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1、貝氏決策分析與貝氏網路Bayesian decision analysis & Bayesian network,資料來源: 清大簡禎富教授-授課投影片,條件機率,所謂的條件機率（conditional probability），就是將相關事件的影響性考慮進來，再重新考慮該事件機率,貝氏定理,在上例中，從工廠的成品中，隨機抽取一產品。假若已知此抽取之產品為不良品，試問它是由機器A1所生產的機率為何？,統計決策分析,風險下的決策問題使用機率表示其中的不確定因素，所以又稱為統計決策(statistical decision making)事前機率(prior probability)是指決策者對不
2、確定事件各種結果的發生機率的信心，乃是決策者根據歷史資料(頻率機率)或人為經驗判斷(主觀機率)而產生的事前無知(prior ignorance)的狀況，期望報酬或損失的計算仍可能存在高度的不確定性，決策者根據不確定的估計選出的最大期望報酬或最小期望損失方案，可能為一錯誤決策為提高決策品質，降低做出錯誤決策的機會，決策者可經由試驗的方式取得額外資訊，例如 進一步醫學檢查、額外的工程實驗或地質探勘等，也可經由觀察到的現象或證據，例如看到天空烏雲密佈會讓想出遊的人修正對下雨機率的判斷，修正後的機率稱為事後機率(posterior probability),貝氏決策,貝氏決策即是討論決策者如何利用適當
3、的樣本取樣方式，取得額外資訊，並根據額外的資訊修正可選擇方案的期望損失，以其選擇期望損失最低的方案貝氏決策於實務應用方向非常廣泛，包含醫療決策(Sainfort, 1993; Barbara and Paul, 1975 )，故障診斷(Wang et al., 1998)，可靠度分析(Papazoglou, 1999)，與抽樣計畫(Hald, 1968; Phelps, 1982; Chien, Hsu, Peng, and Wu, 2000)等,貝氏決策分析之理論架構,不確定事件所有可能狀態j的集合,貝氏決策分析架構圖(資料來源：Sainfort, 1993),每個狀態的事前機率為(j)，之
4、間必須彼此互斥且互不遺漏,樣本空間,由樣本獲得之所有可能觀測值x的集合,包含該決策可以採行的所有行動或方案ai,貝氏決策案例唐氏症的診斷,唐氏症為高齡產婦的一大威脅：家庭心理與經濟負擔醫生通常利用醫療檢測如羊膜穿刺與母血篩檢的方法，根據檢測之樣本所得結果來推論胎兒之健康狀態若結果為陽性反應則代表胎兒有較高的機率患有唐氏症若結果為陰性反應則代表胎兒有較高的機率為正常胎兒另一方面，決策者(家屬或醫生)可以有的行動方案包含產下胎兒與進行人工流產。將以上的決策問題對應貝氏決策的三個決策元素，則狀態空間=1=健康，2=唐氏症;樣本空間X=x1=陰性反應，x2=陽性反應;行動空間A= a1=生下小孩，a2
5、=人工流產,(簡禎富與吳文婷, 1997),概似函數,概似函數P(x)代表在狀態下可觀察到可能性當x為連續數值時，P(x)為一機率密度當x為離散數值時，P(x)為一機率若一個樣本x在真實狀態為時被觀察到的機率很高，則樣本x對決策者判斷真實狀態是否為有很高的資訊價值。換言之， P(x)越高則決策者觀察到樣本x後，對真實狀態為的信心(belief)越高,條件機率示意圖,條件機率P(Bj|Ai)是在給定條件Ai的情況下，隨機變數B=Bj的機率有多高,概似機率示意圖,概似函數P(B|Ai)是觀察到B時有多少可能性是來自於隨機變數A=Ai的情況,空間切割圖,條件機率與概似函數之比較,唐氏症的診斷概似函數
