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1、 决胜2011年中考探索性数学问题赣州市教科所教研室习惯上，我们可以按照命题者对解答者的要求将数学问题 分为两大类：一类是已知和结论都有确定要求的题型，简称封 闭性问题；另一类是已知与结论两者中至少有一个没有确定要 求的题型，我们把这类问题称为开放探索性问题因此，初中数学中的“探索性”问题的特征是：命题中缺 少一定的题设或没有给出明确的结论，或解题思路及过程没有 确定的形式和方向；解题时需要经过大胆地猜想、推断、补充 与归纳，并加以计算或证明 探索性数学问题探索是人类认识客观世界过程中最生动、最活跃的思维活 动，探索性问题存在于一切学科领域之中，在数学中则更为普 遍 探索性数学问题在近几年的中
2、考中频频出现；常出现的有 四大类型：规律探索型、条件探索型、结论探索型、存在探索 型等；江西中考试卷中多以一至两个填空、选择题和一个中等 以上的解答题出现，分值约有614分；要求考生对问题进行观 察、分析、比较、概括，达到发现规律，或得出结论，或寻求 使结论成立的条件，或探索数学对象存在可能性与结果的目的 命 题 趋 势探索性问题的解答必须利用题设进行分析、比较、归纳 、推理，或由条件去探索出不明确的结论；或由结论去探索 未给予的条件；或去探索存在的各种可能性以及发现所形成 的数学规律解题策略以下课案就近几年的中考试题，列举几例加以说明：目 的是对各种探索性的问题进行归纳、整合，帮助老师和同学
3、们 提高对探索性数学问题的分析、思考及解答能力 【题组讲解】一、基础练习【实现目标】认识各类探索型试题的基本特征与形式，初步掌握解决 各类不同目标的探索性问题的方法 1、规律探索型 规律探索型问题是根据已知条件或所提供的若干个特例 ，通过观察、类比、归纳，揭示和发现题目所蕴含的数学本 质、规律与特征的一类探索性问题解题策略是：常常利用特殊值（包含特殊点、特殊数量 、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般 ，从而得出规律题1（2010四川攀枝花）、如图，将边长为2的等边 三角形沿 x 轴正方向连续翻折2010次，依次得到点则点 , 则点P 2010的坐标是 第1题图P1P3P2Oyx
4、简析：观察预判每一个点 的坐标为:可以递推得点 的坐标 ； 因而点P2010的坐标是 变式：题2（2010广东肇庆）、观察下列单项式： a，2a2，4a3，8a4，16a5，按照此规律，第n个单 项式是 (n是正整数) 简析：这一列单项式，观察每一序列号下单项式的符号 、系数、字母的次数；符号满足奇数序号项为正、偶数序号 项为负；系数的绝对值成2的自然数幂；字母a的次数成正整 数幂递增；因而设定n为正整数，则答案为: 变式：题3（2010江苏盐城）、填在下面各正方形中的 四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（ ） A. 38 B. 52C. 66 D. 74 0284 246 224
5、68 44m6第2题图更为一般的方法：建立序列号1、2、3、n； 则有以下对应关系：第n个正方形左上方格的数字为 2(n-1)，右上方格的数字为2(n+1)；左下方格的数字 为2n，则m=2n2(n+1)-2(n-1)= 4n2+2n+2， 令n=4，代入即得m=74；2(n-1)2nm2(n+1)简析：观察这一系列 正方形四方格中数字后， 得出：m等于右上的数字 与左下的数字的积减去 左上数字所得的差，即m=108-6=74；故选择D02 84 246 224 68 441 2 3 4m6108变式：题4（2010山东日照）、古希腊人常用小石子在沙 滩上摆成各种形状来研究数，如图；例如： 他
6、们研究过图1中 的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，称其为 三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，这样的数为 正方形数下列数中既是 三角形数又是正方形数的 是（ ） A15 B25 C55 D1225第3题图简析：图1的三角数，从第二个开始，有这样的规律：1=1，3=1+2, 6=1+2+3， ，第n个三角数是:；图2 中的正方形数从第二个开始，有这样的规律： 第m个正方形数时， ；比较A、B、C、D四个数，仅有25、1225是正方形数（m分别等于5、35），检验25不是三角形数（n无整数解），而1225又是三角形数（此时n=35）；故1225既是正方形数、又是三角形数；选
7、择D【变式意图】变式试题T2 、T3与T4不仅要考虑数与字母的变化特征，而 且还要观察数的排列规律，同时又要考虑图形的特征表象；需 要从纵横两个方面、数形结合相互关联地比较、观察、猜想、 推理，获取与形成对每一个问题自身的数学本质与规律的认识 ，再进行严格地推理、验证 【方法提炼】在解决这类一般性规律的探索问题时，特别注意：（1）通 常写成竖式或单列形式进行对比、分析；（2）注重纵横联系与 数形结合；（3）关注序列号与数据之间的联系 2、条件探索型条件探索型问题是指在给定明确的结论而未给出确定的 条件，需要采取证明、推断去探索发现，并补充与完善使结 论成立的一个或一些条件解题策略是：从所给出的
