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1、定理1 矩阵对策G=S1 ， S2；A在纯策略意义下有解 的充要条件是：存在纯局势（ i* , j* ）使得对一切 i=1,2, ,m, j=1,2, ,n, 均有aij* ai*j* ai*j 。E(x,y*) E(x*,y*) E(x*,y)定理2 矩阵对策G= S1, S2;A 在混合策略意义下有解 的充要条件是：存在x* S1* ,y* S2*,使(x*,y*)为E(x,y) 的一个鞍点，即对一切x S1* ,y S2*，有复习已讲的矩阵对策内容E(i,y*) E(x*,y*) E(x*,j)定理3 设x* S1* ,y* S2*,则(x*,y*)是G的解的充要条件 是：对任意i=1,
2、2, ,m和j=1,2, ,n，有定理4 设x* S1* ,y* S2*,则(x*,y*)是G的解的充要条件 是：存在v,使得x*和y*分别是不等式组v , j=1,2, ,ni=1m aijxi1i=1m xixi0 , i=1,2, ,mv , i=1,2, ,mj=1n aijyj1j=1n yiyj0 , j=1,2, ,n和的解，且v=VG 。E(x,j) E(i,y)定理5 对任一矩阵对策G= S1, S2;A，一定存在混合 策略意义下的解。运筹学对策论(三)记矩阵对策G的解集为T(G), 关于对策解集有下列 两个性质：定理6 设有两个矩阵对策 G1= S1, S2;A1，G2=
3、S1, S2;A2 ，其中A1 =(aij), A2 =(aij+L),L为任一常数，则有 VG2= VG1+L T(G1)=T(G2)例 1 设G1和G2赢得矩阵分别为5 1 A1= 2 4 4 07 3 A2= 4 6 6 2定义5 设G=S1 ， S2；A为矩阵对策，其中 S1=1,2, ,m，S2= 1, 2, , n ，A=（aij）mn 。如果对一切j=1,2, ,n,都有ai0j ak0j 即矩阵A的 第i0行均不小于第k0行的对应元素，则称局中人的 纯策略i0优超于k0 ；同样，若对一切i= 1,2, ,m, 都有aij0 ail0即矩阵A的第l0列均不小于第j0列的对应 元素
4、，则称局中人的纯策略 j0优超于 l0。定理7 设有两个矩阵对策 G1= S1, S2;A，G2= S1, S2; A ，其中0为任一常数，则有 VG2= VG1 T(G1)=T(G2) 例 2 设G1和G2赢得矩阵分别为3 2 A1= 2 4 2 06 4 A2= 4 8 4 0定理8 设G=S1 ， S2；A为矩阵对策，其中S1=1,2, ,m，S2= 1, 2, , n ，A=（aij）mn 。如果纯策略1被2, ,m中之一所优超 ，由G可得到一个新的矩阵对策G： G= S1 , S2；A 其中S1 = 2, ,m， A =（aij ）(m1)n aij = aij , i=2, ,m
5、, j=1,2, ,n ,则V G =VG ； G中局中人的最优策略就是其在 G中的最优策略；若(x2*, , xm*)T是G中局中人 的最优策略，则x*= (0，x2*, , xm*)T便是其在G中的 最优策略。例 3 设G赢得矩阵为3 2 2 A=5 2 3 2 5 1推论 ： 在定理8中，若纯策略1不是为2, ,m中 之一所优超 ，而是为2, ,m的某个凸线性组合所 优超，定理的结论仍然成立。优超原则：定理8给出了一个简化赢得矩阵A的原则 ，称之为优超原则。根据这个原则，当局中人的 某纯策略i被其它纯策略或纯策略的凸线性组合所 优超，可在矩阵A中划去第i行而得到一个与原对策 G等价但赢得
6、矩阵阶数较小的对策G，通过求G而 得到G的解。7 3 9 9 A= 4 6 8 5.56 0 8 3例：1/3(第1列)+2/3 ( 第2列)优超第4列例 4 设赢得矩阵为3 2 0 3 0 5 0 2 5 97 3 9 5 9A= 4 6 8 7 5.5 6 0 8 8 3求解这个矩 阵对策。解 ：由于第4行优超第1行，第3行优超第2行，故可划 去第1行和第2行，得到新的赢得矩阵7 3 9 5 9 A1= 4 6 8 7 5.5 6 0 8 8 3 对A1第1列优超第3列，第2列优超第4列，1/3(第1列 )+2/3 (第2列)优超第5列，故可划去第3 4 5列，得到 新的赢得矩阵7 3 A
7、2= 4 6 6 07 3A3=4 6A2第1行优超第 3行，故划去第 3行，得到对于A3，易知无鞍点，应用定理4，求解不等式组 7x3+4x4 3x3+6x4 x3+x4=1 X3,x4 0和7y1+3y2 4y1+6y2 y1+y2=1 y1,y2 07x3+4x4= 3x3+6x4= x3+x4=17y1+3y2= 4y1+6y2= y1+y2=1首先考虑方程组的解求解得x3*=1/3，x4 *=2/3； y1*=1/2，y2 *=1/2； =5于是，原矩阵对策的一个解就是 ：X*=(0,0,1/3,2/3,0)T， Y*=(1/2, 1/2,0,0,0 ) T ， VG=5练习题“二指莫拉问题”。甲乙二人游戏，每人 出一个或两个手指，同时又把猜测对方所出的 指数叫出来。如果只有一个人猜测正确，则他 所赢得的数目为二人所出指数之和，否则重新 开始。写出该对策中各局中人的策略集合及甲 的赢得矩阵，并回答局中人是否存在某种出法 比其它出法更为有利。
