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1、 1.等差数列an中,已知 a1=20,前n项和为Sn,且 S10=S15. (1)求前n项和Sn; (2)当n为何值时,Sn有最 大值,并求它的最大值.题组一:求|an|的前n项和 例1:已知数列an的前 n项和an=13-2n,求数列 |an|的前n项和题组一:求|an|的前n项和T13:已知数列an的前 n项和Sn=n2-10n,求： Tn=|a1|+|a2|+|an|的 值题组二:Sn有关的性质例2:等差数列an=2n+3, 试计算S3,S6,S9,S12, 你有何发现？能推广到 一般吗？若能,请证明 之。题组二:Sn有关的性质T2:在等差数列an中, 已知 S4=1,S8=4, 则
2、a17+a18+a19+a20=题组二:Sn有关的性质T5:已知等差数列an 中,Sm=30,S2m=100, 则 S3m=2.已知an是等差数列. (1)前4项和为 21,末4项和为67,且各项和为286. 求项数; (2)Sn=20,S2n=38,求 S3n; (3)项数为奇数,奇数项和为44,偶数项和为33,求数列的中间项和项数.4.已知数列 an 满足 a1=4, an=4- (n2), 令 bn= . (1)求证: 数列 bn 是等差数列; (2)求数列 an 的通项公式. an-1 4an-2 1(1)证: 由已知 an+1-2=2- = . 4 an 2(an-2) an an+
3、1-21 = = + . 2(an-2) an an-211 2 - = . an+1-21an-211 2即 bn+1-bn= . 1 2 故数列 bn 是等差数列. (2)解: 是等差数列, an-2 1 = +(n-1) = . a1-21an-21n 21 2数列 an 的通项公式为 an=2+ . 2nan=2+ . 2n8.设 an 为等差数列, Sn 为数列 an 的前 n 项和. 已知 S7=7, S15=75, Tn 为数列 的前 n 项和. 求 Tn.Sn n 解: 设等差数列 an 的公差为 d, 则 Sn=na1+ . n(n-1)d 2 S7=7, S15=75, 解
4、得: a1=-2, d=1. Tn= n2- n. 9 41 47a1+21d=7, 15a1+105d=75, a1+3d=1, a1+7d=5, 即 =a1+ (n-1)d=-2+ (n-1). Sn n1 21 2 - = , Sn+1 n+1 Sn n1 2 1 2Sn n数列 是等差数列, 其首项为 -2, 公差为 . 5.在等差数列 an 中, 已知 a1=20, 前 n 项和为 Sn, 且 S10=S15. (1)求前 n 项和 Sn; (2)当 n 为何值时, Sn 有最大值, 并求它的 最大值.(1)Sn=- (n2-25n); 5 6 (2)当且仅当 n=12 或 13 时
5、, Sn 有最大值, 最大值为130.6.已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn, 且 a2=1, S11=33. (1)求 数列 an 的通项公式; (2)设 bn=( ) , 且数列 bn的前 n 项和为 Tn, 求证: 数列 bn 是等比数列, 并求 Tn.an12(1)an= n; 1 2(2)Tn=( 2 +1)(1-2- ). n 21.已知 an 是等差数列. (1)前 4 项和为 21, 末 4 项和为 67, 且 各项和为 286. 求项数; (2)Sn=20, S2n=38, 求 S3n; (3)项数为奇数, 奇数项和为 44, 偶数项和为 33, 求数列的中间项和项数
6、. 解: (1)设数列的项数为 n, 依题意得:4(a1+an)=21+67=88. a1+an=22. 由 n(a1+an)=2Sn=2286 得:(2)Sn, S2n-Sn, S3n-S2n 成等差数列, S3n-S2n+Sn=2(S2n- Sn). a1+a2+a3+a4=21, an-3+an-2+an-1+an=67, 且有: Sn=286, a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3. n=26. 故所求数列的项数为 26. S3n=3(S2n-Sn)=3(38-20)=54. (3)依题意S奇+S偶=Sn, S奇-S偶=a中, Sn=na中. Sn=77, a中=
7、11, Sn=na中. 解得: a中=11, n=7. 课后练习题3.等差数列an中,a2与a6的等差中项为5,a3与a7的等差中项为7,则an= 4.在等差数列an中,am=n,an=m(nm),则am+n=例3:在数列an中,已知求证:数列an是等差数列 .例4.已知数列满足令求证：是等差数列。例1.已知三个数成等差 数列,其和为15,其平方 和为83,求此三个数.2、已知等差数列an中的 前三项依次为a-1,a+1,2a+3, 则此数列的通项公式为 32等差数列 一、概念与公式 1.定义若数列 an 满足: an+1-an=d(常数), 则称 an 为等差数列.2.通项公式3.前n项和公
