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1、第 0 章 预备知识（场论）场论是流体力学的数学基础，因此，本章将简明扼要地介绍流体力学中常用的场论知识，便于读者学习中应用。标量、向量、张量及场的概念0.1.1 标量、向量、张量及场的概念物理量按其空间维数可分为标量、向量与张量。标量只有大小没有方向，只需一个数量及单位即可表示，如流体的温度),(tTTr、密度),(tr等是标量，这里r是空间点位置，t是时间变量。向量也称为矢量，它既有大小又有方向，可由某一空间坐标系的三个坐标分量来表示，如流体的速度),(trvv 、加速度),(traa 等是向量。本书中向量用黑体字表示。三维空间中的二阶张量必须由九个分量才能完整地表示，如流体中一点的应力)
2、,(tPPr、变形速率),(tr等是二阶张量。在三维空间中由 3n个分量来表示的量称为n阶张量，n为阶数。从张量的概念来讲，标量是零阶张量（0n），向量是一阶张量(1n)。如果在全部空间或部分空间的每一点都对应某物理量的一个确定值，就说在这个空间里确定了该物理量的一个“场”。也就是说，场是具有物理量的空间。如果这个物理量是标量，就称这个场为标量场，如温度场、密度场等。如果这个物理量是向量，就称为向量场，如速度场、加速度场等。如果这个物理量是张量，就称为张量场，如应力场、应变场等。场和函数相对应。标量场对应标量函数，向量场对应向量函数，而张量场对应张量函数。场的研究方法是将物理量作为空间点位置r
3、和时间t的函数，t 作为参变量处理，即分析 t 时刻场的情况。不讨论各种场具体的物理意义，而从数学上研究场的一般规律的学科称为“场论”。0.1.2 场的几何描述（1）标量场的等值面在场中t时刻，由标量函数t), r (数值相同的点所组成的曲面称为等值面，即)(),(tct r（同一等值面)(tc上为常数）(0.1.1)(tc取不同值对应于不同的等值面，如图 0.1.1 所示。等值面直观地描绘了标量在场中的分布情况。图 0.1.1 等值面1c2c3c（2）向量场的向量线向量线是这样的曲线，它上面每一点处曲线都与对应于该点的向量a=axi+ayj+azk 相切。若向量线上任意一点M的位置用矢径 r
4、=xi+yj+zk（即图 0.1.2 中OM）表示，根据向量线的定义，矢径微分dr=dxi+dyj+dzk方向与a的方向相同，即差积为零0dar（0.1.2）这就是向量线的微分方程。在直角坐标系中上式表示为zyxaz ay axddd（0.1.3）解此方程得向量线族。向量线族直观地描绘了向量在场中的分布情况。在 a 不为零的情况下，当 ax，ay，az单值连续且有一阶连续偏导数时，向量线连续分布于向量场所在的空间，而且互不相交，如图0.1.2 所示。如果向量 a 为流体的流速 v，向量线就是流线。向量及张量的基本运算0.2.1 向量运算符号规定（1（ 爱因斯坦（Einstein）求和符号在数学
5、式子中出现的一对符号相同的指标，称为爱因斯坦求和符号，它是哑指标，表示求和。例如aeeee332211aaaaii(0.2.1)式中 ai，ei分别是向量 a 在正交坐标系中的坐标分量和坐标轴单位向量。又如23322111213)(kbababakkbakjjiiee（2（ 克罗内克（Kronecker）符号任意两个正交坐标轴单位向量的点积用ij表示，称为克罗内克，即) 3, 2, 1,(01 jijiji ijjiee(0.2.2)式中i,j是自由指标，ij可写作0; 1311321123223332211（3（ 置换符号任意两个正交坐标轴单位向量的叉积可表示为kijkjieee(0.2.3
6、)式中I j k称为置换符号，也称利奇（Ricci）符号，其数值如下Mxyzor图 0.1.2 向量线ijk 奇次置换，偶次置换，个自由指标值相同个或中有，,321,1321,231,1231320kjikjikji（0.2.4）即123=231=3121，132=321=213-1，其余分量为零。由此可知，ijk中任意两个自由指标对换后，对应的分量值相差一个负号，如132=-123，故ijk 称为置换符号。 置换符号ijk和符号之间有如下关系jlimjmilklmijk（0.2.5）0.2.2 向量运算的常用公式（1）iiiiiiibabaeeeba)(（1（iiijjijijijjiiba
7、bababaeeeeba（2（321321321bbbaaabababakijkjijijijjiieee eeeeeba（3（bacbaccbacba)()()()(（4（cbabcacba)()()(（5（)()()()(dacbdbcadcba0.2.3 向量分量的坐标转换下面讨论某一直角坐标系旋转至一新的方位时坐标轴单位向量及向量分量之间的转换关系。因为向量 a 与坐标系无关，因此iiiiaaeea（0.2.6）其中iiiiaa,ee和分别是新老直角坐标系中坐标轴的单位向量和坐标分量，如图 0.2.1 所示。显然有 jijiijjiji01eeee(i，j=1,2,3) （0.2.7）
