CH8.4 效益的合理分配问 题甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利7元， 甲丙合作获利5元，乙丙合作获利4元， 三人合作获利11元又知每人单干获利1元问三人合作时如何分配获利？记甲乙丙三人分配为解不唯一(5，3，3)(4，4，3) (5，4，2) ……定义合作结果V（S）的分配为 ，其 中 表示第i人在这种合作下分配到的获利显然， 不同的合作应有不同的分配，问题归结为找出一个合理的 分配原则 来， 被称为合作对策 1953年Shapley采用逻辑建模方法研究了这一问题 首先，他归纳出了几条合理分配原则 应当 满足的基本性质（用公理形式表示），进而证明满 足这些基本性质的合作对策 是唯一存在的， 从而妥善地解决了问题 是否存在合理分配原则 Shapley提出了以下公理：设V是I上的特征函数， 是合作对策，则有公理1合作获利对每人的分配与此人的标号无关 公理2 ，即每人分配数的总和等于总获利数公理3若对所有包含的i的子集S有： V(S-{i})=V(S)， =0即若第i人在他参加的任一合作中均不 作出任何贡献，则他不应从合作中获利 公理4若此n个人同时进行两项互不影响的合作，则 两项合作的分配也应互不影响，每人的分配 额即两项合作单独进行时应分配数的和。
Shapley合作对策[ I,v] ~n人合作对策，v~特征函数~n人从v(I)得到的分配，满足v(s)~ 子集 s的获利利用上述公理可以证明满足公理1~4的 是唯一存在的存在 的公式吗Shapley指出， 可按下列公式给出： (8.1) i=1,…,nSi是I中包含i的一切子集所成的集合，|S|表示集合S中的元素个数，而 (8.2) 可视为i在合作 S中所作的贡献 W(|S|)可看作这 种贡献的权因子 三人(I={1,2,3})经商中甲的分配x1的计算1/3 1/6 1/6 1/31 1 2 1 3 I1 7 5 110 1 1 41 6 4 71/3 1 2/3 7/3x1=13/3类似可得 x2=23/6, x3=17/61 2 2 3合作的获利真的不少于他单干时的获利吗 对每一i∈I，有 求证:证明:|S|=K时，包含i的子集S共有 个 即 个故 = 1/n 从而 又根据性质，有 故有 合作对策的应用 例2 污水处理费用的合理分担20km38km河流三城镇地理位置示意图1 23• 污水处理，排入河流•三城镇可单独建处理厂， 或联合建厂(用管道将污水 由上游城镇送往下游城镇)Q1=5Q3=5Q2=3Q~污水量，L~管道长度建厂费用P1=73Q0.712管道费用P2=0.66Q0.51L污水处理的5 种方案1）单独建厂总投资2）1, 2合作3）2, 3合作4）1, 3合作总投资总投资合作不会实现5）三城合 作总投资D5最小, 应联合建厂建厂费：d1=73(5+3+5)0.712=45312管道费：d2=0.66 50.51 20=3023管道费：d3=0.66 (5+3)0.51 38=73D5城3建议：d1 按 5:3:5分担, d2,d3由城1,2担负 城2建议：d3由城1,2按 5:3分担, d2由城1担负城1计算：城3分担d15/13=174C(1)不 同 意D5如何分担？特征函数v(s)~联合(集s)建厂比单独建厂节约的投资~三城从节约投资v(I)中得到的分配Shapley合作对策计算城1从节约投资中得到的分配x11 1 2 1 3 I 0 40 0 640 0 0 250 40 0 391 2 2 31/3 1/6 1/6 1/30 6.7 0 13 x1 =19.7,城1 C(1)-x1=210.4, 城2 C(2)-x2=127.8, 城3 C(3)-x3=217.8三城在总投资556中的分担x2 =32.1, x3=12.2x2最大，如何解释？合作对策的应用 例3 派别在团体中的权重 90人的团体由3个派别组成，人数分别为40, 30, 20人。
团体表决时需过半数的赞成票方可通过虽然3派人数相差很大若每个派别的成员同时投赞成票或反对票，用Shapley合作对策计算各派别在团体中的权重 团体 I={1,2,3}，依次代表3个派别îíì= 否则，的成员超过定义特征函数045, 1)(ssv优点：公正、合理，有公理化基础如n个单位治理污染, 通常知道第i方单独治理的投资yi 和n方共 同治理的投资Y, 及第i方不参加时其余n-1方的投资zi (i=1,2, …n). 确定共同治理时各方分担的费用其它v(s)均不知道, 无法用Shapley合作对策求解Shapley合作对策小结若定义特征函数为合作的获利(节约的投资)，则有缺点：需要知道所有合作的获利，即要定义I={1,2,…n}的所有 子集(共2n-1个)的特征函数，实际上常做不到设只知道无 i 参加时n-1方合作的获利全体合作的获利求解合作对策的其他方法例. 甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利7元， 甲丙合作获利5元，乙丙合作获利4元，三人 合作获利11元问三人合作时如何分配获利？（2）协商解11将剩余获利 平均分配 模 型以n-1方合作的获利为下限求解~ xi 的下限（3）Nash解 为现状点（谈判时的威慑点）在此基础上“均匀地”分配全体合作的获利B模 型平均分配获利B3）Nash解 2）协商解（4）最小距离解模 型 第i 方的边际效益若令4）最小距离解 2）协商解（5）满意解di~现状点(最低点)ei~理想点(最高点)模 型5）基于满意度的解 2）协商解（6）Raiffi 解与协商解x=(5,4,2)比较求解合作对策的6种方法（可分为三类）Shapley合作对策A 类B 类协商解Nash解 最小距离解满意解di~现状, ei~理想B类4种方法相同例：有一资方(甲)和二劳方(乙,丙), 仅当资方与至少 一劳方合作时才获利10元，应如何分配该获利？Raiffi解C 类B类：计算简单，便于理解，可用于各方实力相差不大的情况；一般来说它偏袒强者。
C类： 考虑了分配的上下限，又吸取了 Shapley的思想，在一定程度上保护弱者A类：公正合理；需要信息多，计算复杂求解合作对策的三类方法小结。