金融经济学-第6章

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1、金融经济学 第6章套利定价理论（APT）6.1 概述v在上一章，为了得到投资者的最优投资组合 ，要求知道：回报率均值向量回报率方差-协方差矩阵无风险利率v估计量和计算量随着证券种类的增加以指数 级增加v引入因子模型可以大大简化计算量由于因子模型的引入，使得估计 Markowitz有效集的艰巨而烦琐的任务得到大 大的简化。v因子模型还给我们提供关于证券回报率生 成过程的一种新视点一元或者多元统计分析，以一个或者 多个变量来解释证券的收益，从而比仅仅以 市场来解释证券的收益更准确。vCAPM与APT建立在均值-方差分析基础上的CAPM 是一种理论上相当完美的模型，它解释了为 什么不同的证券会有不同

2、的回报率，但实际 上只有理论意义，因为假设条件太多、太严 格！ 除CAPM理论外，另一种重要的定价 理论是由Stephen Ross在1976年建立的套利 定价理论（Arbitrage pricing theory，APT） ，从另一个角度探讨了资产的定价问题，从 某种意义上来说，它是一种比CAPM更简单 的理论。市场均衡条件下的最优投资组合理论 =CAPM无套利假定下因子模型=APTvCAPM是建立在一系列假设之上的非常理 想化的模型，这些假设包括Harry Markowitz建立均值-方差模型时所作的假 设。这其中最关键的假设是同质性假设( 投资者对证券的预期收益率,标准差和协 方差的看法

3、一致。)。v相反，APT所作的假设少得多。APT的基 本假设之一是：个体是非满足.每个人都会利用套利机会：在不增加 风险的前提下提高回报率。只要一个人套利，市场就会出现均衡 ！6.2 因子模型 （Factor model）v定义：因子模型是一种假设证券的回报率只 与不同的因子波动（相对数）或者指标的运 动有关的经济模型。v因子模型是APT的基础，其目的是找出这些 因素并确认证券收益率对这些因素变动的敏 感度。v依据因子的数量，可以分为单因子模型和多 因子模型。因子模型的特点v因子模型中的因子应该是系统影响所有证券 价格的经济因素v在构造的因子模型中,我们假设两个证券的 回报率相关一起运动仅仅是

4、因为它们对 因子运动的共同反应导致的v证券回报率中不能由因子模型解释的部分是 该证券独有的,从而与别的证券回报率的特 有部分无关6.2.1 单因子模型v引子若把经济系统中的所有相关因素作为 一个总的宏观经济指数。 假设：（1）证券的回报率仅仅取决于 该指数的变化；（2）除此以外的因素是公司 特有风险残余风险v则可以建立以宏观经济指数变化为自变量，以 证券回报率为因变量的单因子模型。 例如，GDP的预期增长率是影响证券 回报率的主要因素。 v例1：设证券回报仅仅与市场因子回报有关其中v =在给定的时间t，证券i 的回报 率v =在同一时间区间，市场因子m 的相对数v =截距项v =证券i对因素m

5、的敏感度v =随机误差项，因子模型回归 年份IGDPt（%）股票A收益率（%）15.7 14.326.4 19.2 3 8.923.44 8.015.65 5.1 9.26 2.913.0v4%v图中，横轴表示GDP的增长率，纵轴表 示股票A的回报率。图上的每一点表示： 在给定的年份，股票A的回报率与GDP增 长率。v通过线性回归，我们得到一条符合这些点 的直线为（极大似然估计）从这个例子可以看出，A在任何一 期的回报率包含了三种成份：1.在任何一期都相同的部分a 2.依赖于GDP的预期增长率，每 一期都不相同的部分bIGDPt 3.属于特定一期的特殊部分et。v通过分析上面这个例子，可归纳出