6、,若一般高齡產婦產下唐氏症兒的機率為1%，當醫生沒有其他資訊可參考時，他只能告訴來做產檢的孕婦胎兒患有唐氏症的機率約為1%，這也就是事前機率( = 唐氏症) = 0.01 當醫生為該孕婦進行羊膜穿刺檢驗後觀察到陽性反應，根據概似機率P(x) = 0.84，便會提高他認為該孕婦的胎兒患有唐氏症的信心，這也就是事後機率( = 唐氏症 | x = 陽性) 事後機率正比於事前機率，也正比於概似機率P(x) ，其關係為,機率推論影響圖,概似函數顯示樣本資訊對估計狀態發生機率之推論關係(a)表示一個不確定事件沒有其他的元素會影響它，其自然狀態的事前機率為() (b)表示一個不確定事件受到另一個不確定事件之
7、影響，也就是觀察到樣本的結果會修正狀態出現機率的估計而成為事後機率(| x) ，箭號代表兩者推論關係的方向性，以P( x)表示其機率修正關係,決策法則,決策法則(decision rule)(x) = a定義樣本出現觀測值x時，應採行的行動a，換言之，決策法則決定樣本空間X與方案空間A兩者之對應關係例如，某甲一早出門準備上班時，到了門口便發現天氣是陰天而帶有濕氣，觀察到這個現象(x)後某甲決定帶雨傘出門(a)，換言之，某甲的決策法則就是(陰天)=帶傘出門然而每個人的的決策法則都不盡相同，某乙可能覺得帶雨傘非常麻煩，因此除非出門時正在下雨，否則他都不帶傘，則他觀察到陰天帶有濕氣的現象時，決策法則
8、為(陰天)=不帶傘,唐氏症的診斷決策法則,若決策法則為 (x1) = a1，表示If X = x1 then a1，也就是若觀察到陰性反應則採取生下胎兒的行動1 優生保健的角度2 擁有自己的孩子是無價的，一定要生下胎兒4 經濟上或精神上無法撫養唐氏症兒3 不良法則，高唐氏症兒以及流產掉健康胎兒的機率,唐氏症醫療決策之影響圖,唐氏症醫療決策可以用影響圖的方式來表達貝氏決策的決策元素與決策法則以及不同決策者的不同偏好架構的關係,檢測的敏感度與準確度,真(true) 檢驗結果與病患的實際狀態一致，結果為偽(false) 誤判，檢驗結果與病患的實際狀態不一致,區別能力指標敏感度(sensitivity
9、) 確實患病而試驗可偵測出的比率TP rate = P(陽性反應|罹病) = P(x t | = D)準確度(specificity) 健康而檢驗亦偵測出健康的比率TN rate = P(陰性反應|健康) = P(x t | = no-D),敏感度、準確度與誤判的機率關係,在醫療測試的決策中，由於測試結果涉及病患之健康認定與後續醫療手段之採取，測試結果無論是陽性反應或陰性反應都希望是可靠的，因此決策者著眼於該測試的正確率，故定義TP與TN,何謂Bayesian Network(貝式網路) 是一個以條件機率(Conditional Probability)為基礎所建構出來的非循環有向圖(Dire
10、cted Acyclic Graphic), 圖中的節點代表資料的變量,而節點之間的連線代表資料變量的因果關係. 目的:用來推論、預測,使用Bayesian Network來偵測信用卡交易詐欺:,貝式網路,1.所推論與預測的結論能解釋其因果關係,增加結論的信賴程度例如:蒐集病人的檢驗資料來推論病人的病因,不只要求推論的精確性,更須了解病徵與疾病的關係2.各資料變量的因果關係,可不需人為判斷而經由資料學習出來不需人為干涉有自動學習的能力3.推論的精確程度,不遜於其他複雜的推論方法實務上的研究成果,正確率達8成以上,推論與預測的技術很多,為何Bayesian Network為資料探勘的主流技術?,
11、1.醫學上之疾病診斷2.信用卡詐欺預警3.行銷策略4.財務預測5.相關專家系統設計.等,Bayesian Network應用領域,上市公司財務預測的Bayesian Network,C:疾病S1,S2,S3:病徵,最適Bayesian Network之網路結構的決定,Bs:Bayesian Network Structure D:Data SetP(D| Bs):在給予某一Structure下,likelihood function,P(D| Bs)越大代表Structure越適合,Dirichlet distribution:可由資料變量出現的表徵狀況來推估資料變量的期望機率,Nijk:代表
