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1、高等代数课件-天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组6.3 正定二次型与正定矩阵第六章 二次型高等代数课件-天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组由上节的讨论可知,化一个实二次型为标准形, 用不同的可逆线性变换可得到不同的标准形,也就 是说二次型的标准形不唯一,但标准形中所含的项 数(即二次型的秩)是确定的.还可证明:同一个实二 次型的不同标准型中正系数的个数相同,负系数的 个数也相同,即有下面的定理. 定理1: 设二次型 f =xTAx 的秩为r, 若有两个实的可逆变换 x=Cy 及 x=Pz 使及高等代数课件-天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组个数相等. 二次型的标准型中,
2、正项项数 p 称为正惯性指 数,负项项数 r-p 称为负惯性指数,而正负惯性指 数的差称为符号差, 所以这个定理也称为惯性定理 .定义1: 设有二次型f(x1 ,x2 , ,xn) = xTAx ， 如果对任意的x0 (xRn),都有（1） xTAx 0 ，则称 f 为正定二次型， 相应地矩阵A称为正定矩阵；（2） xTAx 0 ，则称 f 为负定二次型，相应 地矩阵A称为负定矩阵；则中正项的个数与中正项的高等代数课件-天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组（3）xTAx 0 ，则称 f 为半正定二次型，相应 地矩阵A称为半正定矩阵；（4）xTAx 0 ，则称 f 为半负定二次型，相应 地
3、矩阵A称为半负定矩阵.不是正定、半正定、负定、半负定的二次型 称 为不定二次型. 定理2: 下面我们主要研究正定二次型的判别方法.实二次型为正定的充分必要 条件是：它的标准型的n个系数全为正.证 设有可逆变换 x=Cy 将二次型化为标准形：高等代数课件-天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组充分性 设ki0 (i=1,2,n),任给x0,故则 y = C-1x 0 , 0 即 f 为正定二次型.必要性 依次取y =e s (第 s 个单位坐标向量), s=1,2,n, 显然 Ces 0 , 因此 f (Ces) = ks 0证毕.推论 对称矩阵A为正定的充分必要条件是:A的所有特征值均为正
4、.高等代数课件-天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组定理3: (1)对称矩阵A为正定的充分必要条件 是:A的各阶顺序主子式都为正,即0 ,0 ,0 (2) 对称矩阵A为负定的充分必要条件是:A的奇数阶顺序主子式为负,偶数阶顺序主子式为正.此定理称为霍尔维茨定理, 这里不予证明.例1 判定二次型f (x, y, z) = 3x2+2y2+2z2+2xy+2xz 的正定性.高等代数课件-天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组解 该二次型的矩阵为解法一 因其特征多项式为 |A-E| = -(-1)(-2)(-4) 故A的特征值1=1 , 2=2 , 3=4 , 均大于0, 所以该二次型为正
5、定二次型.解法二由于a11=30 ,0,0,即A的各阶顺序主子式都大于0, 由定理4知 该二次型为正定二次型.高等代数课件-天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组另外,此题也可将二次型化为标准型 ,各项系数均为正,该二次型是正定的.例 2 问t取何值时, 二次型为正定二次型?解二次型的矩阵为要使二次型为正定二次型 , 则A的各阶顺序 主子式均为正 , 即高等代数课件-天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组10 , 0,0,因此00解之得t0故当t0时,该二次型为正定二次型.例3判断下列对称矩阵的正定性高等代数课件-天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组解20,0,0,该矩阵为正定矩阵.解(2)-50,0,0 , 该矩阵为负定矩阵.高等代数课件-天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组正定矩阵具有以下一些简单性质例4高等代数课件-天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
