《行列式按行展开》由会员分享，可在线阅读，更多相关《行列式按行展开（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节 行列式按行（列）展开第一章 行列式例如一、余子式与代数余子式在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作叫做元素 的代数余子式例如引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有 元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的 代数余子式的乘积，即 例如证当 位于第一行第一列时,即有又从而再证一般情形,此时得得中的余子式故得于是有定理 行列式等于它的任一行（列）的各元 素与其对应的代数余子式乘积之和，即证二、行列式按行（列）展开法则例1证用数学归纳法例2证明范德蒙德(Vandermonde)行列式n-1阶范德蒙德行列式推论 行列式任一行（列）的元素
2、与另一行（列 ）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证同理相同关于代数余子式的重要性质例3. 已知行列式求： A31+A32+A33A34， A31+2A32+3A334A34解： 0例4 计算行列式解按第一行展开，得例5 计算行列式解二、k阶子式及其余子式和代数余子式在n阶行列式D中任选k行k列，位于这k行k列的交叉点处的k2个元素按原来的位置组成的k阶行列式M叫做D的一个k阶子式。在D中划去M所在的行与列，剩下的元素按原来的位置组成 的n-k子式N叫做M的余子式。设M所在的行数与列数依次为i1i2ik，j1j2jk，M的余子式N乘以 叫做M的代数余子式，记作A。在D中， M 是 的一个
3、2阶子式，N是 M 的余子 式，A 是 M 的代数余子式证明：共有k!(n-k)!项和，每项都是行列式D的项。I1行I2行Ik行J1列J2列Jk列其中，i1i2ik , j1j2jk ,这些行列交叉点元素的k阶 子式M为MM的余子式N为：NMN如果不看符号，MN中的每一项都是行列式D的项。可是事实上它们前面的符号不同。对于行列式D1MN的每一项都是D1的项，符号也相同。那么，MN或者说D1的每一项与D有什么差别？i1行i2行ik行J1列J2列Jk列其中，i1i2ik , j1j2jk ,这些行列交叉点元素的k阶 子式M为将i1行依次与（i1-1）, （i1-2）,1行交换，共进行了（i1-1
4、）次行交换。再将i2行依次与（i2-1）, （i2-2）,2行交换 ，共进行了（i2-2）次行交换。，经过（ik-k）次行交换 ，将ik行交换到第k行。同样的方法，再将j1, j2, ,jk列交换 到第1，2，k列。行列式D变成了D1。D与D1的符号之间的关系如何？即MN的项乘以 与D的项符号也相同又所以，MA的每一项都是D的一项Laplace定理M是k!项，A是(N-k)!项，所以MA是k!(n-k)!项等式右边是tk!(n-k)! = n!项和，其中每一项都是行列式D的项等式左边行列式D是由n！项的和构成。所以等式成立。例6 计算行列式解：按2，4行展开，只有三个2阶子式不为0对应的代数余子式为7例7证明1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列 式的计算化为低阶行列式计算的重要工具. 三、小结3. Laplace定理
