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1、（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念一、主要内容函 数 的定义反函数隐函数反函数与直接 函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数函 数 的性质单值与多值 奇偶性 单调性 有界性 周期性双曲函数与 反双曲函数1、函数的定义函数的分类函数初等函数非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数(多项式函数)有理分函数(分式函数)(1) 单值性与多值性:2、函数的性质(2) 函数的奇偶性:偶函数奇函数yxo(3) 函数的单调性:设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果对于区间I上 任意两点 及 ，当 时，恒有：(1) ,则称函数 在区间I上是单调增加
2、的；或(2) , 则称函数 在区间I上是单调递减的；单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。(4) 函数的有界性:设函数 f(x) 的定义域为D，如果存在一个不为零的 数l,使得对于任一 ,有 .且 f(x+l)=f(x) 恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x) 的周期.（通常 说周期函数的周期是指其最小正周期）.(5) 函数的周期性:oyx3、反函数4、隐函数5、反函数与直接函数之间的关系6、基本初等函数1）幂函数2）指数函数3）对数函数4）三角函数5）反三角函数7、复合函数8、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有 限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示 的函数
3、,称为初等函数.9、双曲函数与反双曲函数双曲函数常用公式左右极限两个重要 极限求极限的常用方法无穷小 的性质极限存在的 充要条件判定极限 存在的准则无穷小的比较极限的性质数列极限函 数 极 限等价无穷小 及其性质唯一性无穷小两者的 关系无穷大1、极限的定义左极限右极限无穷小:极限为零的变量称为无穷小.绝对值无限增大的变量称为无穷大.无穷大:在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为 零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系2、无穷小与无穷大定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小.定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无
4、穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.无穷小的运算性质定理推论1推论23、极限的性质4、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.5、判定极限存在的准则(夹逼准则)(1)(2)6、两个重要极限定义:7、无穷小的比较定理(等价无穷小替换定理)8、等价无穷小的性质9、极限的唯一性左右连续在区间a,b 上连续连续函数 的 性 质初等函数 的连续性间断点定义连 续 定 义连续的 充要条件连续函数的 运算性质非初等函数 的连续性振荡间断点无穷
5、间断点跳跃间断点可去间断点第一类 第二类1、连续的定义定理3、连续的充要条件2、单侧连续4、间断点的定义(1) 跳跃间断点(2)可去间断点5、间断点的分类跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点:可去型第一类间断点跳跃型0yx0yx0yx无穷型振荡型第二类间断点0yx第二类间断点6、闭区间的连续性7、连续性的运算性质定理定理1 严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数.定理28、初等函数的连续性定理3定理4 基本初等函数在定义域内是连续的.定理5 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.9、闭区间上连续函数的性质定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值.定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界.推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值m之间的任何值.二、典型例题例1解例2解将分子、分母同乘以因子(1-x), 则例3解例4解例5证明讨论:由零点定理知,综上,测 验 题测验题答案
