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1、第二节 二重积分的计算法 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、利用对称性计算二重积分（一）直角坐标系中平面区域的分类与表示一、利用直角坐标系计算二重积分平面区域简单区域非简单区域X-型区域：Y-型区域：（可用平行于坐标轴的直线划分为若干个间单区域）（二）在直角坐标系中化二重积分为二次积分1.若D为X-型区域，即 则2.若D为Y -型区域,即则推导：由定积分的几何意义，等于以D为底，曲顶柱体的体积V即另一方面，该曲顶柱体又可以看作 平行截面面积A(x)为已知的立体的体积设故以曲面为顶的例1 计算其中D 是直线 y1, x2, 及yx 所围的闭区域. 将D看作X型区域,
2、则将D看作Y型区域, 则解法1解法2计算其中D是抛物线所围成的闭区域. 及直线例2解例3 计算其中D 是直线 所围成的闭区域 . 解注下列积分“积”不出来:等.利用直角坐标计算二重积分的一般步骤:算积分画图形辨类型观函数定次序表区域化累次二重积分的计算, 积分次序是关键. 一画积分区域图, 二辨区域的类型, 三观被积之函数, 四定次序表区域, 五化累次算积分.例4计算其中D由曲线和直线围成.解解例6 交换积分的次序.解解例8计算解二、利用极坐标计算二重积分 (一)极坐标的概念有序数组 称为点M的极坐标,其中 为点M到极点O的距离, 为极轴Ox按逆时针方向转到射线OM的角. 规定:或其中:极径极
3、角 (二)极坐标与直角坐标的关系(三)平面区域在极坐标系中的面积元素(四) 极坐标系中平面区域的分类与表示平面区域简单区域非简单区域（可用从极点出发的射线与以极点为圆心的同心圆划分为若干个间单区域）(五)二重积分从直角坐标到极坐标的转换公式(六)极坐标系中化二重积分为二次积分的方法若则注积分次序为先对 后对(七)适合选用极坐标计算的情形(1)积分域 D与圆有关;(2)被积函数形如例9 计算，其中 解解例10 计算其中D 为由半圆所围成的及直线平面闭区域.例11 计算，其中D由曲线线 及 y 轴围成.解例12 将二重积分 化为极坐标形式的二次积分,其中 D为 :(1)由圆 围成的闭区域; (2)由圆 围成的闭区域.解(2)(1)三、利用对称性计算二重积分1. 积分域 D关于 x 轴对称,则是关于 y 的奇函数是关于 y 的偶函数2. 积分域 D关于 y 轴对称,则是关于 x 的奇函数是关于 x 的偶函数例13 计算其中D 由所围成.解由积分区域的对称性与被积函数的奇偶性，得解法一 由积分区域的对称性与被积函数的奇偶性，得解法二 由积分区域的对称性与被积函数的奇偶性，得xyo2-1思考题思考题解答另一方面,令