8、结论出发，采用逆推的办法， 猜想出合乎结论要求的一些条件，并进行逻辑推理证明，从 而寻找出满足结论的条件简析：因为CFBE，所以 FCD EBD又因为FDC =EDB，要证明BDECDF， 只需要添加一组对应边相等即可题5（2010浙江金华）、如图，在ABC 中，D是BC 边上的点（不与B、C重合），F、E 分别是AD及其延长线 上的点，CFBE请你添加一个条件，使BDECDF (不 再添加其它线段，不再标注或使用其它字母)，并给出证明 （1）你添加的条件是： ； （2）证明： ACBDFE 第5题图答案：（1） 从BDCD(或点D是线段BC的中点)，BE CF，EF；三者中任选一个即可（2）
9、以添加EF 为例，进行证明： CFBE, FCD EBD又 FDC EDB，且添加EF； BDECDF题6（2009山东东营）、如图，在四边形ABCD中，已 知AB与CD不平行，ABDACD，请你添加一个条件： ，使得加上这个条件后能够推出：ADBC且ABCD BCDAO第6题图简析：命题的结论很明显： 四边形ABCD欲成为等腰梯形； 现需探索补充使它成立的一个 条件（有可能不唯一）；可以 先观察与已知条件ABDACD相关联的、一对可能 全等的三角形ABD与ACD，满足这种可能的添加条件有若 干条；也可以从其他方面入手；可供添加的条件可以是以下的 任选其一：解答：DACADB，BADCDA，D
10、BC ACB，ABCDCB，OBOC，OAOD 3、结论探索型 结论探索型问题是指仅给出某种情境而没有明确指出结 论，需要解题者去探索符合条件的数学结论的一类试题；这 类探索问题的设问，常以适合某种条件的结论“成立”、“不成 立”、“是否成立”等语句加以表述，或直接问“有何结论”等 它与传统题的区别在于：探索问题的结论的过程往往也是解 题过程 解题策略：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，执因 索果，顺向推理或联想类比、猜测等，获得所求结论（特别 注意：解答的多样性和反思与证明） 题7 (2009甘肃定西)、抛物线的部分图象 如图所示，请写出与它的关系式、图象相关的 两个正确结论： ， （直接采
11、用已知数据的结论除外） 第7题图简析：已知的是二次函数的图像，结合图像可读出对称 轴方程、抛物线与x轴、y轴的交点坐标；通过计算推理可得 到：c = 3，b = -2；因而从关系式、图像两方面，可填入的正确结论： b + c = 1；图像与x轴的另一个交点坐标 （-3,0）；解析式为 y = -x2-2x+3； 方程 -x2-2x+3=0有两个根 x1= -3, x2= 1；抛物线的顶点坐标（-1,4）； 该二次函数的最大值为4； 当x -1 时，y 随着x的增大而减少； 若二次函数y0 , 则有 -3x1 等等； 任选两条均可 第7题图4、存在探索型探索存在型问题：是指在一定的前提条件下，需
12、探索 发现某种数学关系是否存在的一类问题；它往往以“是否 存在”“是否有”“是否变化”等疑问句出现，以示结论 成立与否有待判断解题策略是：通常对结论作出肯定存在的假设，再按 题设条件进行推理、计算，若导出矛盾，则否定先前的假 设；若推出合理的结论，则说明先前的假设成立 题8：(2009江西样卷)、在平面直角坐标系中，现将一块 等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点A （0，2），点C（-1，0），如图；抛物线 经过 点B（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点 P（点B除外），使ACP仍然是 以AC为直角边的等腰直角三角形？ 若存在，求所有点P的
13、坐标；若不 存在，请说明理由第8题图解答：(1) 过点B作 ，垂足为D， 又 ， = =1， = =2；点B的坐标为（-3，1）；（2）代入点B的坐标，抛物线的解析式 还是可以求得的；（2）抛物线 经过点B(-3,1) ，则得到 ，解得: ，所以抛物线解析式为 ；简析：（1）借助全等三角形，容易求得点B的坐标；D第8题解答图（3）假设存在P1、P2两点， 使得ACP是直角三角形： 若以AC为直角边，点C为直角 顶点；则延长BC 至P1点，使得 P1 C=BC，得到等腰直角三角形 AC P1 ，利用MP1 C DBC 可求得点P1（1，-1）；经检验： 点P1（1，-1）在抛物线上，使 等腰直角三角形； 若以AC为直角边，点A为直角顶点；则过点A作 , 且使得 ,得到等腰直角三角形ACP2 ,利用AP2N CAO；可求得点P2（2，1）；经检验：点P2 （2，1）也 在抛物线上，使得ACP2也是等腰直角三角形第(3)是存在性探索问题: 假设这样的点 P 存在，思考过程 中，考虑点P是否点B 关于直线AC 的轴对称点？考虑点P 是否 是关于线段AC 中点的中心对称点？（或者将等腰直角三角板 ABC物化， 把它沿直线AC的翻折或绕线段AC的中点旋转
