计量经济学 第二章

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1、计量经济学金融系 单方程计量经济学模型 理论与方法Theory and Methodology of Single-Equation Econometric Model 第二章 经典单方程计量经济学模型： 一元线性回归模型 v回归分析概述 v一元线性回归模型的参数估计 v一元线性回归模型检验v一元线性回归模型预测v实例(一)回归分析概述一、变量间的关系及回归分析的基本概念二、总体回归函数三、随机扰动项四、样本回归函数（SRF）（1）确定性关系或函数关系：研究的是确 定现象非随机变量间的关系。 （2）统计依赖或相关关系：研究的是非确 定现象随机变量间的关系。一、变量间的关系及回归分析的基本概念1

2、、变量间的关系变量之间的关系，大体可分为两类：通过相关分析(correlation analysis)/回归分析(regression analysis)来完成对变量间统计依赖关系的考察例如：函数关系：统计依赖关系/统计相关关系：非线性相关并不意味着不相关；有相关关系并不意味着一定有因果关系 ；回归分析/相关分析研究一个变量对另 一个（些）变量的统计依赖关系，但它们并不 意味着一定有因果关系。相关分析对称地对待任何（两个）变量 ，两个变量都被看作是随机的。回归分析对变 量的处理方法存在不对称性，即区分因变量（ 被解释变量）和自变量（解释变量）：前者是 随机变量，后者不是。注意：回归分析是研究一

3、个变量关于另一个（些）变量 的具体依赖关系的计算方法和理论。其用意：在于通过后者的已知或设定值，去估计 和（或）预测前者的（总体）均值。 被解释变量（Explained Variable）/因变量（ Dependent Variable） 解释变量（Explanatory Variable）/自变量（ Independent Variable）2、回归分析的基本概念回归分析构成计量经济学的方法论基础，其主要内容包括： （1）根据样本观察值对经济计量模型参数进行估计，求得回 归方程；（2）对回归方程、参数估计值进行显著性检验； （3）利用回归方程进行分析、评价及预测。由于变量间关系的随机性，回归

4、分析关心的是根 据解释变量的已知或给定值，考察被解释变量的总体 均值，即当解释变量取某个确定值时，与之统计相关 的被解释变量所有可能出现的对应值的平均值。例2.1：一个假想的社区有100户家庭组成，要研 究该社区每月家庭消费支出Y与每月家庭可支配收 入X的关系。即如果知道了家庭的月收入，能否预测该社区 家庭的平均月消费支出水平。二、总体回归函数为达到此目的，将该100户家庭划分为组内收入差 不多的10组，以分析每一收入组的家庭消费支出。（1）由于不确定因素的影响，对同一收入水平 X，不同家庭的消费支出不完全相同；（2）但由于调查的完备性，给定收入水平X的 消费支出Y的分布是确定的，即以X的给定

5、值为条件 的Y的条件分布（Conditional distribution）是已 知的，如：P(Y=561|X=800）=1/4。因此，给定收入X的值Xi，可得消费支出Y的条件 均值（conditional mean）或条件期望（conditional expectation）：E(Y|X=Xi) 该例中：E(Y | X=800)=605分析：描出散点图发现：随着收入的增加，消费 “平均地说”也在增加，且Y的条件均值均落在 一根正斜率的直线上。这条直线称为总体回 归线。05001000150020002500300035005001000150020002500300035004000每月可支

6、配收入X（元）每 月 消 费 支 出 Y （元）v概念：在给定解释变量Xi条件下被解释变量Yi的期望 轨迹称为总体回归线（population regression line），或更一般地称为总体回归曲线（ population regression curve）。称为（双变量）总体回归函数（population regression function, PRF）。 相应的函数：回归函数（PRF）说明被解释变量Y的平均状 态（总体条件期望）随解释变量X变化的规律。v含义： 函数形式可以是线性或非线性的。例2.1中，将居民消费支出看成是其可支配收 入的线性函数时: 为一线性函数。其中，0，1是未

7、知参数，称为 回归系数（regression coefficients）。三、随机扰动项总体回归函数说明在给定的收入水平Xi下，该社 区家庭平均的消费支出水平。但对某一个别的家庭，其消费支出可能与该平均 水平有偏差。称i为观察值Yi围绕它的期望值E(Y|Xi)的离差（ deviation），是一个不可观测的随机变量，又称为 随机干扰项（stochastic disturbance）或随机误差 项（stochastic error）。 记例2.1中，个别家庭的消费支出为：（*）式称为总体回归函数（方程）PRF的随机设 定形式。表明被解释变量除了受解释变量的系统性影 响外，还受其他因素的随机性影响

8、。（1）该收入水平下所有家庭的平均消费支出E(Y|Xi)，称为 系统性（systematic）或确定性（deterministic)部分。（2）其他随机或非确定性（nonsystematic)部分i。即，给定收入水平Xi ,个别家庭的支出可表示为两部分之和:(*)随机误差项主要包括下列因素的影响：1）在解释变量中被忽略的因素的影响； 2）变量观测值的观测误差的影响； 3）模型关系的设定误差的影响； 4）其它随机因素的影响。产生随机误差项的主要原因：1）理论的含糊性；2）数据的欠缺；3）节省原则。四、样本回归函数（SRF）问题：能从一次抽样中获得总体的近似的信息吗？ 如果可以，如何从抽样中获得总

