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1、 当一点处的三个主应力都不等于零时，称 该点处的应力状态为空间应力状态(三向应力 状态)；钢轨在轮轨接触点处就处于空间应力 状态(图a)。7.3 三向应力状态正应力x，y，z的下角标表示其作用面的外法 线方向，切应力txy，txz，tyx，tyz，tzx，tzy的第 一个下角标表示其作用面的外法线方向，第二 个下角标表示切应力的具体方向。(回忆)最一般表现形式的空间应力状态中有9个应力 分量，但根据切应力互等定理有txytyx，tyz tzy ，txztzx，因而独立的应力分量为6个，即 x，y，z，tyx，tzy ，tzx。当空间应力状态的三个 主应力1，2，3已知时(图 a)，与任何一个主
2、平面垂直 的那些斜截面(即平行于该主 平面上主应力的斜截面)上的 应力均可用应力圆显示。例如图a中所示平行于3的斜截面，其上的应力 由图b所示分离体可知，它们与3无关，因而表示这 类斜截面上应力的点必落在以1和2作出的应力圆上 (参见图c)。同理，表示与2(或1)平行的那类斜截面上应力的点必落在以1和3(或2和3)作出的应力圆上。进一步的研究证明*，表示任意斜截面(图a中的abc截面)上应力的点D必位于如图c所示以主应力作出的三个应力圆所围成的阴影范围内。(a)(c)据此可知，受力物体内一点处代数值最大的正 应力max就是主应力1，即上述两公式同样适用于 平面应力状态或单轴应 力状态, 只需将
3、具体问 题的主应力求出, 并按 代数值123 的顺序 排列。而最大切应力为例: 单元体的应力如图所示, 求出主应力和 最大切应力值。xyz20 MPa40 MPa20 MPa20 MPaxyz20 MPa40 MPa20 MPa20 MPa因此与该主平面正交的各 截面上的应力与主应力z 无关，可采用解析法求出 另外两个主应力。也可画 出应力圆求解(不鼓励)。解:该单元体有一个已知主 应力xy yytyxtyxtxytxy xxabcd得另外两个主应力为 46 MPa, -26 MPa该单元体的三个主应力按其代数值的大小顺序 排列为:对于各向同性材料, 沿各方向的弹性常数 E, G, 均分别相同
4、。在线弹性范围、小 变形条件下, 正应力只引起线应变, 而切 应力只引起同一平面内的切应变。可用叠加原理, 分别计算出x, y, z单独 存在时x, y, z方向的线应变x, y, z, 然后 代数相加。7.4 广义胡克定律7.4.1 广义胡克定律x单独存在时y单独存在时z单独存在时x 方向的线应变在x, y, z同时存在时, x方向的线应变x为7.4 广义虎克定律依此类推， y, z方向的线应变为切应变gxy, gyz, gzx与切应力txy, tyz, tzx间的关系分 别为一般空间应力状态下, 在线弹性范围内、小 变形条件下各向同性材料的广义胡克定律7.4 广义胡克定律若已知空间应力状态
5、下单元体的三个主应力, 则 沿主应力方向只有线应变, 而无切应变。与主应力1, 2, 3相应的线应变分别记为1, 2, 3, 称为主应变。主应变每单位体积的体积变化, 称为 体积应变, 用q 表示。123a1a2a3如图, 设单元体的三对平面 为主平面, 三个边长为a1, a2, a3。变形后的边长分别为 a1(1+,a2(1+2,a3(1+3。变形后单元体的体积为7.4.2 体积应变由体积应变的定义, 并在小变形条件下略去线应 变乘积项的高阶微量, 可得在任意形式的应力状态下, 各向同性材料内一点 处的体积应变与通过该点的任意三个相互垂直 平面上的正应力之和成正比, 而与切应力无关。令K为体
6、积弹性模量，m为平均主应力。物体受外力作用而产生弹性变形时, 在物体内 部将积蓄有应变能, 每单位体积内所积蓄的应 变能称为应变能密度。在单轴应力状态下, 物体内所积蓄的应变能密 度为应变能密度的计算公式7.4.3 复杂应力状态下的应变能密度在同一比例加载时, 对应于每一主应力, 其应变能密度等于该主应力在与之相应 的主应变上所作的功, 而其它两个主应力 在该主应变上并不做功。因此, 同时考虑 三个主应力在与其相应的主应变上所作 的功, 单元体的应变能密度应为经整理得在一般情况下, 单元体将同时发生体积改变和 形状改变。可将主单元体分解为图示两种单元 体的叠加。其中m称为平均应力, 即mmm(
7、b)1-m2-m3-m(c)123(a)在平均应力作用下 (图b), 单元体的形 状不变, 仅发生体 积改变, 故其应变 能密度就等于图a 所示单元体的体积 改变能密度, 即mmm(b)图c所示单元体的三个 主应力之和为零, 故其 体积不变, 仅发生形状 改变。于是, 其应变能 密度就等于图a所示单 元体的形状改变能密 度(畸变能密度)。1-m2-m3-m(c)应变能密度v等于体积改变能密度vV 与畸变能密度vd之和。例1 已知一受力构件自由表面上某一点处的两 个面内主应变分别为：x=24010-6， y=- 16010-6，弹性模量E=210 GPa，泊松比为 =0.3， 试求该点处的主应力
8、及另一主应变。根据广义胡克定律,有:解：在自由面上，有一个主应力等于。例2 边长a =0.1 m的铜质立方体置于刚性很大 钢块中的凹坑内(图a)，钢块与凹坑之间无间隙 。试求当铜块受均匀分布于顶面的竖向外加荷 载F =300 kN时，铜块内的主应力、最大切应 力。已知铜的弹性模量E =100 GPa，泊松比 0.34。铜块与钢块上凹坑之间的摩擦忽略不 计。(a)解：1. 铜块水平面上的压应力为 2. 铜块在y作用下不能横向膨胀，即x=0， z0，可见铜块的x截面和z截面上必有x和z 存在(图b) 。(b)按照广义胡克定律及x0和z0的条件有方程：从以上二个方程可见，当它们都得到满足时显 然xz
9、。于是解得(b)由于忽略铜块与钢块上凹坑之间的摩擦，所以 x，y，z都是主应力，且3. 铜块内的最大切应力为(b)书中例7.9 在一体积较大的钢块上有一直径为 50.01 mm的凹座，凹座内放置一直径为50 mm的钢制圆柱如图，圆柱受到P=300 kN的轴 向压力。假设钢块不变形，试求圆柱的主应力 。取E=200 GPa，=0.30。PpPpp在轴向压缩下，圆柱将向横向膨胀，当它胀到 塞满凹座后，凹座与柱体之间将产生径向均匀 压力p。柱体横截面内任一点均为二向均压应力 状态，柱内任一点的径向与周向应力均为-p。 见习题7.6图。解：考虑到柱与凹座之间的间隙，可得半径方向 的应变r的值为： 在柱体横截面上的压应力为P/App柱内各点的三个主应力为：求得： 由广义虎克定律： P/App例4: 一直径d20 mm的实心圆轴, 在轴的两端 加力偶矩Me126 Nm。在轴的表面上某一点A 处用应变仪测出与轴线成-45方向的应变 5.010-4 , 试求此圆轴材料的剪切弹性模量G。解: 包围A点取一单 元体A -45MeA 45xMeA-45MeA 45xMe解：建立坐标系如图练习: 一边长为a200mm的正方体混凝土块， 无空隙的放在刚性凹槽内，受到压力P=300kN作 用，=1/6 ，求混凝土各面上的应力。