6、单因子模型的 一般形式：对时间t 的任何证券i 有时间序列v其中：ft是t时期公共因子的预测值；rit在时期t证券i的回报；eit在时期t证券i的特有回报ai零因子bi证券i对公共因子f的敏感度 (sensitivity),或因子载荷（factor loading）（6.1）v为简单计，只考虑在某个特定的时间的因 子模型，从而省掉角标t，从而（6.1）式 变为并且假设（6.2）v假设(1)：因子f具体取什么值对随机项没 有影响，即因子f与随机项是独立的，这 样保证了因子f是回报率的唯一因素。v假设(2)：一种证券的随机项对其余任何 证券的随机项没有影响，换言之，两种证 券之所以相关，是由于它们

7、具有共同因子 f所致。v如果上述假设不成立，则单因子模型不准 确，应该考虑增加因子或者其他措施。对于证券i，由（6.2）其回报率的均值（期望值） 为 其回报率的方差因子风险非因子风险对于证券i和j而言，它们之间的协方差为（6.3）单因子模型的优点单因子模型能够大大简化我们在均值-方差 分析中的估计量和计算量。假定分析人员 需要分析n种股票，则均值方差模型：n个期望收益，n个方 差， (n2-n)/2个协方差单因子模型：n个期望收益，n个bi，n个 残差 ，一个因子f方差 ，共3n1个估计 值。若n50，前者为1325，后者为151。单因子模型具有两个重要的性质风险的分散化分散化导致因子风险的平

8、均化(bp是的bi 加权平均，权重正好是证券组合的权）分散化缩小非因子风险假设残差有界，即且组合p高度分散化，即wi充分小，则对 于资产i成立则有从而v单因素模型的简化是有成本的，它仅仅将资产的 不确定性简单地认为仅仅与一个因子相关，这些 因子如利率变化，GDP增长率等。例子：公用事业公司与航空公司，前者对GDP 不敏感，后者对利率不敏感。v单因素模型难以把握公司对不同的宏观经济因素 的反应,因为经济并不是一个简单的单一体，用单 一的因子来刻画整个经济显然是不准确的一般 来说，利率变化GDP增长率利率水平石油 价格水平四种因素基本上可以描述整个经济的前 景6.2.2 多因子模型两因子模型 v若

9、只考虑一期的模型，则可以省略表示 时间的下标，从而两因子模型方程为在两因子模型下，对于证券i ，其回报率的均值 其回报率的方差对于证券i和j，其协方差为证券i对因子1的敏感度v两因子模型同样具有单因子模型的重 要优点：有关资产组合有效边界的估计和 计算量大大减少（但比单因子增加）， 若要计算均方有效边界，需要vn个期望收益，n个bi1， n个bi2， n个残差，2个因子f方差，1个因子间的协方 差，共4n3个估计值。分散化导致因子风险的平均化。分散化缩小非因子风险。多因子模型 对于n种证券相关的m（mn)个因子，证券i的 收益可以表示为6.3 套利定价理论（APT）v定义：套利（Arbitra

10、ge）是同时持有一种 或者多种资产的多头或空头，从而存在不 承担风险的情况下锁定一个高于无风险利 率的收益。不花钱就能挣到钱，即免费的午餐！v两种套利方法：第一类套利:当前时刻一系列能带来正 收益的投资，将来的净支出为零（支出的净 现值为0）.第二类套利:当前时刻净支出为0，将来 获得正收益（收益净现值为正）v假设现在6个月即期年利率为10%（连续 复利，下同），1年期的即期利率是12% 。如果有人把今后6个月到1年期的远期利 率定为11%，则有套利机会。v套利过程是：交易者按10%的利率借入一笔6个月资 金（假设1000万元）签订一份协议（远期利率协议），该 协议规定该交易者可以按11%的价