8、式二、等差数列的性质1.首尾项性质: 有穷等差数列中, 与首末两项距离相等的两 项和相等, 即:特别地, 若项数为奇数, 还等于中间项的两倍, 即: a1+an=a2+an-1=a3+an-2= =2a中. a1+an=a2+an-1=a3+an-2= . an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d. Sn=na1+ = . n(a1+an) 2n(n-1)d 2特别地, 若 m+n=2p, 则 am+an=2ap .2.若 p+q=r+s(p、q、r、sN*), 则 ap+aq=ar+as .3.等差中项如果在两个数 a、b 中间插入一个数 A, 使 a、A、b 成等差 差数列, 则 A
9、叫做 a 与 b 的等差中项.4.顺次 n 项和性质5.已知 an 是公差为 d 的等差数列a+b A= . 2(1)若 n 为奇数, 则 Sn=na中 且 S奇-S偶= a中, = . S奇 S偶n+1 n-1 (2)若 n 为偶数, 则 S偶- S奇= .nd 2若 an 是公差为 d 的等差数列, 则 ak, ak, ak 也成等 差数列, 且公差为 n2d.k=2n+1 3n k=1 nk=n+1 2n 6.若 an, bn 均为等差数列, 则 man, mankbn 也为等差 数列, 其中 m, k 均为常数.三、判断、证明方法1.定义法;2.通项公式法;3.等差中项法. 四、Sn的
10、最值问题二次函数注: 三个数成等差数列, 可设为 a-d, a, a+d(或 a, a+d, a+2d) 四个数成等差数列, 可设为a-3d, a-d, a+d, a+3d. 7.若等差数列 an 的前 2n-1 项和为 S2n-1, 等差数列 bn 的前 2n-1 项和为 T2n-1, 则 = . S2n-1 T2n-1an bn1.若 a10, d0 时, 满足an0, an+10. 典型例题解: 不妨设 QP, 则 SQ-SP=aP+1+aQ =- . P+Q PQ aP+1+aQ 2则 SP+Q= = (P+Q)(a1+aP+Q) 2(P+Q)(aP+1+aQ) 2 (P+Q)2 PQ
11、 =- . 1.已知 , , 成等差数列, 求证: , , 成等差数列.b1 a1 c1 c a+b b c+a a b+c 2.等差数列的前 n 项和为 Sn, 若 SP= , SQ= (PQ), 求 SP+Q ( 用 P, Q 表示).Q PPQ3.等差数列的前 n 项和为 Sn, 若 Sm=Sk(mk), 求 Sm+k.4.等差数列 an 的首项 a10, 前 n 项和为 Sn, 若 Sm=Sk, mk, 问 n 为何值时 Sn 最大.0 n= (m+k为偶数时); 或 (m+k 为奇数时). m+k 2m+k+1 2m+k-1 25.在等差数列 an 中, 已知 a1=20, 前 n
12、项和为 Sn, 且 S10=S15. (1)求前 n 项和 Sn; (2)当 n 为何值时, Sn 有最大值, 并求它的 最大值.(1)Sn=- (n2-25n); 5 6 (2)当且仅当 n=12 或 13 时, Sn 有最大值, 最大值为130.6.已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn, 且 a2=1, S11=33. (1)求 数列 an 的通项公式; (2)设 bn=( ) , 且数列 bn的前 n 项和为 Tn, 求证: 数列 bn 是等比数列, 并求 Tn.an12(1)an= n; 1 2(2)Tn=( 2 +1)(1-2- ). n 27.已知函数 f(t) 对任意实数
13、x, y 都有: f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x +y+2)+3, f(1)=1. (1)若 t 为正整数, 试求 f(t) 的表达式; (2)满 足 f(t)=t 的所有整数 t 能否构成等差数列? 若能构成等差数列, 求出此数列; 若不能构成等差数列, 请说明理由; (3)若 t 为自 然数, 且 t 4, f(t)mt2+(4m+1)t+3m 恒成立, 求 m 的最大值.(1)f(t)=t3+3t2-3 (tN*); (3)f(t)mt2+(4m+1)t+3mf(t)-tm(t2+4t+3)mt-1. 所求数列为: -3, -1, 1 或 1, -1, -3; (2)f(t
14、)=t3+3t2-3 (tZ), f(t)=t t=-3, -1, 1, 故 m 的最大值是 3. 8.已知函数 f(x)=px2+qx, 其中, p0, p+q1. 对于数列 an, 设它的前项和为 Sn, 且 Sn=f(n)(nN*). (1)求数列 an 的通项 公式; (2)证明: an+1an1; (3)证明: 点 M1(1, ), M2(2, ), M3(3, ), , Mn(n, ) 都在同一直线上.1S1 2S23S3 nSn(1)an=(2n-1)p+q (nN*); (2)an+1-an=2p0, an+1ana1=p+q=1; (3)只要证其中任意一点 Mr(r, )(r1, rN*)与点M1(1, )1S
