种不同培养液培养的红苜蓿含氮量差异是否显著？盆号培养方法1 2 3 4 5194 326 270 321 330177 248 279 252 243170 194 91 119 158207 210 205 188 186143 144 118 116 142173 194 191 169 208方差分析 analysis of varianceANOVA由英国统计学家RAFisher于1923年提出。方差
2、分析是一种特殊的假设检验，是用来判断多组数据之间均数差异显著性的。它不同于t检验之处在于：它把所有数据放在一起，一次比较就对所有各组间是否有差异做出判断，如果没有显著性差异，则认为各组均数相同；如果发现有差异，再进一步比较是哪组数据与其它数据不同。方差分析中常用基本概念（一）试验指标 experimental index为衡量试验结果的好坏或处理效应的高低，在试验中具体测定的性状或观测的项目。（二）试验因素 experimental factor试验中所研究的影响试验指标的因素叫试验因素，常用大写字母A、B、C、等表示。单因素试验与两因素或多因素试验。固定因素与随机因素：是否可控制。（三）因素
3、水 level of factor试验因素所处的某些特定状态或数量等级称 为因素水，简称水。比如：不同的温度；溶 液不同浓度等。 （四）重复 repeat在试验中，将一个处理实施在两个或两个以 上的试验单位上，称为处理有重复；某一处理实 施的试验单位数称为该处理的重复数。本章主要内容第一节 单因素方差分析的基本原理第二节 单因素方差分析的基本步骤 教学重点：单因素方差分析的方法教学要求：1 掌握方差分析的概念、作用、基本原理与步骤2 掌握单因素试验资料的方差分析方法第一节 单因素方差分析的基本原理第一节 单因素方差分析的基本原理一、线性模型二、固定线性模型三、随机线性模型四、多重比较五、基本假
4、定（一）线性模型 linear statistical model 假设某单因素试验有a个处理，每个处理有n次重复，共有na个观测值。这类试验资料的数据模式如表9-1所示。一、线性模型一、线性模型表9-1 单因素方差分析的典型数据模式合计 X1 X2 X3 Xa 1 11 21 31 i1 a1 2 12 22 32 i2 a2 3 13 23 33 i3 a3 j 1j 2j 3j ij ajn 1n 2n 3n in an合计均数总体均数处理效应符号文字表述an因素水数 每一水的重复数 第i水的第j次观察值 第i水所有观察值的 和第i水均值全部观察值的和总均值第i水上的子样方差各处理总和、
5、均数、大总和、总均数是计算的一级数据，在本章我们采用了黑点符号体系法表示，要注意熟悉和掌握。可以分解为表示第i个处理观测值总体的均数。为了看出各处理的影响大小，将 再进行分解，其中表示全试验观测值的总体均数(overall mean)， 是第i个处理的效应(treatment effect),表示处理i对试验结果产生的影响。 是试验误差，相互独立，且服从正态分布N（0，2）。该式称为单因素试验的线性统计模型或数学模型 。（二） 方差分析的基本思路将a个处理的观测值作为一个整体看待， 把观察 值总变异的方和及自由度分解为相应于不同变异来源 的方和及自由度，进而获得不同变异来源的总体方差 估计值；
6、通过计算这些估计值的适当比值，就能检验各 样本所属总体均值是否相等。方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析。二 固定模型fixed model因素固定、效应也固定，反应到线性模型中即 为常数可要求 。1 假设固定模型的零假设为：备择假设为： 故an个观察值的总变异可分解为处理间的变 异和处理内的变异两部分。全部观察值的总变异可以用总均方来度量，处理间变异和处理内变异分别用处理间均方和处理内均方来度量。 2 方和与自由度的剖分总方和的拆分总方和的拆分三种方和的简便计算公式如下： 等重复时： 不等重复时： 在计算总方和时，资料中的各个观察值要受 这一条件约束，总自由度等于资料中观察值的总个数
7、减一，即an-1。总自由度记为dfT，则 dfT = an-1 。 在计算处理间方和时，各处理均数要受 这一条件的约束，故处理间自由度为处理数减1，即a-1。处理间自由度记为dft ，则dft= a-1。 总自由度的拆分总自由度的拆分 在计算处理内方和时，要受a个条件的约束，即 ，i=1,2,a。故处理内自由度为资料中观察值的总个数减a ，即an- a 。处理内自由度记为dfe，则dfe= an-a= a(n-1)。因为 na -1=(a-1)+(na-a)=(a -1)+ a(n-1)所以 dfT= dfA+ dfe综合以上各式得：总均方的拆分是通过将总均方的分子称为总离均差方和，简称为总方
