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1、3.4 解析延拓以几何级数为例：对于 ，在 的圆域b内,等效于解析函数 ， 在 的区域， 发散，除 外，全平面解析（解析区域B)与 在b上等同，但B含有b 。 1解析延拓已知在b上解析的函数 ，可找到另一 函数 ，使 的解析区域B含有b ，并且在b上 等同于 ，此即为 解析延拓，它扩大了解析函数的定义域。 定义：解析延拓的唯一性：(用不同方法延拓结果一样）Bb.12在b 上解析，设用 两种方法延拓到B上，得函数 ， 可证明， 与 必 完全等同。 所以，可尽量用简单、特殊的 方法进行延拓。23.5 洛朗（Laurent）级数展开已知：当 f(z)在圆|z-z0|R内解析时，Taylor定理告诉我
2、们，f(z) 可展开成幂级数。考虑：当 f(z)在圆|z-z0|R内有奇点时，能否展开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。问题的提出为了研究函数在奇点附近的性质,需要函数在孤立奇点z0邻域上的展开式。3负幂部分称为 主要（无限）部分。一、双边幂级数（含有正负项）正幂部分称为 解析（正则）部分； 其中：4收敛区域（环）的确定：收敛敛（圆圆）区域为为令 得R1z0|z-z0|R1正则部分负幂部分5设即负幂部分在的圆外收敛由此，我们可以用它的正幂项级数和负幂项级 数的敛散性来定义原级数的敛散性. 规定：当且仅当正幂项级数和负幂项级数都收敛时 ，原级数收敛，并且把原级数看成是正幂项级数与 负幂项级数的
3、和.R2z0R2|z-z0|6R2|z-z0|R1给出了双边幂级数的环状收敛域， 称为收敛环。讨论：1、若 ，则（1）式处处发散；2、若 ，则双边幂级数就在环状域 R2|z-z0|R1 内收敛双边幂级数在收敛环内绝对且一致收敛，在 环外发散，在环上敛散性不定。7正则部分主要部分R1z0|z-z0|R1R2z0R2|z-z0|R2R1z0收敛环 R2|z-z0|R18双边幂级数的性质定理1双边幂级边幂级 数 在收敛环上的和函数是一解析函数，并且在任意较小的闭圆环 上一致收敛。 R2R1z0B9设双边幂级数 的收敛环B为R2|z-z0|R1，则定理2R2R1z0B(1) 在B内连续；(2) 在B内
4、解析，且于B内逐项可导；(3) 在B内可逐项积分。10（洛朗定理）定理3设函数 f(z) 在环状域 R2|z-z0|R1 的内部单值解析，则对于环内任一点z， f(z)必可展开成zCR1CR2R2R1z0C称为为洛朗系数，c为环为环 域内按逆 时针时针 方向绕绕内圆圆一周的任一闭闭 合曲线线（也可取圆圆周）。其中11几点说明（2）洛朗系数因为为成立的条件是在C内解析；（3）洛朗展开的唯一性；但在 上，（即展开中心）（1）存在奇点（即内圆圆以内存在奇点）；可能不是 的奇点，zCR1CR2R2R1z0C12若 在z0不解析（不可微或无意义义），而在去心邻邻域 内解析，则称z=z0是 的孤立奇点。若
5、在z0无论多么小的邻域内，总有除z0外的奇点，则称z0为 的非孤立奇点。（4）定义义13v在收敛圆环域内的洛朗级数可以逐项求导，v在收敛圆环域内的洛朗级数可以逐项积分，v在收敛圆环域内的洛朗级数的和函数是解析函数 。 泰勒级数在其收敛圆内具有的许多性质在收 敛圆环域 内的洛朗级数也具有。R2|z-z0|R114求洛朗展开式的系数v洛朗展开式的系数 用公式计算是很麻烦的, 由洛朗级数的唯一性, 我们可用别的方法, 特别是代数运算, 代换, 求导和积分等方法展开, 这样 往往更便利 ( 即间接展开法 ) 。v同一个函数在不同的收敛圆环域内的罗朗级数一 般不同; 由洛朗级数的唯一性可知, 同一个函数
6、在相同的收敛圆环域内的洛朗级数一定相同。15举例例1：在z0=0的邻邻域上把 展开。有孤立奇点z=0，并在解：内有无负幂项16若定义实际上是对f(z)的解析延拓则为f1(z)的泰勒级数 17解： 的奇点为 ，展开中心z0=0不是奇点，z0=1是奇点。例2：将 分别在区域(环域) ; 以及z0=1的邻邻域上展开为为洛朗级级数。（1）若在 上，只可展开为泰勒级数，18无穷多个负幂项（2）19（3）展开中心z0=1 ，为为奇点第一项项已经经是展开式的一项项，对对第二项项，z=1不是奇点，z=-1是奇点，可在上展开为泰勒级数 20有限项负幂项项负幂项212223无限多项项正幂项幂项 和负幂项负幂项 24无正幂项幂项 和无限多项负幂项项负幂项25例4：将 在 及 上展成洛朗级数。解：（1）在 内，26（2）在 内，27例 展开式是唯一的2829
