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1、第4讲：自由曲线和曲面第四章：自由曲线和曲面v 参数样条曲线v Bezier曲线v B样条曲线v 自由曲面概 述v从计算机对形状处理的角度来看 v（1）唯一性 v（2）几何不变性： 对在不同测量坐标系测得的同一组数据点进行 拟合，用同样的数学方法得到的拟合曲线形状 不变。 v（3）易于定界 v（4）统一性： 统一的数学表示，便于建立统一的数据库概 述v标量函数：平面曲线 y = f(x)空间曲线 y = f(x)z = g(x)v矢量函数：平面曲线 P(t) = x(t) y(t)空间曲线 P(t) = x(t) y(t) z(t)插值、逼近和拟合v插值严格通过已知型值点v逼近近似地地接近已知
2、型值点v拟合以上两种方法统称插值逼近自由曲线曲面的发展过程v目标：美观，且物理性能最佳 v1963年，美国波音飞机公司，Ferguson双三次曲面 片 v19641967年，美国MIT，Coons双三次曲面片 v1971年，法国雷诺汽车公司，Bezier曲线曲面 v1974年，美国通用汽车公司，Cordon和 Riesenfeld, Forrest, B样条曲线曲面 v1975年，美国Syracuse大学，Versprille有理B样 条 v80年代，Piegl和Tiller, NURBS方法参数表示的好处v有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状v易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算v设计或
3、表示形状更直观，许多参数表示的基函数如Bernstein基和B样条函数，有明显的几何意义1 参数样条曲线v曲线的三种坐标表示法 v直角坐标表示1) 显式： y = f (x) 如 y = sin (x)2) 隐式： f (x, y) = 0参数坐标表达式1 参数样条曲线v 极坐标表示对于任一坐标曲线 ，坐标变换关系式：v例：阿基米德螺线：1 参数样条曲线v参数坐标表示v例：弹道曲线：1 参数样条曲线v二次参数样条曲线或曲面v三次参数样条曲线或曲面v参数样条曲线术语 v型值点和控制点 型值点或控制点的个数 = 曲线次数+1 v切线、法线和曲率 切线是一阶导数，曲率是二阶导数1 参数样条曲线v 2
4、. 切线、法线和曲率v曲率公式+d d MQds x = x ( t ),y = y ( t ), t 0, 1 z = z ( t ),矢量形式： P = P ( t ), t 0, 1 P ( t ) 的 k 阶导数 1 参数样条曲线对 t = t0，若 P(t0) = x(t0), y(t0),z(t0)T 0， 则称 P(t0)为正则点。v正则点的几何意义是什么？1 参数样条曲线导数的意义是 P对t 的变化率， P(t0) = 0 意味着 P 在t0处为水平线。切矢量OPP( t )P( t + t)P( t )xy曲线弧长P0P1Pn法矢量N(s)法平面切平面P(s)B(s)T(s)
5、T (s)为单位矢量 T (s)2 = 1N (s) = T(s) 所以 N (s) 与 T(s) 垂直曲率T(s)P(s)P(s+s)T(s +s)T(s+s)T(s)RQ参数连续性和几何连续性v0阶参数连续性 C 0连续性如：折线 v1阶参数连续性 C 1连续性如：直线 v2阶参数连续性 C 2连续性如：圆、抛物线、双曲线3 三次Hermite曲线v定义 给定4个矢量 ，称满足条件的三次多项 式曲线P(t)为Hermite曲线P0R0R1三次Hermite曲线v矩阵表示 条件三次Hermite曲线 合并 解三次Hermite曲线v基矩阵与基函数（调和函数）24三次Hermite曲线v形状控