9、体的近似信息？我们能否从该样本估计总体回归函数PRF？例2.2：在例2.1的总体中有如下一个样本，总体的信息往往无法掌握，现实的情况只能是在 一次观测中得到总体的一个样本。该样本的散点图（scatter diagram)：样本散点图近似于一条直线，画一条直线以尽好地拟合该 散点图，由于样本取自总体，该线可以近似地代表总体回归线 。该线称为样本回归线（sample regression lines）。记样本回归线的函数形式为：称为样本回归函数（sample regression function，SRF）。 这里将样本回归方程看成总体回归方程的近似替代则注意：样本回归函数的随机形式/样本回归模型

10、：同样地，样本回归函数也有如下的随机形式： 由于方程中引入了随机项，成为计量经济模型，因此 也称为样本回归模型（sample regression model）。 请对比：回归分析就是根据样本回归函数估计总体回归函数注意： 这里 PRF可 能永远 无法知 道。即，根据 估计（二）一元线性回归模型的参数估计 一元线性回归模型的基本假设 参数的普通最小二乘估计（OLS） 参数估计的极大似然法(ML) 最小二乘估计量的性质 参数估计量的概率分布及随机干扰项方差 的估计 回归分析的主要目的是要通过样本回归函数（模 型）SRF尽可能准确地估计总体回归函数（模型） PRF，实际上，主要是估计参数（ ）。估

11、计方法有多种，其中最广泛使用的是普通 最小二乘法（ordinary least squares, OLS）。为保证参数估计量具有良好的性质，通常对 模型提出若干基本假设。 一、线性回归模型的基本假设假设1、解释变量X是确定性变量，不是随 机变量；假设2、随机误差项具有零均值、同方差 和非序列相关性：E(i)=0 i=1,2, ,nVar (i)=2 i=1,2, ,nCov(i, j)=E(i j)=0 ij i,j= 1,2, ,n假设3、随机误差项与解释变量X之间不相关：假设4、服从零均值、同方差、零协方差的正 态分布。iN(0, 2 ) i=1,2, ,n服从同方差的正态分布服从异方差的

12、正态分布以上假设也称为线性回归模型的 经典假设或高斯（Gauss）假设，满 足该假设的线性回归模型，也称为 经典线性回归模型（Classical Linear Regression Model, CLRM） 。 二、参数的普通最小二乘估计（OLS） 给定一组样本观测值（Xi, Yi）（i=1,2,n）要求 样本回归函数尽可能好地拟合这组值。普通最小二乘法（Ordinary least squares, OLS ）给出的判断标准是：二者之差的平方和最小。方程组（*）称为正规方程组（normal equations）。 记上述参数估计量可以写成： 称为OLS估计量的离差形式（deviation f

13、orm）。由于参数的估计结果是通过最小二乘法得 到的，故称为普通最小二乘估计量（ordinary least squares estimators）。 顺便指出 ，记则有 可得 （*）式也称为样本回归函数的离差形式。（*）注意：在计量经济学中，往往以小写字母表示对均值 的离差。 三、参数估计的最大似然法(ML) 最大似然法(Maximum Likelihood,简 称ML)，也称最大或然法，是不同于最小 二乘法的另一种参数估计方法，是从最大 或然原理出发发展起来的其它估计方法的 基础。基本原理：对于最大似然法，当从模型总体随机抽 取n组样本观测值后，最合理的参数估计量 应该使得从模型中抽取该n

14、组样本观测值的 概率最大。在满足基本假设条件下，对一元线性回归模型： 随机抽取n组样本观测值（Xi, Yi）（i=1,2,n）。那么Yi服从如下的正态分布：于是，Y的概率函数为（i=1,2,n）假设模型的参数估计量已经求得，为因为Yi是相互独立的，所以所有样本观测值的联合 概率，也即似然函数(likelihood function)为： 将该似然函数极大化，即可求得到模型 参数的极大似然估计量。由于似然函数的极大化与似然函数的对数的极 大化是等价的，所以，取对数似然函数如下：解得模型的参数估计量为： 可见，在满足一系列基本假设的情况下 ，模型结构参数的最大似然估计量与普通最 小二乘估计量是相同

15、的。例2.2.1：在上述家庭可支配收入-消费支出例中，对 于所抽出的一组样本数，参数估计的计算可通过下面的 表2.2.1进行。 因此，由该样本估计的回归方程为： 四、最小二乘估计量的性质当模型参数估计出后，需考虑参数估计值的 精度，即是否能代表总体参数的真值，或者说需 考察参数估计量的统计性质。一个用于考察总体的估计量，可从如下几个方 面考察其优劣性：（1）线性性，即它是否是另一随机变量的线性 函数；（2）无偏性，即它的均值或期望值是否等于总 体的真实值；（3）有效性，即它是否在所有线性无偏估计量 中具有最小方差。（4）渐近无偏性，即样本容量趋于无穷大时，是 否它的均值序列趋于总体真值；（5）

16、一致性，即样本容量趋于无穷大时，它是否 依概率收敛于总体的真值；（6）渐近有效性，即样本容量趋于无穷大时，是 否它在所有的一致估计量中具有最小的渐近方差。这三个准则也称作估计量的小样本性质。拥有这类性质的估计量称为最佳线性无偏估计 量（best linear unbiased estimator, BLUE）。 当不满足小样本性质时，需进一步考察估计量的 大样本或渐近性质：高斯马尔可夫定理(Gauss-Markov theorem)在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计 量是具有最小方差的线性无偏估计量。证 ： 易知故同样地，容易得出 （2）证明最小方差性其中，ci=ki+di，di为不全为零的常数则可以证明普通最小二乘估计量（ordinary least Squares Estimators）称为最佳线性无偏估计量（best linear unbiased estimator, BLUE） 如 何 证 明 最 小 方 差 性 ？五、参数估计量的概率分布及随机干扰 项方