11、格6个月后 从市场借入资金1051万元（等于1000e0.100.5 ）。按12%的利率贷出一笔1年期的款 项金额为1000万元。1年后收回1年期贷款，得本息 1127万元（等于1000e0.121），并用 1110万元（等于1051e0.110.5）偿还1年 期的债务后，交易者净赚17万元（ 1127万元-1110万元）。v这是哪一种套利？ v套利不仅仅局限于同一种资产（组合） ，对于整个资本市场，还应该包括那些“ 相似”资产（组合）构成的近似套利机会 。v无套利原则（Non-arbitrage principle)： 根据一价定律（the law of one price）， 两种具有相同

12、风险的资产（组合）不能 以不同的期望收益率出售。套利行为将导致一个价格调整过程， 最终使同一种资产的价格趋于相等，套利机 会消失！vAPT的基本原理：由无套利原则，在因子 模型下，具有相同因子敏感性的资产（组 合）应提供相同的期望收益率。vAPT与CAPM的比较 APT对资产的评价不是基于马克维茨 模型，而是基于无套利原则和因子模型。不要求“同质期望”假设，并不要求人人 一致行动。只需要少数投资者的套利活动就 能消除套利机会。6.3.1 APT的基本假设市场是有效的、充分竞争的、无摩擦的（ Perfectly competitive and frictionless capital marke

13、ts）；投资者是不知足的：只要有套利机会就会不 断套利，直到无利可图为止。资产的回报可以用因子表示vAPT假设证券回报可以用预期到的回报和 未预期到的回报两个部分来解释，构成了 一个特殊的因子模型未预期到的变化预期的回报f是证券i的某个因子的变化，基于有效市场理 论，它是不可预测的。要依靠“旧”的f来获利是不可能的！v若市场有效，则t-1时刻的信息集预测t时刻 的价格无效，这等价于t-1时刻信息无法预 测t时刻的因子，即对于因子的变化没有任 何倾向公平赌局（Fair game）v从有效市场的理论来看，价格（回报）的不 可预测，本质上是信息的不可预测，也就是 因子的变化不可预测，这些信息既有宏观

14、的 、也有微观的。6.3.2 构建套利组合（Arbitrage portfolio）零投资：套利组合中对一种证券的购买所需要 的资金可以由卖出别的证券来提供，即自融资 （Self-financing）组合。无风险：在因子模型条件下，因子波动导致风 险，因此，无风险就是套利组合对任何因子的 敏感度为0。正收益：套利组合的期望收益大于零。v用数学表示就是（8.1）（8.2）（8.3）无风险证券组合的要求v所选的每个证券的wi充分小v所包含的证券种类尽可能多v对每个因子而言，所选的权使得证 券组合的因子敏感度为零6.3.3 套利定价模型 v假设投资者构造这样的资产组合：（1）无 风险利率借入1元钱；

15、（2） 1元钱投资在两 种资产，这样构造一个自融资组合。若不存在套利机会，则该套利组合的收益为0根据条件（2），命题7.1 ：假设n种资产其收益率m个因子决定 （mn），即其中，i=1,2,n ，j=1,2,m，则严格证明v证明：假设在资产i上投资wi，构造零投 资且无风险的组合，即wi满足下列条件零投资无风险（7.5）（7.4）即，1、bj（j=1,2,m)线性无关。如果市场有效，则不会有套利均衡，即零投 资、无风险的组合必然是无收益的，从而只 要（7.4）和（7.5）成立，则蕴含(followed)这等价于，只要对于任意的W，必然有v又由于非零向量1,b1,b2,bm线性无关，则必定落在由1,b1,b2,bm张成的向量空间Rm+1中， 也就是存在一组不全为零的数 使得证毕。理解： 必须落在Rm+1空间中，才能必然成立 1和bj是该空间的一组基abC在向量空间中，如果向量a、b正交于c，蕴 含着d正交与c，则d必须落在由a和b张成的 二维空间上，d可以由a、b线性表示！0示意图：向量空间错误的证明APT的意义若bij0，则上式退化为无风险资产，则意味 着若bij