6、制 改变端点位置矢量P0, P1 调节切矢量 R0, R1 的方向 调节切矢量 R0, R1 的长度vHeimite插值曲线并不唯一，需要给出端点条件三次插值样条曲线的端点条件v二次插值样条需要四个条件。 v在全部点列Pi(i=1,2,n)中，得到n-3段曲线：P0P1P2Pn-1PnPn+1P0和Pn+1的不同会导致不同的曲线三次插值样条曲线的端点条件v三次插值样条的端点条件（常用）。 已知两端的切矢P1和Pn 自由端条件 形成封闭曲线P0P1P2 PnPnPn+1P1Pn27三次Hermite曲线v优点： 简单，易于理解 v缺点： 难于给出两个端点处的切线矢量作为初始条件 不方便n所有参数
7、插值曲线的缺点：n只限于作一条点点通过给定数据点的曲线n只适用于插值场合，如外形的数学放样n不适合于外形设计28三次Hermite曲线v优点： 简单，易于理解 v缺点： 难于给出两个端点处的切线矢量作为初始条件 不方便n所有参数插值曲线的缺点：n只限于作一条点点通过给定数据点的曲线n只适用于插值场合，如外形的数学放样n不适合于外形设计Bezier曲线表达式二次Bezier曲线： P(t) = (1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2P2三次Bezier曲线： P(t) = (1-t)3P0+3t(1-t)2P1 + 3t2(1-t) P2 +t3P33 Bezier曲线Bezier曲线v19
8、62年，法国雷诺汽车公司 vP.E.Bezier工程师 v以“逼近”为基础 v用于汽车设计的UNISURF系统 v1972年雷诺汽车公司正式使用Bezier曲线vBezier基函数-Bernstein多项式的定义32Bezier曲线vBezier基函数-Bernstein多项式的定义33Bezier曲线vBernstein基函数的性质 正性 权性 对称性 降阶公式 升阶公式34Bezier曲线 导数 积分 最大值 在t = i/n处取得最大值 线性无关性 是n次多项式空间的一组基35Bezier曲线vBezier曲线的定义 n次多项式曲线P(t)称为n次Bezier曲线 控制顶点 控制多边形P
9、0P1P2P336Bezier曲线 对称性 不是形状对称 保持贝塞尔曲线全部控制点Pi的坐标位置不变，只是将 控制点Pi的排序颠倒 ，曲线形状保持不变37Bezier曲线 凸包性 点集的凸包 包含这些点的最小凸集 Bezier曲线位于其控制顶点的凸包之内38Bezier曲线 多值性P1P4P2P0=P5P339Bezier曲线v二次Bezier曲线 n=2 抛物线P0P2P1MP(0.5)P(1)P(0)40Bezier曲线v三次Bezier曲线 n=3P0P1P2P3P(0)P(1)41v缺点： 所生成的曲线与特征多边形的外形相距较远 局部控制能力弱，因为曲线上任意一点都是所有给定 顶点值的
10、加权平均 控制顶点数增多时，生成曲线的阶数也增高 控制顶点数较多时，多边形对曲线的控制能力减弱 曲线拼接需要附加条件，不太灵活Bezier曲线424 B样条曲线v 产生： 1946年，Schoenberg发表关于B样条函数的第1篇 论文 1973年前后，Gordon,Riesenfield,Forrest等人受 到Bezier方法的启发，将B样条函数拓广成参数形式 的B样条曲线 v 优于Bezier曲线之处： 与控制多边形的外形更接近 局部修改能力 任意形状，包括尖点、直线的曲线 易于拼接 阶次低，与型值点数目无关，计算简便43B样条曲线v定义： 给定m+n+1个空间向量 ，(k=0,1,m+
