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1、逻辑思维训练Logic and Critical Thinking1第三节 命题逻辑的现代形式n一、多重复合命题和自然语言的符号化n一般步骤是：首先用p、q、r、s等分别表示 各个简单命题（不同的简单命题用不同的命题变 项符号表示，同一个简单命题用同一个命题变项 符号表示）。n其次，按自然语言语句所表达的命题的逻辑含义 确定其中各个成分命题（简单命题）的先后配置 次序，为此可用括号“（”、“）”为其辅助符号。2n如果合同有效，那么甲方和乙方就应遵守合同。n如果用“p”表示“合同有效”，用“q”和“r”分别表示“甲方应遵守合 同”、“乙方应遵守合同”。np（qr）“如果p，则q 而且r”；n（p
2、q）r “如果p则q，并且r”。n在有括号时，先括号内，后括号外；n在无括号时，最先，、和次之；、和 最后。np qr3n小张和小王不能同时上场比赛。n如果用“p”和“q”分别表示“小张上场比赛”和“小王 上场比赛”，则相应的命题形式为：n（qr）n小张和小王至少有一人上场比赛。n如果用“p”和“q”分别表示“小张上场比赛”和“小王 上场比赛”，则相应的命题形式为：npq4二、命题的永真式、协调式和永假式n由已学过的命题联结词和p、q、r 等命题 变项组成的命题形式，其数目有无限多。 若根据命题形式所表示的真值函项的不同 ，则无数的命题形式可分为三大类：永真 式（又叫重言式）、协调式和矛盾式。
3、5n所谓真值函数，就是函数值为真值，而且其自变元 的值亦为真值的函数。n在各种复合命题的逻辑特性时看到，一旦命题形式 中的命题变项（即自变元）的真值确定后，整个命 题形式的真值随之也就确定了；n命题形式的这一特性，犹如数学的函数特性。n不同的是，数学中函数及其自变元的值是无穷多个实数， 而真值函数及其自变元的值仅取真、假二值；n因此，真值函数实际上就是复合命题的逻辑特性。6nn 个不同命题变项可能有的真假组合是2n（m）个。 对于每一个真假组合又可以有两种断定：肯定或否定。n对2n（m）个组合，肯定和否定的组合共有：n其中，每一个组合就是一个真值函数的内容。所以，如果以n 为命题形式中不同命题
4、变项的个数，那么不同的真值函数有 2m 个，其中m2n。7n设n1，那么真假组合有：n212n令m21，则其真值函数的数目是：n2m4n若用“f( )”代表真值函数，那么只有一个命题 变项p 的真值函数的个数可以列表如下：8nf1(p)是恒取真值的函数，表示它的命题形式可以是 pp，也可以表示为pp。nf2(p)是这样一个函数，当p 真时它真，当p假时它假 ，因而表示它的命题形式就是p。nf3(p)则相反，它是对p 的否定，应表示为p。nf4(p)恒取假值，其相应的命题形式是pp，或者 （pp），或者（pp）。 由以上分析可知，由于真值函数有常真、常假和有真有 假之分，因而表示真值函数的命题形
5、式亦可相应地分成 永真式、矛盾式和协调式三种。9永真式n永真式就是表示常真的真值函数的命题形式 ，又称重言式。npp，是重言析取式；npp 是重言蕴涵式。n永真式可以定义为：一命题形式是永真式， 当且仅当不论其命题变项取何值，命题的真 值恒为真。10矛盾式n矛盾式是表示常假的真值函数的命题形式，npp n（pp)n任何永真式的负命题都是矛盾式。矛盾式可 定义为：一命题形式是矛盾式，当且仅当不 论其命题变项取何值，命题的值恒为假。11协调式n协调式就是表示有真有假的真值函数的命题形式， 即既非永真式又非矛盾式的命题形式；npqnpq npqn协调式可定义为：一命题形式是协调的，当且仅当 不论其命
6、题变项取何值，命题的值有真有假。12f1 永真式（重言式）f4 永假式（矛盾式）f2 f3 协调式（可真可假）13n永真式具有特别重要的意义，因为它们是逻辑 真理的表现形式。n凡复合命题演绎推理的有效推理形式，如表示 成横写式，都是重言蕴涵式。反之，若非重言 式的蕴涵式，它表示的推理就不是有效推理。n表示充分条件假言推理否定前件到否定后件的蕴涵 式（p q）p q，可用真值表证明其不是 永真式，因而与其相应的推理不是有效的。n矛盾式则是逻辑矛盾的表现形式。由于矛盾式 的负命题就是永真式，因此，如能证明一命题 形式的永假是不可能的，就实际上证明了该命 题形式是永真式。14三、命题形式的判定方法n
7、（一）真值表判定方法n真值表是用来判定一命题形式是永真式、永 假式还是协调式的最直接的方法。n5种基本真值形式np 否定式np q 合取式 npq 析取式npq 蕴涵式npq 等值式15n用真值表方法证明（pq）p q 和（p q）p qpq 充分条件假言命题的逻辑性质： pq是假的，当 且仅当p真且q假。 pq 联言命题的逻辑性质： pq是真的，当且仅当p 是真的，并且q是真的。 pq 相容选言命题的逻辑性质： pq是真的，当且 仅当p和q至少有一真。16真值表的作法分解公式。把一复杂公式分解为支命题和命题变项。如（pq ）r） （r p） q ）先找到主联结词，即最大括号外的联结词。蕴涵号
