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1、 一根长为L的无伸缩得细线,上端固定,下端悬挂一个很小的重 物(其线度L,可视为质点),质量为m,将重物略加移动后,重物 就在竖直平面内来回摆动,这种装置称为单摆。 O平衡位置 单摆右偏时为正，左偏为负。 重力产生的回复力矩： M=mgsinl“”：力矩方向与角位移方向 相 反。有转动定律： （ ） 可见，单摆的振动不是谐振动。 二、单摆 0pmgcosmgsinl当很小 （ ），则sin。令则可见,当单摆的摆角很小时,其与成正比而方向相反,具有简 谐振动的特征。上式写为：三 复摆(又称物理摆)物体形状不规则光滑转轴悬挂点当L与竖直线OO成角时,重力对 转轴的力矩:不是谐振动当小角度摆动时,s
2、in0势能零点（质心）方程的解为:由初始条件决 定 弹簧振子因受到空气的阻力作用振幅随时间不断减 小的振动叫阻尼振动或减幅振动。设物体受到的阻尼力和物体的速度成正比而方向相反，即r为阻尼系数， 由实验测定物体受到的回复力F=mg-kx=kb-kx=-k(x-b)=-k 物体受到的力就是回复力和阻尼力的合力 ：4.3 阻尼振动令则阻尼 因子振动系统的 固有频率 方程的解 ：1.当阻尼较小,即0时,方程(1)的解为(欠阻尼振动):(1)(2)其中:(阻尼振动系统圆频率)(系统固有频率)A、 为积分常数,由初始条件决定 式(2)中包含了两项因子: (阻尼振幅)t = 0 时 , , t = , 另外
3、, 衰减也与 有关:如果想减少阻尼, = r/2m 当r一定时, m 表示振动是以为圆频率做周期性的变化(1)振幅被限制在曲线A 内,t时,=0,振动消失.(不是简谐振动)(2)准周期振动:每一次振动不 能完全重复。 （3）阻尼不大时：可近似看作谐振动。 2. 当阻尼较大，即0 时：过阻尼状态 方程（1）的解为：A、B是由起始条件确定的常数。 等式右边两项都随t增加而衰减。后一项比 前一项衰减的快些。系统并不发生振动。时的阻尼振动（3）当 时：临界阻尼状态方程（1）解为：A，B由初始条 件确定的常数（也不发生振动）例如 一单摆的摆球在一粘滞性很大的油中运动（例蓖麻油） ，小球只会逐渐回到平衡位
4、置，而不会摆到另一边去，当它回 到平衡位置时，所具有的能量都已消耗在阻尼上了。如果阻尼刚好大到使摆球不能振动的程度，称临界阻尼 。超过这个程度：过阻尼。 阻尼的应用：避振器在机器上采用一系列的阻尼装置，使振动迅速衰减。 还有，阻尼天平，灵敏电流计装上阻尼装置节省时 间，便于测量。4.4 受迫振动、共振一、受迫振动受迫振动: 振动系统在周期性外力的持续作用下发生的振动 。设外力 物体受的力：回复力， 阻尼力，简谐外力。 动力学方程为 ：令上式写成:二阶常系数非 齐次线性微分 方程与阻尼振动方程相比,多了一个非齐 次项f 0cost 外力的圆频率外力最大值，称力幅方程（1）的通解为：其中，（t）：
5、齐次方程的通解，它也是阻尼振动方程的 通解。 阻尼振动其解有三种形式：欠阻尼、过阻尼、临界阻尼。这三种形式的解都是t振幅 最后可认为A0。稳定状态下受迫振动的表达式为 ：简谐振动具有简谐振动的形式，周期性外力维持系统作等 幅振动。与前边讲过的简谐振动表达式的差别,受迫振动表达式中: 不是系统固有频率,是强迫外力的频率 A、不是由初始条件确定的。A与 f0、0(系统固有频率)、有关22 02:wwbwj-= arctg受迫振动的初相角与、0、 有关稳态时振子的速度:受迫振动的振幅（3 ）令其中,速度振幅:速度的相角比外力的相角落后,确定:温 馨当 时，（5）（6）二 共振共振: 外力的频率等于振
6、子的固有频率时,速度振 幅达到最大值的现象。由（6）式可知,当 时, 。 共振时,速度和外力同周相地随t变化， 受迫振动的一个周期内,外 力的方向与物体运动（即 方向）一致, 外界供给系统能量最多 。受迫振动能量也达到最大值。速度振幅 也达到最大值-发生共振 在工程问题中，常把位移振幅达到极大值的现象叫共振 。为求 Amax,令 求得 ：（受迫振动的一个重要特点：A与密切相关）共振圆频率把r代入振幅表达式，得共振振幅速度振幅极大值为：由（7）式可见越小，r越接近0由（8）式可知越小，Ar越大（7）（8）在一定条件下, 振幅出现 极大值, 振动 剧烈的现象。 (1)共振频率 :22 02bww-
7、=r(2)共振振幅 :若b w0则称尖锐共振1. 位移共振当时，Ar 这时的振动现象叫锐共振。共振时，r02.速度共振 一定条件下, 速度振幅w A极大的现象。速度共振时，速度与策动力同相，一周期内策 动力总作正功，此时向系统输入的能量最大。在有强迫力作用时：（）要A应使0 （）要A 应使远离0（）当0时，应使或，以达到加强 振动或减小振动的目的。三 共振现象应用举例 例如：用来测定某系统的固有频率（收音机调谐）又例如（害处）5 简谐振动的合成 一. 同方向同频率的简谐振动的合成 1.分振动 :2.合振动 : x = x1+ x2合振动是简谐振动,其频率仍为3.两种特殊情况(1)若两分振动同相
8、(k=0,1,2 )(2)若两分振动反相(k=0,1,2 )如 则 A=0则两分振动相互加强则两分振动相互减弱二. 同方向不同频率的简谐振动的合成1. 分振动2.合振动合振动不是简谐振动 当w 2w 1时 w 2-w 1w 2+w 1其中随缓变随快变合振动可看作振幅缓变的简谐振动3. 拍拍频:单位时间内强弱变化的次数n =|n2-n1|合振动忽强忽弱的现象三. 垂直方向同频率简谐振动的合成 1.分振动2. 合运动(1) 合运动一般是在2A1 ( x向 )、2A2 ( y向 )范围内的一个椭圆(2) 椭圆的性质(方位、长短轴、左右旋 )在 A1 、A2确定之后, 主要决定于D j = j 2-j 1QP四. 垂直方向不同频率简谐振动的合成两分振动频率相差很小可看作两频率相等而j 2-j1随缓慢变化 合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化轨迹称为李萨如图形yxA1A2o-A2- A1两振动的频率成整数比. .
