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1、3.4 解析延拓以几何级数为例:对于 ,在 的圆域b内,等效于解析函数 , 在 的区域, 发散,除 外,全平面解析(解析区域B)与 在b上等同,但B含有b 。 1解析延拓已知在b上解析的函数 ,可找到另一 函数 ,使 的解析区域B含有b ,并且在b上 等同于 ,此即为 解析延拓,它扩大了解析函数的定义域。 定义:解析延拓的唯一性:(用不同方法延拓结果一样)Bb.12在b 上解析,设用 两种方法延拓到B上,得函数 , 可证明, 与 必 完全等同。 所以,可尽量用简单、特殊的 方法进行延拓。23.5 洛朗(Laurent)级数展开已知:当 f(z)在圆|z-z0|R内解析时,Taylor定理告诉我
2、们,f(z) 可展开成幂级数。考虑:当 f(z)在圆|z-z0|R内有奇点时,能否展开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。问题的提出为了研究函数在奇点附近的性质,需要函数在孤立奇点z0邻域上的展开式。3负幂部分称为 主要(无限)部分。一、双边幂级数(含有正负项)正幂部分称为 解析(正则)部分; 其中:4收敛区域(环)的确定:收敛敛(圆圆)区域为为令 得R1z0|z-z0|R1正则部分负幂部分5设即负幂部分在的圆外收敛由此,我们可以用它的正幂项级数和负幂项级 数的敛散性来定义原级数的敛散性. 规定:当且仅当正幂项级数和负幂项级数都收敛时 ,原级数收敛,并且把原级数看成是正幂项级数与 负幂项级数的
3、和.R2z0R2|z-z0|6R2|z-z0|R1给出了双边幂级数的环状收敛域, 称为收敛环。讨论:1、若 ,则(1)式处处发散;2、若 ,则双边幂级数就在环状域 R2|z-z0|R1 内收敛双边幂级数在收敛环内绝对且一致收敛,在 环外发散,在环上敛散性不定。7正则部分主要部分R1z0|z-z0|R1R2z0R2|z-z0|R2R1z0收敛环 R2|z-z0|R18双边幂级数的性质定理1双边幂级边幂级 数 在收敛环上的和函数是一解析函数,并且在任意较小的闭圆环 上一致收敛。 R2R1z0B9设双边幂级数 的收敛环B为R2|z-z0|R1,则定理2R2R1z0B(1) 在B内连续;(2) 在B内
4、解析,且于B内逐项可导;(3) 在B内可逐项积分。10(洛朗定理)定理3设函数 f(z) 在环状域 R2|z-z0|R1 的内部单值解析,则对于环内任一点z, f(z)必可展开成zCR1CR2R2R1z0C称为为洛朗系数,c为环为环 域内按逆 时针时针 方向绕绕内圆圆一周的任一闭闭 合曲线线(也可取圆圆周)。其中11几点说明(2)洛朗系数因为为成立的条件是在C内解析;(3)洛朗展开的唯一性;但在 上,(即展开中心)(1)存在奇点(即内圆圆以内存在奇点);可能不是 的奇点,zCR1CR2R2R1z0C12若 在z0不解析(不可微或无意义义),而在去心邻邻域 内解析,则称z=z0是 的孤立奇点。若
5、在z0无论多么小的邻域内,总有除z0外的奇点,则称z0为 的非孤立奇点。(4)定义义13v在收敛圆环域内的洛朗级数可以逐项求导,v在收敛圆环域内的洛朗级数可以逐项积分,v在收敛圆环域内的洛朗级数的和函数是解析函数 。 泰勒级数在其收敛圆内具有的许多性质在收 敛圆环域 内的洛朗级数也具有。R2|z-z0|R114求洛朗展开式的系数v洛朗展开式的系数 用公式计算是很麻烦的, 由洛朗级数的唯一性, 我们可用别的方法, 特别是代数运算, 代换, 求导和积分等方法展开, 这样 往往更便利 ( 即间接展开法 ) 。v同一个函数在不同的收敛圆环域内的罗朗级数一 般不同; 由洛朗级数的唯一性可知, 同一个函数
6、在相同的收敛圆环域内的洛朗级数一定相同。15举例例1:在z0=0的邻邻域上把 展开。有孤立奇点z=0,并在解:内有无负幂项16若定义实际上是对f(z)的解析延拓则为f1(z)的泰勒级数 17解: 的奇点为 ,展开中心z0=0不是奇点,z0=1是奇点。例2:将 分别在区域(环域) ; 以及z0=1的邻邻域上展开为为洛朗级级数。(1)若在 上,只可展开为泰勒级数,18无穷多个负幂项(2)19(3)展开中心z0=1 ,为为奇点第一项项已经经是展开式的一项项,对对第二项项,z=1不是奇点,z=-1是奇点,可在上展开为泰勒级数 20有限项负幂项项负幂项212223无限多项项正幂项幂项 和负幂项负幂项 24无正幂项幂项 和无限多项负幂项项负幂项25例4:将 在 及 上展成洛朗级数。解:(1)在 内,26(2)在 内,27例 展开式是唯一的2829