高中数学核心概念的教学设计

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1、高中数学核心概念的教学研究李祎福建师范大学目 录 一.数学概念教学的重要性 二.数学概念教学“教什么” 三.数学概念教学典型案例分析一.数学概念教学的重要性 知名华人数学家、哈佛大学教授丘成桐兴冲冲地赶到杭州，去与一群刚在高考中取得好成绩的数学尖子见面。结果却让他颇为失望： “大多数学生对数学根本没有清晰的概念，对定理不甚了了，只是做习题的机器。这样的教育体系，难以培养出什么数学人才。” 李邦河院士：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧技巧不足道也！” 概念教学常常采用“一个定义，几项注意”的方式，以解题教学代替概念教学的做法，严重偏离了数学的正轨，必须纠正 否则，学生在数学上耗费大量时间、精力

2、，结果可能是对数学的内容、方法和意义知之甚少，“数学育人”终将落空 数学是用概念思维的，在概念学习中养成的思维方式，其迁移能力也最强 数学概念教学的意义，不仅在于使学生掌握“书本知识”，更重要的是让他们从中体验数学家概括数学概念的心路历程，领悟数学家用数学的观点看待和认识世界的思想真谛，学会用概念思维，进而发展智力和培养能力。二.数学概念教学“教什么” 1.教数学概念的本质 概念：反映事物本质属性的思维产物. 数学：空间形式和数量关系. 数学概念：反映数学对象的本质属性的思维产物. 本质属性：共有性，特有性，整体性；相对性：在一定范围内保持不变的性质是“本质属性”，而可变的性质则是“非本质属性

3、”。 （1）概念教学的关键是揭示本质属性 示例1：集合概念的教学 幼儿园孩子学习集合。 应如何学习集合？ 示例2：数列概念的教学 数列的本质是什么？ 应如何学习数列？ 示例3：函数概念的本质 设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，xA.其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集. 进一步思考：函数的本质究竟是什么？ A.“非空数集”是函数的本

4、质属性之一吗？ B.“单值对应”是函数的本质属性之一吗？ C. “对应法则”是函数的本质属性之一吗？ D.A同f同、但B不同的两个函数，是否为同一个函数？ E.函数本质上是一种人为约定的特殊“对应”. (2)凸显概念本质的基本策略是“变式教学” 变化当中保持不变的属性就是事物的本质属性。 变式是变更对象的非本质属性或本质属性特征的表现形式，变更观察事物的角度或方法，以突出对象的本质特征，突出那些隐蔽的本质要素。 概念变式和非概念变式，统称为概念性变式. 示例4：复数的本质 二元的复数不仅有数量意义,而且还有方向意义，“数量加方向”是复数的本质属性。 用几何形式表示：它的意义是一个向量，其本质特

5、征是向量的长度和方向; 用三角形式表示：在z=r(cos+isin)中，r表示复数向量的长度，表示复数向量的方向； 用代数形式表示:在z=a+bi中，复数向量的长度是“ ”，“ ”就表示了复数向量的方向。 示例5：向量的数量积 代数表征： ，说明两个向量的数量积是3个实数的乘积。 几何意义： 叫做 在 的方向上的投影，故数量积在图形上表征为两条线段“长度”的乘积。 变式理解： (3)背会数学定义不等于掌握了数学概念 示例6：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那么事件发生的概率P（A）=p。 频率稳定于概率，是不是说频率的极限是概率？频率稳定于p，能不能写成

6、： 只有大量试验的频率才能作为概率的估计. 频率总可以作为概率的估计, 试验次数的多少只是影响估计的精度, 试验次数随实际问题而定. 把“用频率估计概率”错误地理解为用频率的稳定值估计概率或频率的稳定值是概率的估计等. 频率的稳定值就是概率, 但仅从试验中我们无法知道频率的稳定值具体是多少. “试验次数少频率不准确” “随着试验次数的增加频率越来越接近概率”. 频率随试验结果而改变, 没有准确与不准确的问题. 试验结果确定了, 频率就定了. 试验次数的增加，不能绝对保证频率越来越接近概率.只是当实验次数很大时，事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小. （4）概念教学应“淡化形式，注重实质”