8、 且新老两坐标系单位向量之间存在下列关系33323213133232221212313212111eeeeeeeeeeee1（0.2.8a） 其中jiijee 是两坐标系不同坐标轴间夹角的余图 0.2.1 坐标系 1x2x3x3x2x1x弦。式（0.2.8a）可用表 0.1 直观地表示，或简写为)3, 2, 1,(,jijjiijijieeee（0.2.8b）将式（0.2.8a）或表 0.1 代入式（0.2.7），可以得到如下六个关系式1110002 332 232 132 322 222 122 312 212 11313321231113333223221312323122211211（0
9、.2.9）或简写为jkikij（0.2.10）利用坐标系单位向量之间的转换关系式（0.2.8） ，可得两坐标系中向量分量之间的转换关系) 3 , 2 , 1,()()( jiaaaaaajjijijijijjjji eeee（0.2.11）0.2.4 二阶张量及其基本运算力学中最常用的张量是二阶张量。二阶张量就是两个向量的并积，可表示为jiijjijijjiibcacaeeeeeeacB（3 , 2 , 1,ji） （0.2.12a）式中ijb是二阶张量在坐标轴单位向量为321,eee的正交坐标系中的九个分量（也称为元素），通常用矩阵的形式可写成 333231232221131211bbbbb
10、bbbbbij（0.2.12b）jiee是二阶张量的基，其分量也有九个。注意ijjieeee。若二阶张量的下标 i，j 互换后所代表的分量不变，即 bij=bji，称为二阶对称张量。这时各元素关于主对角线对称，因而只有六个独立的分量。若二阶张量的分量满足关系 bij=-bji，则称为二阶反对称张量。这时主对角线上各分量为零，因而只有三个独立的分量。任意一个二阶张量均可以唯一地分解为一个二阶对称张量和一个二阶反对称张量，即)(21)(21jiijjiijijbbbbb（0.2.12c）等式右边第一项为对称张量，第二项为反对称张量。表 0.1 坐标轴间方向余弦1e2e3e1e1112132e212
11、2233e313233（1）二阶张量及其基本运算规则 jijijidcbaeecdab)( )()()(abccabcbabca )()()(bcadadcbdcbacdab )()()(cabdacbddbacdabc )(cbacab(2) 二阶张量的坐标变换按张量定义jiijjiijbbeeeeB（0.2.13）式中ijb与ijb分别是对应于新旧两个坐标系中的张量分量。利用坐标系单位向量之间的转换关系式（0.2.8）可得对应的坐标变换关系ljkiijjlikijljiijkklbbbb )()(eeeeeeee(3 , 2 , 1, lk) （0.2.14）jlikklljkikljlk
12、kliijbbbb)()(eeeeeeee(3 , 2 , 1,ji) （0.2.15）例如 23133322133221133123122322122221122123111322111221111112 bbbbbbbbbb标量场的方向导数和梯度0.3.1 方向导数过标量场内任一点 M0作一射线 l，在 l 上取一邻近 M0的动点 M（见图 0.3.1） ，记0M M =，若极限MMMM000)()(lim存在，称其为标量在0M点处沿方向l的方向导数，记作0Ml 。方向导数在直角坐标系中表示为coscoscos0zyxlM（0.3.1）图 0.3.1 方向导数M0Ml其中 zyx ,为函数
13、在0M点的偏导数；cos,cos,cos为射线l的方向余弦，他们相应于 l 的单位向量le的坐标分量，即kjiecoscoscosl。0.3.2 梯度（1）梯度的定义梯度是这样的向量，它的值为最大方向导数值，其方向为最大方向导数所对应的方向。由式(0.3.1)知)cos(cos)(kjikjicoazyxl令kjiGzyx则),cos(llleGGeG由上式可见，当 el和向量 G 的方向一致时，cos(G, el)=1，方向导数取得最大值G l。可见，向量 G 就是函数在给定点的梯度，记作kjizyxgrad(0.3.2)其中 zyxkji称为哈密尔顿（Hamilton）算子，读作 Nabl
14、a。顺便指出，哈密尔顿算子具有微分和向量的双重运算性质，它适用于任意正交坐标系，但在不同坐标系中表达形式不同。由于推导公式或证明恒等式时常常在直角坐标系中更为简便，所以哈密尔顿算子在直角坐标系中的表达式最为常用。（2（ 梯度的性质 梯度在某一方向 el上的投影，等于标量在该方向上的方向导数，即lle（0.3.3）上式表明，由梯度可以知道物理量沿el方向经过dl距离的增量，即dl=d，这dl=dlel。 梯度垂直于标量的等值面，且指向增大的方向。若 n 表示的等值面法向单位向量且指向增大的方向, n表示沿n方向的方向导数，则有nnn。这表明由梯度可以求得等值面的单位法向量 n。（3（ 梯度的基本运算公式 0c（c为常数） cc )(（c为常数） )( )( )()(ff
