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1、计算机图形学基础华东理工大学计算机系 谢晓玲2第七章 三维变换及三维观察p如何对三维图形进行方向、尺寸和形状方面的变换;p如何进行投影变换;p如何方便地实现在显示设备上对三维图形进行观察;3三维变换p三维齐次坐标变换矩阵p三维基本几何变换p三维复合变换4三维齐次坐标变换矩阵比例、旋转、错切投影=srqpnjihmfedlcbaTD3平移总体比例5o 三维基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行的几何变换。o 假设三维形体变换前一点为p(x,y,z)，变换后为p(x,y,z)。三维基本几何变换6三维基本几何变换平移变换图7-4 三维平移变换 =1010000100001TzTyTxT1t7o
2、一般比例变换三维基本几何变换比例变换8p 例：对下图所示的长方形体进行比例变换，其中a=1/2，e=1/3，j=1/2，求变换后的长方形体各点坐标。 三维基本几何变换比例变换图7-5 三维比例变换10三维基本几何变换比例变换o 整体比例变换11三维基本几何变换旋转变换图7-6 三维旋转的方向与角度角的正负按右手规则 确定，右手大姆指指向旋 转轴的正向, 其余四个手 指指向旋转角的正向, 如 图所示。即:沿着坐标轴的正方向 观察原点,那么绕坐标轴的 逆时针为正，顺时针为。12三维基本几何变换旋转变换o绕Z轴旋转三维空间立体绕z轴正向旋转时, 立体上各顶点 的x, y坐标改变, 而z坐标不变。T-
3、1Rz()=TRz(-) 图7-6 三维旋转的方向与角度13三维基本几何变换旋转变换o绕X轴旋转三维空间立体绕x轴旋转时, 立体上各顶点的y, z坐标改变, 而x坐标不变。T-1Rx()=TRx(-)图7-6 三维旋转的方向与角度o绕Y轴旋转三维空间立体绕y轴正向旋转时, 立体上各顶点 的x, z坐标改变, 而y坐标不变。T-1Ry()=TRy(-)14三维基本几何变换旋转变换图7-6 三维旋转的方向与角度o 绕某轴正向旋转角的规律已知绕z轴旋转角,根据以下规律,可以替换出绕其 他轴的旋转变换: X-Y-Z-X(a)YqZZqZXOXqvYqvZOZqxXqxYO三维基本几何变换旋转变换o 绕
4、某轴正向旋转角的规律已知绕z轴旋转角的旋转变换: x=x cos z -y sinzy=x sin z +y cos z(b)z=z将(b)中x,y,z按(a)的规律替换,可得绕x轴的旋转变换: y=y cos x -z sinxz=y sin x +z cos x(c)x=x将(c)中x,y,z按(a)的规律替换,可得绕y轴的旋转变换: z=z cos y -x sinyx=z sin y +x cos y(d)y=y(b)a绕x正向旋转90(c) a绕y正向旋转90(d) a绕x正向旋转90n三维旋转举例设三棱柱ABCDEF(如图a)的各顶点为A(0,0,0)，B(20,0,0), C(0
5、,10,0), D(0, 0, 10), E(20, 0, 10), F(0, 10, 10), 试求三棱柱ABCDEF各绕x, y, z各轴正向旋转90后各顶点的 新坐标。三维基本几何变换旋转变换18p 关于坐标平面对称n 关于XOY平面进行对称变换的矩阵计算形 式为： 三维基本几何变换对称变换YZXOYZXO19n 关于YOZ平面进行对称变换的矩阵计算形式为 ： 三维基本几何变换对称变换20三维基本几何变换对称变换n 关于ZOX平面进行对称变换的矩阵计算形式为 ： 反射变换示意图(a) 对xOy面的反射； (b) 对yOz面的反射; (c) 对xOz面的反射三维基本几何变换对称变换22p
