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1、第三章 集合与关系3-6 关系的性质 授课人：李朔 Email:1一、自反性n P110 定义3-6.1 设R是A上的二元关系,如果对于 每个xX，有xRx,则称二元关系R是自反的。 R在X上自反(x)(xX xRx)例如: 实数集上的“,=都是传递的，人集合上的祖先关系 n 例如 A=1,2,3,4,R5=4,1,4,3,4,2,3,2 ,3,1,2,1是传递的.其关系图和关系矩阵如下 图。4练习n例：如A=a，b，c，R=，是A上的一个二元关系，问关系R具有哪些性质？为什么？答：R是对称且传递的，但R不是自反的，因为对于cA，没有 R。5练习n有人说：集合A上的关系R，如果是对称且传递的，
2、则它也是自反的。其理由是，从 aRb，由对称性得bRa，再由传递性得aRa，你说对吗？为什么？答：不对！因为不是每一个a， aRa成立。6n 自反性是说对于每一个xX，有R。n 对称性是说每当R，就有R，没 有要求对于每一个xX。n 传递性是说每当R，R时就有R ，也没有要求对于每一个xX。n 因此不能从一个关系是对称且传递的推出它是是 自反的。7四、反自反性n P111 定义3-6.4 设R是A上的二元关系,如果对于 每个xX，有R,则称二元关系R是反自反 的。R在X上反自反(x)(xX R)n数的大于关系，日常生活中的父子关系都是反自反的。n设R是X上的反自反关系，可知，R的关系矩阵MR的
3、主对角线全为0 ；在R的关系图中每一个结点上都没有自回路。 n 例如 设X=1,2,3，X上的二元关系R=1,2,2,3,3,1 ，R是反自反的,它的关系图，关系矩阵如下：MR=8四、反自反性n 例题3,R=1,1,1,2,3,2,2,3,3,3 既不是自反的,又不是反自反的。其关系图和关系矩阵如 下图所示。注意：一个不是自反的关系不一定就是反自反一个关系可能既不是自反的，也不是反自反的 9五、反对称性n 定义3-6.5 设R是A上的二元关系,如果对于每个x,yX， 每当有xRy和yRx必有x=y，则称二元关系R是反对称的。 R在X上反对称(x)(y)(xXyXxRyyRx Rxy) n设R是
4、X上的反对称关系，可知，在R的关系矩阵MR中以主对角线 为轴的对称位置上不能同时为1(主对角线除外)。在R的关系图中 每两个不同的结点间不能有方向相反的两条边。可以存在自回路 主对角线上可以为1。所以存在既是对称的又是反对称的关系。nP112 例 n例如 设X=1,2,3，X上的二元关系R=1,2,2,3,3,3，R是反 对称的。它的关系图，关系矩阵如下：MR=10思考练习例.给出集合A=1,2,3上的如下几个关系: R=, S=, T=, =空关系 AA=全域关系 满足自反性、对称性、传递性、反对称性、 反自反性的关系各有哪些？11思考练习例.给出集合A=1,2,3上的如下几个关系: R=,
5、 S=, T=, =空关系 AA=全域关系 判断它们各有哪些性质. 解:自反性:S,AA 对称性:S,AA 传递性:R,S,AA 反对称性:R,T, 反自反性:.12思考练习例.举出A=1,2,3上关系的例子,使它有下述性质 1既是对称又是反对称的; 2既不对称又不是反对称的; 3有传递性. 解: 1R=, 2R=, 3R=,*注意：存在关系既不是对称的，也不是反对称的。 也存在关系既是对称的，也是反对称的。 13思考练习n非空集合上的空关系具有哪些性质？答：是反自反的，对称的，反对称的和传递的，但不是自反的。n 非空集合上的全域关系具有哪些性质？答：是自反的，对称的和传递的，但不是反自反的和
6、反对称的。14思考练习n 如果R、S是A上的传递关系，证明：RS也是A上的传递关系。证明：设 RS ， RS ，则 R， R且 S ， S 。 因为R、S是A上的传递关系，所以R ， S ，从而 RS，即RS是A上的传递关系。15思考练习n注意：R、S均是传递的，但RS未必是传递的。n例：R=,，S=，则R、S均是传递的，但RS =, ,不是传递的。16思考练习例.给定S=1,2,3,4和S上的关系 R=,说明R不是 可传递的.找出一个包含R的关系,使得R1是可传递 的,还能找出另外一个,R2也是可传递的吗? 解:,R,但 R,故不传递.可取 R1=, 再添加一个元素可得到另外一个有传递性的关
7、系 R2 =,.17思考练习例.设R是集合X上的一个自反关系.求证:R是对称和 传递的,当且仅当和在R之中时必有 在R之中. 证明: 充分性. 1设R显然R(自反性) =R(条件)=R有对称性. 2设,R=,R(对称性) =R=传递性成立. 必要性. 设,R=,R(对称性) =R(传递性).18思考练习例 设A=1,2,3，定义A上的二元关系如下：R=1,1,2,2S=1,1,1,2,2,1T=1,2,1,3U=1,3,1,2,2,1 试说明R，S，T，U是否是A上的对称关系和反对称关系。解：R是A上的对称关系，也是A上的反对称关系。S是A上的对称关系。因为1,2和2,1都是S元素，而 12，所以S不是A上的反对称关系。因为1,2T，而2,1T，所以T不是A上的对称关系。 T是A上的反对称关系。U不是A上的对称关系，也不是A上的反对称关系。19思考练习例 设R是实数集合，S=x,y|xRyRx=y是实数集合上的等于关系。证明实数集合上的等于关系是 传递的。证明：xR，yR，zR，x,yS且y,zS由S的定义有x=y和y=z，由实数相等的概念得x=z。再根据S的定义，x,zS。故实数集合上的等于关系S是传递的。20本课小结n自反关系 n对称关系 n传递关系 n反自反关系 n反对称关系。21作业nP113 （5）22
