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1、三角函数公式大全(学习宏程序须知）三角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。起源“三角学 ”，英文 Trigonometry，法文 Trigon
2、ometrie，德文 Trigonometrie，都来自拉丁文 Trigonometria。现代三角学一词最初见于希腊文。最先使用Trigonometry 这个词的是皮蒂斯楚斯( Bartholomeo Pitiscus,1516-1613)，他在1595年出版一本著作 三角学 :解三角学的简明处理 ，创造了这个新词。它是由(三角学)及 (测量)两字构成的，原意为三角形的测量，或者说解三角形。古希腊文里没有这个字，原因是当时三角学还没有形成一门独立的科学，而是依附于天文学。因此解三角形构成了古代三角学的实用基础。早期的解三角形是因天文观测的需要而引起的。还在很早的时候，由于垦殖和畜牧的需要，人
3、们就开始作长途迁移；后来，贸易的发展和求知的欲望，又推动他们去长途旅行。在当时，这种迁移和旅行是一种冒险的行动。人们穿越无边无际、荒无人烟的草地和原始森林，或者经水路沿着海岸线作长途航行，无论是那种方式，都首先要明确方向。那时，人们白天拿太阳作路标，夜里则以星星为指路灯。太阳和星星给长期跋山涉水的商队指出了正确的道路，也给那些沿着遥远的异域海岸航行的人指出了正确方向。就这样，最初的以太阳和星星为目标的天文观测，以及为这种观测服务的原始的三角测量就应运而生了。因此可以说，三角学是紧密地同天文学相联系而迈出自己发展史的第一步的同角三角函数的基本关系式倒数关系: 商的关系： 平方关系：tan cot
4、1sin csc1sin/costansec /cscsin2cos 211tan 2sec 2cos sec1 cos/sincotcsc/sec 1 cot2csc 2诱导公式sin（ ）sin cos（）costan（ ）tan cot（） cotsin（/2）coscos（ /2）sin tan（/2）cotcot（ /2）tan sin（/2）coscos（ /2）sin tan（/2）cotcot（ /2）tan sin（）sincos（ ）costan（）tan cot（ ）cotsin（）sin cos（ ）costan（）tancot（ ）cot sin（3/2）coscos
5、（3 /2）sintan（3/2）cotcot（ 3/2）tan sin（3/2）coscos（3 /2）sintan（3/2）cotcot（ 3/2）tan sin（2）sincos（2 ）cos tan（2）tancot（ 2）cotsin（2k ）sincos（2k ） costan（2k ）tancot（ 2k）cot(其中 kZ)两角和与差的三角函数公式 万能公式sin（） 2tan(/2)sincos cos sinsin（）sincos cos sincos（ ）coscos sinsin cos（ ）coscos sinsin tantan tan（）1tan tantanta
6、n tan（）1tan tansin1tan 2(/2)1tan 2(/2)cos 1tan 2(/2)2tan(/2)tan 1tan 2(/2)半角的正弦、余弦和正切公式三角函数 的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin22sincoscos2 cos2sin 22cos2112sin 2sin33sin4sin 3cos3 4cos33cos3tantan 3tan3 2tantan21tan 213tan 2三角函数的和差化积公式 三角函数的积化和差公式 sinsin2sincos 2 2 sinsin2cossin2 2 cos cos2coscos
7、2 2 cos cos2sin sin2 21sin cos-sin（）sin（ ）21cos sin-sin（）sin（ ）21cos cos-cos（ ） cos（）21sin sin -cos（）cos（）2化 asin bcos 为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）同角三角函数的基本关系 倒数关系: tan cot1 sin csc1 cos sec1 商的关系： sin/cos tansec/csc cos/sincotcsc/sec 平方关系： sin2()cos2()1 1tan2()sec2() 1cot2()csc2()平常针对不同条件的常用的两个公式 si
8、n +cos =1 tan *cot =1一个特殊公式 （sina+sin）*（sina+sin）=sin（a+）*sin（a-） 证明：（sina+sin）*（sina+sin）=2 sin(+a)/2 cos(a-)/2 *2 cos(+a)/2 sin(a-)/2 =sin（a+）*sin（a-）锐角三角函数公式 正弦： sin = 的对边/ 的斜边 余弦：cos = 的邻边/ 的斜边 正切：tan =的对边/ 的邻边 余切：cot = 的邻边/ 的对边二倍角公式 正弦 sin2A=2sinAcosA 余弦 1.Cos2a=Cos2(a)-Sin2(a) =2Cos2(a)-1 =1-2
9、Sin2(a) 2.Cos2a=1-2Sin2(a) 3.Cos2a=2Cos2(a)-1 正切 tan2A=（2tanA）/（1-tan2(A)）三倍角公式 sin3=4sinsin(/3+)sin(/3-) cos3=4coscos(/3+)cos(/3-) tan3a = tan a tan(/3+a) tan(/3-a) 三倍角公式推导 sin(3a) =sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sina)+(1-2sina)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2co
10、sa-1)cosa-2(1-cosa)cosa =4cos3a-3cosa sin3a=3sina-4sin3a =4sina(3/4-sina) =4sina(3/2)-sina =4sina(sin60-sina) =4sina(sin60+sina)(sin60-sina) =4sina*2sin(60+a)/2cos(60-a)/2*2sin(60-a)/2cos(60-a)/2 =4sinasin(60+a)sin(60-a) cos3a=4cos3a-3cosa =4cosa(cosa-3/4) =4cosacosa-(3/2)2 =4cosa(cosa-cos30) =4cosa
11、(cosa+cos30)(cosa-cos30) =4cosa*2cos(a+30)/2cos(a-30)/2*-2sin(a+30)/2sin(a-30)/2 =-4cosasin(a+30)sin(a-30) =-4cosasin90-(60-a)sin-90+(60+a) =-4cosacos(60-a)-cos(60+a) =4cosacos(60-a)cos(60+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a)n 倍角公式 sin（n a）=Rsina sin（a+/n ）sin （a+（n-1 ）/n ） 。 其中R=2（ n-1） 证明：当 si
12、n（na）=0 时，sina=sin（/n ）或=sin （2/n）或=sin（3/n ）或=或=sin【（n-1）/n】 这说明 sin（na）=0 与sina-sin（/n） *sina-sin（2/n） *sina-sin（3/n） *sina- sin【（n-1 ）/n】=0 是同解方程。 所以 sin（na）与sina-sin（/n） *sina-sin（2/n ） *sina-sin （3/n） *sina- sin【（n-1 ）/n】成正比。 而（sina+sin）*（sina+sin）=sin（a+）*sin（a-） ，所以 sina-sin（/n） *sina-sin（2/n
13、） *sina-sin（3/n ） *sina- sin【（n-1/n】 与sina sin（a+/n）sin（a+（n-1 ）/n）成正比（系数与 n 有关 ，但与 a 无关，记为 Rn） 。然后考虑 sin（2n a）的系数为 R2n=R2*(Rn)2=Rn*(R2)n.易证 R2=2，所以 Rn= 2（n-1）半角公式 tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin2(a/2)=(1-cos(a)/2 cos2(a/2)=(1+cos(a)/2 tan(a/2)=(1-cos(a)/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a) 和差化积 sin+sin = 2 sin(+)/2 cos(-)/2 sin-sin = 2 cos(+)/2