11、n)，称 n次参数曲线为n次B样条曲线的第i段曲线（i=0,1,m） 它的全体称为n次B样条曲线，它具有Cn-1连续性44B样条曲线v 为简化记号，取i=0来代表样条中的任意一段v 基函数为B样条函数45B样条曲线v二次B样条 n=2 抛物线B0B2B1MP(0.5)P(1)P(0)46B样条曲线v三次B样条 n=3B0B0B1B1B2B2B3B347B样条曲线v三次B样条的C2连续性 如果增加一个控制顶点 P4，则前一段曲线是否 会受影响？P(t)P4B-样条曲线表达式与Bezier样条相比的优点： 1) B-样条多项式次数独立于控制点的个数。 2) B-样条允许曲线和曲面可以局部控制。B-
12、样条的基函数比Bezier的基函数更为复杂。4 B-样条曲线B-样条基函数4 B-样条曲线i = 0, 1, nB-样条曲线局部性、凸包性、直线再生性、 分段参数多项式曲线、连续性、 导数曲线、仿射不变性、平面保型性4 B-样条曲线v非均匀有理B样条(NURBS)一条k阶（k-1次）非均匀有理B样条其中Ri(i=1,2,n)为控制顶点，hi(i=1,2,n)称为权或权因子 ，分别与控制顶点相联系。其中首、末权因子大于零，其余 权因子不小于零。控制顶点顺序连成控制多边形。其节点向 量是一般非均匀的。当所有权因子均为1时，NURBS曲线就成 为B样条曲线。5 非均匀有理B样条1.对标准的解析形状（
13、如圆锥曲线、二次曲面、回转面等 ）和自由曲线、曲面提供了统一的数学表示，而且对二 次曲线曲面的表示是精确的。 2.由操纵控制顶点和权因子为各种形状设计提供了充分的 灵活性。 3.计算稳定且速度较快。 4.NURBS在比例、旋转、平移、剪切以及平行和透视投影变 换下是不变的。 5.NURBS是非有理B样条形式以及Bezier形式的合适的推广 。 NURBS的特点 4 自由曲面v 参数曲面的概念P(u,w) = x(u,w), y(u,w), z(u,w) 0 u,w 1011uw(u,w)P(0,0)P(0,w)P(0,1)P(u,0)P(1,1) P(1, w)P(1, 0)P(u, 0)P(
14、u,w) vu和w向切矢：v 四个角点的u向和w向切矢为：Pu(0,0)、 Pu(1,0)、 Pu(0,1) 、 Pu(1,1)、Pw(0,0)、 Pw(1,0)、 Pw(0,1) 、Pw(1,1). v 混合偏导矢（扭矢）：v 四个角点的扭矢为：Puw(0,0)、 Puw(1,0)、 Puw(0,1) 、Puw(1,1)三次曲面的数学表示v 双三次曲面片的代数形式为v 其矩阵表达式为 P(u,w) = UAWT其中 1. 孔斯（Coons）曲面v 由曲面四个角点、每个角点处的两个切矢及四个角点处的混合偏导矢 （扭矢）确定曲面。P(0,0)P(0,w)P(0,1)P(u,1)P(1, w)P(
15、1, 0)P(u, 0)P(1,1) P(u,w) Coons曲面的特点：v属于构造插值曲面的方法，曲面构造的几何意义明确 且曲面的表达式简洁，主要用于构造那些通过给定型 值点的曲面，而不适用于进行曲面的设计。这是因为 ： 在曲面设计的初级阶段，需要不断地修改型值点的位置。所 以对位置尚未最后确定的型值点构造插值曲面，显然是不合 理的。 由于扭矢的几何意义不很明显，工程设计人员难以把握，因 此难以提供精确的角点信息，使曲面的形状不易控制。 不具备局部性。修改任意一个型值点都会影响整张曲面的形 状，而其形状变化又难以预测。2. Bezier曲面 v 用控制多边形网格（特征网格）替代点矢、切矢与扭矢构造 Bezier曲面。v 可以认为控制网格是曲面P(u,w)大致形状的勾画；P(u,w)是对 控制网格的逼近。Bezier曲面的特点：v Bezier曲面是以逼近为基础的曲面设计方法。它先通过 控制顶点网格勾画出曲面的大体形状，然后通过修改控制 顶点的位置修改曲面的形状。这种构造方法比较直观，易 于为工程设计人员所接受，因而获得了广泛的应用。 v 这种方法不具有局部性，即修