8、 得到（pq ）r）和（r p） q ）再行分解 得到pq 和r； r p和q 按变项最简单公式复杂公式顺序排列 p，q，r， q ， r ，pq ， r p， （pq ）r，（r p） q ， 最后是总公式（pq ）r） （r p） q ） 可以坚持一条原则：一公式的支命题在前，该公式在后，因此顺序也可排为 p，q，r， q ， r ，pq ， （pq ）r， r p ,（r p） q ， 只要保证，被判定的公式的支命题在先已经赋值即可。然后画表，先画一个偏十字或表格，将分解后的公式成分由简到繁写进表17（pq ）r） （r p） q ）的真值表作法 第一步：分解公式，画表 3个变项，其真假
9、组合共有238种可能 因此有8行；变项有3个，整个公式可分解为7部分，共有10列。18pqrq rpq pqrr pr pq (pq ）r） （ r p） q第二步：由简到繁填入欲赋值的公式19pqrtttttftfttfffttftffftfff第三步：给变项赋值（技巧：先给最后一个变项按一真一假赋值，再给 第2个变项按两真两假赋值；再给第一个变项按四真四假赋值）20pqrq rpqpqrr pr pq (pq ）r） （ r p） q tttfft tf t t ttfftt ft f t tfttff tf t t tffttf tt t t fttfff tf t t ftfftf t
10、 f t t ffttff tf t tfffttf tf t t第四步：依次按照5个基本真值形式的真值表给每个子公式赋值第五步：根据真值表中的总公式即最后一列的赋值，对公式做出判定。 此总公式下每一行均为真，故该蕴涵式为重言式，即一个有效推理形式。21判定多个公式的性质或关系pqpqpq （pq ）p qp p pqttff tf f t f tfft ft t t t fttf ft t t t fftt ft t t t可以看出：第5列与第6列取值完全相反，二者为矛盾关系第6列与第7列取值完全相同，二者为等值关系第6列与第9列取值完全相同，二者为等值关系第8列每一行取值均为真，是重言式1
11、 2 3 4 5 6 7 8 922n某公安局的刑侦员A、B、C、D对某案的 嫌疑犯李、赵做了如下断定： A、“我认为赵不是凶手。” B、“如果李是凶犯，则赵就不是凶犯。” C、或者李是凶犯，或者赵是凶犯。“ D、“我看李和赵都是凶犯。“ 事后证明这四个人的判断只有一个人是 错误的，请问谁是凶手？ 2324肖像问题金匣银匣铅匣肖像只在一匣中，匣上话只有一真， 问：肖像在哪匣？铅匣25pqr p p rtttttftfttfftftfttftffttfftftffffP:在金匣中； q:在银匣中； r:在铅匣中。26白球和黑球 有三只外型完全相同的盒子，每只盒子里放着两 个球：一只盒子里放一个白
12、球和一个黑球；一只盒子 里放两个白球；一只盒子里放两个黑球。而每只盒子 外面分别贴着一张标签，标明 “白白“、“黑黑“、“黑 白“的字样。但由于疏忽，标签全贴错了，它们都与 盒子里装的 球不相符合。 试问：如果我们要求从其中的一只盒子里取出一 个球，就能推出该盒子中另一个球的颜色，那末，应 当从哪只盒子里去取出这一个球呢?我们又如何根据 这个盒子里两个球的颜色，推出另外两个盒子里各装 什么颜色的球呢?27黑黑黑白白白黑黑A1A2A3黑白B1B2B3白白C1C2C3内容标签28标签黑黑黑白白白内容黑白白白黑黑白白黑黑黑白29A、B、C、D、E五个人每人说了一句话 。A说： “我们五人中有一个说谎
13、。”B说： “我们五人中有两个说谎。 ” C说： “我们五人中有三个说谎。 ” D说： “我们五人中有四个说谎。 ” E说： “我们五人都在说谎。”究竟有几个人在说谎呢？ 30pqrst1F2F3F4F0Ftffffffftfftffffftfffftffftfffffftftfffffffftfffft31有张三，李四，王五三个人。张三只说假话，不说真话；李四只说真话，不说假话；王五最奇怪，真话假话都说。 有一天，一个学者同时遇到三个人，学者问他们的 身份。三个人各说了一句话：A说：我是王五。B说：A说的是真话。C说：我不是王五。那么，A，B，C分别是谁？32A说：我是 王五B说：A说 的是
14、真话C说：我不 是王五 1、A张，B李 ，C王FFF2、A张，B王 ，C李FFT3、 A李，B 张，C王FFF4、 A李，B 王，C张FFT5、 A王，B 张，C李TTT6、 A王，B 李，C张TTT张三只说假话； 李四只说真话； 王五真话假话都说33（二）归谬赋值法n为了简化判定步骤，人们在真值表方法基础上设计 了一种称之为“归谬赋值法”的简化真值表方法。n虽然这种方法只是适用于判定蕴涵式以及能等值地 转换为蕴涵式的等值式和析取式，但是，由于在形 式逻辑中要判定的命题形式绝大多数是蕴涵式（因 为它们表示演绎推理形式），因此，归谬赋值法仍 然是一种对常用的命题逻辑判定方法。34n归谬赋值法依据
15、的逻辑根据是形式逻辑的归谬 法则。n该原则可表述为：要求证命题A成立，先假定 A 不成立，即假定A 成立；如果从A 导出 pp 形式的逻辑矛盾，那么，由此即可断 定A 不成立，即否定A，而由否定A 就可 得A（因为A 与A 等值），故A得证。35归谬赋值法的一般步骤n（1）假设待判定的命题形式AB 不是重言式，即AB 可以 取值为F。n（2）当AB 取值为F 时，由蕴涵词的真值表可推知A 取值为 T，B 取值为F。n（3）由（2）出发，根据五个命题联结词的真值表，依次对A 和B 之中所包含的各个支命题赋予相应的值，直到所有的变项 被赋予了确定的真值为止。n（4）检查所有变项的真值，若出现了赋值上的矛盾，根据归 谬原则，（1）的假设就不成立，于是