6、关于坐标轴对称变换n 关于x轴进行对称变换的矩阵计算形式为 ： 三维基本几何变换对称变换23三维基本几何变换对称变换n 关于Y轴进行对称变换的矩阵计算形式为： 24n 关于Z轴进行对称变换的矩阵计算形式为： 三维基本几何变换对称变换25p 关于原点对称 三维基本几何变换对称变换26三维基本几何变换错切变换三维错切变换是指三维立体在空间沿x、 y、 z 三个方向实现错切变形, 三维错切是二维错切变 换的一个扩充。 三维错切变换矩阵为：沿z方向错切：Tshz= 1 0 c 00 1 f 00 0 1 00 0 0 1 沿x方向错切：Tshx= 1 0 0 0d 1 0 0g 0 1 00 0 0
7、1 沿y方向错切：Tshy= 1 b 0 00 1 0 00 h 1 00 0 0 1以z轴为依赖轴(z值不变)的三维错切变换矩阵 ： SHz(shx,shy)= 1 0 0 00 1 0 0shx shz 1 00 0 0 1三维基本几何变换错切变换29p 逆变换：所谓逆变换即是与上述变换过程的相反的变换。n平移的逆变换三维基本几何变换30n 比例的逆变换 u局部比例变换的逆变换矩阵为：三维基本几何变换31u 整体比例变换的逆变换矩阵为： 三维基本几何变换32三维基本几何变换o 旋转的逆变换T-1Rz()=TRz(-) T-1Rz(-)=TRz()33o 三维复合变换是指图形作一次以上的变
8、换，变换结果是每次变换矩阵的乘积。P-1=(PT)-1=T-1P-1=T n-1T2-1T1-1P-1三维复合变换34相对于参考点F(xf,yf,zf)作比例、对称等变换的过程分为以下三步：(1)将参考点F移至坐标原点，T1(-xf,-yf,-zf）；(2)针对原点进行三维几何变换，T2；(3)进行反平移,T3(xf,yf,zf)。T=T1T2T3相对任一参考点的三维变换35p 相对于F(xf,yf,zf)点进行比例变换相对任一参考点的三维变换图7-7 相对参考点F的比例变换36问题：如何求出为TRAB。平移,使旋转轴过坐标原点; 旋转,使旋转轴与某一坐标轴重合; 按规定旋转； 反旋转,使旋转
9、轴回到原来的方位; 反平移,使旋转轴回到原来的位置。 绕任意轴的三维旋转变换图7-8 P点绕AB轴旋转37(1) 将坐标原点平移到A点；绕任意轴的三维旋转变换图7-9 三维旋转设：A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2);旋转轴矢量U=B-A=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)沿旋转轴矢量的单位矢量u=U/|U|=(a,b,c) 其中：a=(x2-x1)/|U|b=(y2-y1)/|U|c=(z2-z1)/|U| 令：v= b2+c2则：cos=c/v sin=b/v39(2) 将OBB绕x轴逆时针旋转角，则OB旋转到xoz平面上；绕任意轴的三维旋转变换图7-9 三维旋转图7-9 三
10、维旋转令：u= a2+v2 = a2+b2+c2 则：cos=v/usin=a/uvzB(a,0,v)Oxyv-a绕x旋转41绕任意轴的三维旋转变换(3) 将OB绕y轴顺时针旋转角，则OB旋转到z轴上；42(4) 经以上三步变换后，AB轴与z轴重合，此时绕AB轴的 旋转转换为绕z轴的旋转；(5) 最后，求TtA，TRx，TRy的逆变换，回到AB原来的位置。 (6)TRx-1()=TRx (-)，同理TRy-1()=TRy (- );绕任意轴的三维旋转变换43p 类似地，针对任意方向轴的变换可用五个步骤来完成：(1)使任意方向轴的起点与坐标原点重合，此时进行平移变换。(2)使方向轴与某一坐标轴重
