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1、高等数学教学课件第八章 微分方程 精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程内容导航 什么是微分方程 分离变量法 微分方程的应用（1） 二阶常系数线性微分方程 数学建模：微分方程应用（2） 8-1 什么是微分方程 精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程引例1：曲线过点（1，2），且在该曲线上任意一点M (x , y) 处的切线的斜率为2x，求这曲线的方程?解 设
2、所求曲线y=f ( x ) ，根据导数的几何意义得 （1）此外还应满足条件 把方程（1）两边积分，得 即 把条件 代入（2），得C=1 把 C=1代入（2）式，即得所求曲线方程 8-1 什么是微分方程 精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程引例2：质量为M的物体，受重力作用自由下降，试求物体下 落的运动规律? 解 设所求运动规律为s=s ( t ) ，根据导数的力学意义，未知 函数s=s ( t ) 应满足方程 (4)由于自由落体的初始位置和初始速度均为零，未知函数 s=s
3、( t )满足条件 把方程（4）两边积分，得 (5)再积分一次，得 (6)其中 都是任意常数. 将条件分别代入（5）、（6）内，得于是所求的运动规律为8-1 什么是微分方程 精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程5、特解通常可以按照问题的条件从通解中确定任意常数的特 定值而得到，用来确定特解的条件，称为初始条件1、含有未知函数的导数(或微分)的方程叫做微分方程 相关概念2、微分方程中所出现的未知函数最高阶导数的阶数，叫做 微分方程的阶3、如果把某个函数代入微分方程，能使方程恒
4、等，这个方程 称为微分方程的解；求微分方程的解的过程，叫做解微分方程 4、微分方程的解有不同的形式，常用的两种形式是：一种是 解中含有任意常数并且独立的任意常数的个数与微分方程的 阶数相同，这样的解称为微分方程的通解；另一种是解不含 任意常数，称为特解8-2 可分离变量法 精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程解简单微分方程常用的方法：将方程进行变形，然后等式两边进行积分。例：求解一阶微分方程解 变形为 然后两边积分，得 于是 即 ，其中C为任意常数，可以验证，函数 是方程的
5、通解。 8-2 可分离变量法 精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程一般地，形如 的微分方程称为可分离变量的微分方程。 求解基本方法是：先变形、后积分。8-2 可分离变量法 精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程例 3 求微分方程 的通解 解 原方程可改写为 分离变量，得 两边积分，得 于是 即 ，这就是所求的微分方 程的通解。8-2 可分离变量法 精品课程
6、v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程例4 求方程 满足初始条件 的特解解 原方程可改写为分离变量，得 两边积分，得 化简，得 令 于是 这就是所求的微分 方程的通解。把初始条件 代入上式，求得C=11，于 是所求微分方程的特解为 。8-3 微分方程应用（1） 精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程增长与衰减 用分离变量法解实际中经常出现的方程分离变量，得 两边积分
7、，得 即 其中，于是系数A为正值，所以 所以，微分方程 总是联系于指数增长 或 指数衰减 。8-3 微分方程应用（1） 精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程例5 当一次谋杀发生后，尸体温度从原来的370C， 按照牛顿冷却定律（一块热的物体其温度下降的 速度是与其自身温度同外界温度的差值成正比的 关系），开始变凉，假设两小时后尸体温度变为 350C，并且假定周围空气的温度保持200C不变（1）求出自打谋杀发生后尸体温度是如何作为时间 的函数而变化的； （2）画出温度时间曲线；
8、 （3）最终尸体的温度将如何？用图像和代数两种方 式表示出最终结果； （4）如果尸体被发现时的温度为300C ，时间为下 午4点整，那么谋杀时何时发生的？8-3 微分方程应用（1） 精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程解 （1）按冷却定律建立方程温度变化率=a温度差=a(H-20), 其中a为比例常 数，H 为尸体温度于是 考虑a的正负号，如果温度差是 正的（即H20）、则是H下降的，所以温度的变化 率就应是负的，因此a 应为负的，于是 分离变量求解，得代入初始值（t=0时
9、，H=37）求B， 于是 为了求K的值，我们根据两小时后尸 体温度为350C这一事实，有 化简，取对数得 ， 于是温度函数为8-3 微分方程应用（1） 精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程（2）作草图如下：（3）“最终趋势”指 ,取极限（4）求多长时间尸体温度达到300C，即令H=30，代入得 ，两边取自然对数得 即t8.4 （小时）于是，谋杀一定发生在下午4点这一尸体被发现时的前8.4小时 （即8小时24分），所以谋杀是在上午7点36分发生的。t t0 0H H2020H
10、=20+17eH=20+17e-0.063t-0.063t 37378-4 二阶微分方程 精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程形如 的二阶微分方程称为 二阶常系数线性齐次微分方程 。如。如 例：求 的通解分析： 解微分方程是求未知函数y，观察分析此题 ，常见函数中什么函数的 是同 一类函数呢？联想到是ex类型，用待定法设 y=erx ，代入变形为 则只须 ，称此代数方程为微分方 程的特征方程，其根设为特征根。8-4 二阶微分方程 精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导
11、 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程解 解特征方程 得于是微分方程的通解 （可以证明，二阶常系数线性齐次微分方程的两个 特解 ，只要他们不成比例，则 为该方程的通解）例7 求方程 的通解解 特征方程 则通解为重根时，得一个特解 ，再用待定法令 或 等等，求得另一个特解 8-4 二阶微分方程 精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程例 求微分方程 的通解 解 特征方程为 共轭虚根为 原方程的通解 （共轭
12、虚根时，由欧拉公式有 再根据该方程 的线性组合仍是解而 消去i ）8-4 二阶微分方程 精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程于是二阶线性齐次微分方程的特解形式 ：特征方程 特征方程 的两个根的两个根 微分方程 的通解微分方程 的通解 (1)(1)两个不相等实根两个不相等实根r r1 1,r ,r2 2(2)两个相等实根r1=r2=r (3)共轭虚根8-4 二阶微分方程 精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6
13、章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程例9：求 的通解分析：这类微分方程叫二阶常系数线性非齐次微分 方程 可以证明： 其通解为“齐次通解+ 非齐特解”。 即可先求 的通解，再求 的特解。解 特征方程齐次通解为 8-4 二阶微分方程 精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应用v第8章 微分方程用待定系数法求解（由方程右边的特点） 令 y=ax+b 代入原方程，得 即 解之 所以原方程的通解说明：求非齐次方程的特解时，由f(x)的特点如 指数函数或三角函数等用待定法求解，即类似可解 等等 8-5 数学建模：微分方程应用(2) 精品课程v序 言v第1章 函 数v第2章 导 数v第3章 定积分v第4章 求导方法v第5章 导数应用v第6章 求积分方法v第7章 定积分应