8、和(SST) ，剖分成处理间方和(SSA)与处理内方和(SSe)两部分；将总均方的分母称为总自由度 ，剖分成处理间自由度 与处理内自由度 两部分来实现的。处理间均方（处理均方，MSA ）处理内均方（误差均方，MSe ）各部分方和除以各自的自由度便得到总均方、处理间均方和处理内均方,分别记为：MST(或ST2 )、 MSA(或SA2 )和MSe(或Se2 ),即MST= ST2 =SST/dfT;MSt= St2 =SSt /dft;MSe= Se2 =Sse /dfe注意： 在方差分析中不涉及总均方的数值，所以一般不必计算； 总均方一般不等于处理间均方加处理内均方。3 期望均方 expecte
9、d mean squares EMS若A是B的无偏估计，则称B是A的数学期望。处 理内均方MSe是误差方差2的无偏估计值，即2称为 MSe 的数学期望。4 统计量当零假设 成立时，处理效应的方差为零，亦即各处理观察值总体均数i (i=1，2，a) 相等时，处理间均方MSA与处理内均方一样，也是误差方差2的估计值。方差分析就是通过MSA 与MSe的比较来推断各处理均数 间差异的大小F= MSA2/ MSe2F具有两个自由度：df1=dfA=a-1;df2=dfe=a(n-1)。查附表7: 若F ，即P005，不能否定H0，可认为各处理间差异不显著； 若 F ，即001P005,否定H0，接受HA
10、，认为各处理间差异显著，标记“*” ; 若F ，即P001，否定H0，接受HA， 认为各处理间差异极显著，标记“*”。【例91】 某试验研究不同药物对腹水癌的治疗效果，将 患腹水癌的25只小白鼠随机分为5组，每组5只。其中A1 组不用药作为对照，A2、A3为两个不同的用中药组，A4 、A5为两个不同的西药组。各组小白鼠的存活天数如表7 2所示。表92 用不同药物治疗腹水癌小白鼠的结果药物各小鼠存活天数（j ）合计均A115 16 15 17 18816561 =1319A245 42 50 38 3921445796=9254A330 35 29 31 3516025600=5152A431
11、28 20 25 3013417956=3670A540 35 31 32 3016828224=5710合计x=75 712413 725105这是一个单因素试验，处理数a =5,重复数n=5。第一步：计算一级数据（见表）；第二步：计算SS e、SSA、 dfe 、 dfA矫正项 C=x2/an/（55）=2292196 总方和处理间方和 =248274-229196=190544处理内方和 SS e=SST -SSA=218304190544 =27760=20总自由度 dfT =an-1=25-1=24=5 5-1=24 处理间自由度 dfA=a-1=5-1=4=4处理内自由度 dfe
12、=dfT- dfA=24-4=20 =处理间均方 MSA=SSt /dfA = 190544 /4=47636 处理内均方 MSe=SSe /dfe = 27760 /20=1388 第三步：提出假设= 24零假设为： H0:各处理组小鼠存活天数差异不显著备择假设为： HA:各处理组小鼠存活天数差异显著第四步：计算统计量F=MSA/MSe=47636/1388=3432*第五步：查表根据df1=dft=4，df2=dfe=20 查附表7，得F001(4,20)=443第六步：做出推断及生物学解释：FF001(4,20)=443，P001。说明五个处理小白鼠存活天数差异极显著，用不同药物治疗小白
13、鼠腹水癌的疗效是不同的。在方差分析中，通常将变异来源、方和、自由度、均方和F值归纳成一张方差分析表，见表93。表93 表92资料的方差分析表变异来源方和自由度均 方F 值 处理间SSA 190544dfA 4MSA 476363422*处理内SSe 27760dfe 20MSe 1388 总变异SST 218304 dfT 24 F值应与相应的被检验因素齐行; 在表的左下方注出显著水。三、随机模型Random model 因素随机、效应不固定是试验误差，相互独立且服从正态分布不再为常数，且服从正态分布1 假设随机模型的零假设为：备择假设为： 2 总方和与总自由度的剖分：同固定模型3 数学期望：4 统计量F:注意：在做生物学解释时，固定模型中的结论只适用于检查的那几个因素水；随机模型中的结论可推广到这一因素的各个水。四、多重比较 (multiple comparisons)统计上把多个均数两两间的相互比较称为多 重比较。 （一）为什么要进行多重比较？ F值显著或极显著，否