11、合，此时需进行旋转变换，且旋转变换可能不止一次。(3)针对该坐标轴完成变换。(4)用逆旋转变换使方向轴回到其原始方向。(5)用逆平移变换使方向轴回到其原始位置。绕任意轴的三维旋转变换数学基础矢量另一种基于矢量的推导方法： o 矢量具有确定的方向和大小（长度） o 矢量是流动的，无位置概念 o 矢量的运算 C=A+B, B=2A数学基础矢量o 点表示空间中的一个位置 o 点和另一个点相减得到一个矢量 v=P-Q o 矢量和点相加得到另一个点 P=Q+v o 点和矢量都是客观实在 o 矢量为实数的n元组，常用u、v或w表示数学基础矢量o 矢量v和w相加为以v和w为边的四边形的对角线o 标量乘法(实
12、数或与矢量相乘)为各个分量分 别相乘 o (+)v= v+ v、(v+w) = v+ w、 1v=v、wvw+vvv数学基础欧氏空间o 数量乘（点乘） a=uv (a为实数，u、v为矢量) x1y1 x2y2 =x1y1+x2y2+xnyn xnyn o 00=0 o 如果uv=0,则称u和v垂直 o 矢量的长度|v|， |v|2=vv=vx2+vy2+vz2 |v|= vx2+vy2+vz2 o 单位矢量v=v/|v|数学基础欧氏空间o 两矢量u、v的数量积，等于两矢量的模和它们之间的夹角 的余弦的乘积：uv =|u|v|cos()= uxvx+uyvy+uzvzo 如果v是单位矢量，则：u
13、v =|u|cos()，即:矢量u、v的数量积等于其中一个矢量的模和 另一个矢量在这个矢量的方向的投影的乘积。o cos()= uv/|u|v|Uo 两矢量u、v的矢量乘uv，满足三个条件： l|uv|=|u|v|sin() luv u、 uv v luv的方向由”右手法则”确定方向 o 设n为垂直于U和V的单位向量， 其方向由右手定律决定，则： uv=n|uv|=n|u|v|sin() o |u|= ux2+uy2+ uz2nuvUV数学基础欧氏空间o 设i,j,k为x,y,z轴的单位向量（量值为1），则： UV = (ux*i+uy*j+uz*k)(vx*i+vy*j+vz*k) =uxv
14、x(ii)+ uyvx(ji)+ uzvx(ki)+uxvy(ij)+ uyvy(jj)+ uzvy(kj)+uxvz(ik)+ uyvz(jk)+ uzvz(kk) i,j,k是相互垂直的单位矢量， 具有以下关系： ii=0、jj=0、kk=0ij=-ji=k、jk=-kj=i、ki=- ik=juvUV数学基础欧氏空间UV=(UyVz-UzVy)i +(UzVx-UxVz)j +(UxVy-UyVx)k 可以借助笛卡尔分量以行列式格式写 出叉积：i j k 1 1 1 UyVz-UzVy UV= ux uy uz = ux uy uz = UzVx-UxVzvx vy vzvx vy vz
15、 UxVy-UyVx 其中i、j和k是三个轴方向的单位矢 量uvUV数学基础欧氏空间o 矢量乘UV不满足交换律 UV=-(VU) o 矢量乘不满足结合律 U(VN)(UV)N o 两个平行向量的矢量乘为0 o 数量乘UV满足交换律 UV=VU o 数量乘满足分配律 (U+V)N =UN + VN o 两个垂直向量的数量乘为0，即如果uv=0,则称u和v垂 直数学基础欧氏空间l 设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2);l 旋转轴矢量U=B-A=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)l 沿旋转轴矢量的单位矢量u=U/|U|=(a,b,c) 其中：a=(x2-x1)/|U|b=(y2-y1)/|U|c=(z2-z1)/|U|向量ux、uy、uz为向量U的各分量a,b,c的方向余弦 。绕任意轴的三维旋转变换基于矢量YZ