12、第j個分類母體的條件下,第i個變量出現第k種結果的資料個數Nijk: 代表第j個分類母體的條件下,第i個變量出現第k種結果的專家判斷權重,整個Bayesian Network學習的過程步驟如下:先選定領域問題的相關變數2. 建立一衡量函數(Measure Function)與搜尋演算法3. 將可能的Bayesian Network以Measure Function來衡量其適合度4. 將Measure Function所評估最高的Bayesian Network選擇出來5. 以搜尋演算法找出最好的Bayesian Network的結構,貝氏網路之理論基礎,一開始我們不知道目標事件H的真值，但知道
13、H服從一個機率分佈P(H)，稱為事前分布(prior probability)當我們得到新的樣本資訊或證據E後，可以增加關於H的知識，則可根據式(12)貝氏推論的原理，將事前分佈P(H)調整為事後分佈P(H| E) (post probability),目標事件H與證據E可用影響圖表示如圖為單一證據推理關係的貝氏網路證據E與目標事件H的影響圖和貝氏決策分析中樣本對狀態的影響圖是相同的,貝氏網路之基本推理關係,實務上一個目標事件的推理通常需要不只一個證據，例如判斷一病患是否罹患癌症可能需要血液分析、尿液分析、超音波與觸診等結果彙整後，醫生才能做判斷一個完整的貝推理式網路除了網路圖外，還需包含每一
14、個節點的事前機率，與每一個推論法則的強度(與 )，也就是證據或樣本資訊可能性(likelihood)影響圖的一種特例有向性非循環圖形,多重證據推論示意,證據E1, E2, , En 聯合,證據E1, E2, , En為條件獨立,證據E1, E2, , En在給定H時為條件獨立每個證據Ei對H之概似函數P(Ei |H)均不受其他證據和H之推理關係影響,部分證據滿足條件獨立之假設,所有證據都符合條件獨立的情況並不一定會成立將真的符合條件獨立的證據區隔出來，而不符合條件的獨立的證據則保持相依的關係,多層推論,節點E是節點H的因，因此E可作為推論H是否為真的證據。但E本身又是節點B的果，因此E是否為真
15、，也是B作為證據要推論的假設有方向性的箭號直接相連的節點有推論上的因果關係貝氏網路節點不會有循環,多層次、多重證據之貝氏網路,以及網路圖的路徑，計算底層證據對目標事件的有效概似比，並往上逐層修正每一個節點的機率，直到最頂層之目標節點為止，如此即可求得每個事件的事後機率,貝氏網路發展,貝氏網路的功能強大，然而相對於其他的機器學習方法，極耗電腦計算另一方面，貝氏網路乃是基於貝氏定理，其建構與推理的過程需要統計和機率的理論和假設條件，不僅用資料處理或電腦計算即可貝氏網路在之前並未廣泛使用最近資訊科技性能的提昇，已經足以使用此種機器學習方法，例如搜尋引擎Google 與網路書店Amazon 已經廣泛的
16、使用此種方法,貝氏網路應用實例台電餽線事故定位系統,配電高壓饋線事故定位的主要目的是在饋線發生事故後，迅速檢出故障區以加速隔離故障並轉供其他電源，以縮短用戶的停電時間，減少經濟損失和社會成本目前台電的配電饋線多半尚未自動化，因此當配電饋線發生故障時，饋線斷路器迅速跳脫，導致全線用戶停電台電人員必須根據經驗判斷並立即趕赴事故現場，執行試送電，以確定故障位址，且試送電的動作不利於電纜絕緣，因此故障的檢測相當耗費時間，即使已自動化的饋線，對於分歧線上的事故定位仍須仰賴經驗貝氏網路為基礎之事故定位專家系統之發展與實證，可推論在不同的事故狀況下，各設備的相對損壞可能性,(Chien, Chen, Lin, 2002),