7、 陈省身：“当然不能考定义、定理，只能考具体问题，看你能不能把定义落实到例子上”。 示例7：对称轴，角；导数，定积分 思考： ， 是指数函数吗？ ， 是对数函数吗？ 给出一个函数，怎么知道它能否变成一个指数 函数或对数函数呢？ 2.教数学概念的过程 示例8：直线的方向向量与平面的法向量 为什么要提出方向向量与法向量的概念？ 如何来刻画直线与平面的方向？ 为什么要用向量平行来刻画直线的方向？ 为什么要用向量的垂直来刻画平面的方向？ 李祎.基于探究学习的数学教学策略研究,数学通报，2009年第2期 示例9：函数的单调性（形式化过程） 单调性教学设计大体从三个层次展开： 首先，观察图像，描述变化规律

8、，如上升、下降，从几何直观角度加以认识； 其次，结合图、表，用自然语言描述，即因变量随自变量的增大而增大（或减小）； 最后，用数学符号语言描述变化规律，逐步实现用精确的数学语言刻画函数的变化规律。 教学的困惑：从图像上不难获得图像“上升”或“ 下降”的直观特征，但为什么还要进一步来研究它呢？ 解释和说明：“上升”“下降”是一种日常语言，用 日常语言描述“单调增”“单调减”这样的数学性质是不够准确的。 能否用数学语言来描述函数的这种特点呢？如果 可以的话，又该如何来描述呢？ 这时结合图像的特点，即它是“函数”的图像，从而根据函数的意义，自然过渡到第二个层次。 教学的难点：如何用符号化的数学语言来

9、描述递 增的特征，这其中有两个难点： 3.教数学概念的方法 数学概念是基于问题解决的需要而建立的。但有的数学概念本身就蕴含着解决问题的方法。 这时教师在教学中需要着重思考： 概念解决的是什么类型的问题？ 解决问题的思路与方法是什么？ 不能将数学概念教学简单化，以为学生会利用概念进行推理和运算就是理解了概念。 示例10：古典概型与几何概型 解决问题：随机试验中某一事件发生的概率； 适用条件：两者均是等可能概型，古典概型适用 于试验结果有限个的情形，几何概型适用于试验 结果无限多的情形。 解决方法：辨别；计算。 概率模型的类型，是相对而言的。 一个靶子如图所示，飞镖手随机地掷一个飞镖扎在靶子上，假

10、设飞镖既不会落在靶心，也不会落在两个区域之间，求飞镖落在4号区域的概率。 示例11：导数与定积分 解决问题：导数求解的是瞬时变化率问题；定积分求解的是总量问题。 解决思路：导数是辩证转化与否定之否定思想的成功运用；定积分是“化整为零、积零为整”的辩证思想的成功应用。 导数概念的引入百米跑 老师：小王的100米成绩是12秒，很快的速度。这里讲的是他跑这100米的平均速度，在他撞线时肯定有速度，我们能否知道他撞线时的速度？ 学生议论：不知道加速度呀；也不一定是匀加速呀 老师明确说明：百米赛跑刚起跑加速度大，中间几乎是匀速，冲刺时又可能加速，整个过程不可能是匀加速运动。 学生的讨论陷入了僵局。这时老

11、师就处于不能自己讲又不能一味等的两难境地。合理的问题引导才是让学生思维突破的上策。 老师引导：速度是路程与时间的比值，我们能不能找一种近似的方法来描述撞线的速度呢？ 受到启发后，随即有同学举手回答：用最后1秒里跑的路程除以时间，或者是找出最后一段时间里的路程除以时间。(很多同学认可！) 老师继续引导：假设第12秒里小王跑了10米，那么第12秒里的平均速度就是10米/秒，我们可以用10米/秒来近似地描述他撞线的速度。如果他在最后的0.5秒里跑了5.5米，那么他在最后半秒里的速度是11米/秒，我们也可以用这个速度近似描述他撞线的速度。 请同学思考：这种用一段较短时间里的平均速度近似描述撞线速度的办

12、法，怎样描述才会更精确一些呢？ 学生抢着回答：时间取得越短越精确。 另一学生又站起来说：时间越来越小渐渐趋向于0时，平均速度就越来越接近于瞬时速度。 同学们喜形于色，议论纷纷。 老师继续引导：那平均速度与瞬时速度是不是一回事呀？ 同学齐答：不是。 4.教数学概念的联系 在讲某个概念时，首先要在宏观上认识这个概念在数学知识体系中的地位与作用，不要一开始就把焦点放在概念的定义、内涵等具体内容上。 首先思考“为什么要引入这个概念，这个概念与相邻概念之间有何联系与区别”等问题，这样就能在头脑中建立由基本概念构成的概念系统。 教师在教学中把这种观念传递给学生，学生就会围绕这个概念逐步构建起一个概念网络，

13、网络的结点越多、通道越丰富，概念理解就越深刻，面临复杂问题时，就容易产生思维指向，实现转化、迁移，这正是形成数学能力的基本要素! 示例12：函数的零点 定义：对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。 示例13：单调性、斜率、正切、导数 A.单调性 B.斜率 直线是线性的，它描述的是均匀变化，是最简单的变化。即直线在某个区间 上的平均变化率 ，与直线上任意一点x0的瞬时变化率（导数） 是相同的，都等于这条直线的斜率k。 C.正切 D.导数 导数是平均变化率的极限，即表示瞬时变化率。其几何意义是切线的斜率： 递增； 递减。三.数学概念教学典型案例分析 数学中的

14、概念大多有其发生、发展和完善的经历，教师在讲概念之前一定要研究清楚概念的来龙去脉，对概念本身要有深入的理解 对概念的“前世今生”理解不透彻，就不能揭示概念产生的合理性和必然性，还有可能误导学生所以，概念课前教师必须深入研究概念、正确理解概念，做到知其然，知其所以然 人教版教材： 数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的! 如果有人感到某个概念不自然，是强加于人的，那么只要想一下它的背景、它的形成过程、它的应用，以及它与其他概念的联系，你就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味! 在教学前需要对概念进行学术解构和教学解构： 学术解构是指从数学学科理论角度

15、对概念的内涵及其所反映的思想方法进行解析, 包括概念的内涵和外延、概念所反映的思想方法、概念的历史背景和发展、概念的联系、地位作用和意义等。 教学解构是在学术解构的基础上, 对概念的教育形态和教学表达进行分析, 重点放在概念的发生发展过程的解析上, 包括对概念抽象概括过程的“再造”、辨析过程(内涵与外延的变式，正例和反例的举证) 和概念的运用(变式应用)等。 案例1：函数的奇偶性 （1）学习背景分析 小学数学：二年级“美丽的对称图形”（认识并画出：画一画）；五年级“图形的变换轴对称”（方格纸上研究轴对称：量一量，数一数） 初中数学：初二“轴对称”（坐标系中研究轴对称的特征和性质） 高中数学：函数的对称性奇偶性；方程曲线的对称性 （2）学习价值分析 认识论的价值：经历从特殊（具体函数）到一般 （抽象函数）、从具体（运算）到抽象（概括） 的思维过程，经由直观分析到演绎证明、从自然 语言到符号表示，使学生认识到数学研究是一条 从感性走向理性、从粗糙走向精细的发展之路。 方法论的价值：奇偶性概念蕴涵的数学思想是“ 转化思想”。即对于一个确定的奇函数或偶函数 ，如果已知该函数图像在y轴一侧的特征，便可 推知该函数图像y轴另一侧的特征