[离散数学]离散数学2

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1、 第二章 谓词逻辑问题的提出：(即命题逻辑的局限性)在第一章, 一个原子命题只用一个字母表示， 而不再对命题中的句子成分细分。这样有一些逻 辑问题无法解决。请看下面的例子。 例1.令：小张是大学生。：小李是大学生。 从符号、中不能归纳出他们都是大学生的共 性。我们希望从所使用的符号那里带给我们更多 的信息，比如可以看出他们的共性。这种想法在 第一章是无法实现的。例2.令 ：所有自然数都是整数。：是自然数。：是整数。这是著名的三段论推理，A是大前提，B是小前提 ， C是结论。显然，由和可以推出结论。这 个推理是有效的，但是这个推理在第一章也是无 法实现的。 分析：命题与中的谓语是相同的(是大学生

2、), 只是主语不同。命题、之间在主语谓语 方面也是有联系的，靠这种联系才能由、推 出。而从这三个符号上看不出此种联系。所以就要另外考虑表示命题的方法。解决这个问题的方法： 在表示命题时，既表示出主语，也表示出谓语， 就可以解决上述问题。这就提出了谓词的概念。 令S(x)表示x是大学生，a:小张，b:小李命题P表示成S(a):小张是大学生。命题Q表示成S(b):小李是大学生。 从符号S(a)、S(b)可看出小张和小李都是大学生的共性. 令N(x):x是自然数。I(x):x是整数。表示所有的。A: x(N(x)I(x)B :N(8) C :I(8)N(8)I(8) N(8) I(8)符号 S(x)

3、、N(x)、I(x)就是所谓的谓词。推理如此实现：2-1 基本概念2-1.1 客体与客体变元 定义：能够独立存在的事物，称之为客体，也 称之为个体。它可以是具体的，也可以是抽象的 事物。通常用小写英文字母a、b、c、.表示。 例如，小张、小李、8、a、沈阳、社会主义等等 都是客体。 定义：用小写英文字母x、y、z.表示任何客 体，则称这些字母为客体变元。 注意：客体变元本身不是客体。2-1.2 谓词 定义：一个大写英文字母后边有括号，括号内 是若干个客体变元，用以表示客体的属性或者 客体之间的关系，称之为谓词。如果括号内有 n个客体变元，称该谓词为n元谓词。 例如 S(x):表示x是大学生。

4、一元谓词G(x,y)：表示 xy。 二元谓词B(x,y,z)：表示x在y与z之间。三元谓词 一般地P(x1,x2,xn) 是n元谓词。2-1.3 命题函数 谓词本身并不是命题，只有谓词的括号内填入 足够的客体，才变成命题。 例如，a表示小张，b表示小李，则S(a):小张是大学生。S(b):小李是大学生。(7,3)表示:。如果c表示锦州，d表示沈阳，e表示山海关，则 B(c,d,e)表示：锦州在沈阳与山海关之间。 这时S(a)、S(b)、G(7,3)、B(c,d,e)才是命题。令谓词S(x):x是大学生，括号内填入不同的人名， 就得到不同的命题，故谓词S(x)相当于一个函数， 称之为命题函数。

5、定义：n元谓词P(x1,x2,xn)称之为简单命题函数 。 规定：当命题函数P(x1,x2,xn)中 n=0 时，即0 元谓词，表示不含有客体变元的谓词，它本身就是 一个命题变元。 定义：将若干个简单命题函数用逻辑联结词联结起 来，构成的表达式，称之为复合命题函数。简单命 题函数与复合命题函数统称为命题函数。 例如 给定简单命题函数：A(x)：x身体好，B(x)：x学习好，C(x)：x工作好， 复合命题函数 A(x)(B(x)C(x)表示如果x身体不好，则x的学习与工作 都不会好。2-1.4 论域(个体域) 定义：在命题函数中命题变元的取值范 围，称之为论域，也称之为个体域。例如 S(x):x

6、是大学生，论域是:人类。G(x,y)：xy， 论域是:实数。论域是一个集合。 定义：由所有客体构成的论域，称之为 全总个体域。它是个“最大”的论域。 约定:对于一个命题函数，如果没有给定 论域，则假定该论域是全总个体域。2-1.5 量词 例如：有些人是大学生。所有事物都是发展变化的。 “有些”,“所有的”,就是对客体量化的词。 定义：在命题中表示对客体数量化的词，称之 为量词。 定义了两种量词：(1).存在量词：记作，表示“有些”、“一些 ”、 “某些”、“至少一个”等。(2).全称量词：记作，表示“每个”、“任 何 一个”、“一切”、“所有的”、“凡是”、“ 任意 的”等。 定义：量词后边要

7、有一个客体变元，指明对哪 个客体变元量化，称此客体变元是量词后的指 导变元。 例如 x(读作“任意x”)，x(读作“存在x”) ，其中的x就是量词后的指导变元。 例题.所有的自然数都是整数。设 N(x)：x是自然数。I(x)：x是整数。此命 题可以写成 x(N(x)I(x) 例题.有些自然数是偶数。设 E(x)：x是偶数。此命题可以写成 x(N(x)E(x) 例题3. 每个人都有一个生母。设 P(x):x是个人。M(x,y):y是x的生母 。此命题可以写成x(P(x)y(P(y)M(x,y)2-2 谓词公式及命题符号化命题逻辑中有命题公式，类似地，在谓词逻辑 中，要研究谓词公式。 2-2.1

8、客体函数有些命题中，可能有若干个客体，其中有些客体 之间有函数关系，例如 例题1. 如果x是奇数，则2x是偶数。 其中客体x与客体2x之间就有函数关系，可以设 客体函数 g(x)=2x， 谓词 O(x)：x是奇数， E(x)：x是偶数， 则此命题可以表示为： x(O(x)E(g(x) 例题2 小王的父亲是个医生。设函数f(x)=x的父亲，谓词D(x):x是个医 生，a:小王，此命题可以表示为D(f(a). 例题3 如果x和y都是奇数，则x+y是偶数 。设 h(x,y)=x+y ，此命题可以表示为:xy(O(x)O(y)E(h(x,y) 像上述的g(x)、f(x)、h(x,y)就是客体函 数，一

9、般地用小写的英文字母f,g,h.表 示客体函数。 注意:客体函数与谓词是不同的，不可混 淆.要注意区分客体函数与谓词间的区别： 设例题1的论域是自然数集合N。 客体函数中的客体变元用客体带入后的结果依 然是个客体(3N,g(3)=6，所以g(3)N)。 谓词中的客体变元用确定的客体带入后就变成 了命题，其真值为或者为(3N, O()是 个命题,真值为T)。 把它们都看成“映射”的话，则客体函数是论域到论域的映射，g:NN，如果 指定的客体aN，则g(a)N。而谓词是从论域到T,F的映射，即谓词E(x)可 以看成映射E:NT,F，如果指定客体aN，则 E(a)的真值T,F。2-2.2 原子谓词公

10、式 定义：称n元谓词P(x1,x2,.,xn)为原子 谓词公式。 例如 P、Q(x) 、 A(x,f(x)、B(x,y,a) 都是原子谓词公式。2-2.3 谓词合式公式(WFF)(Well Formed formulas) 定义：谓词合式公式递归定义如下：1.原子谓词公式是合式公式。2.如果A是合式公式，则A也是合式公式。3.如果A、B是合式公式，则(AB)、(AB)、 (AB)、(AB)都是合式公式。4.如果A是合式公式，x是中的任何客体变元 ，则x和x也是合式公式。5.只有有限次地按规则(1)至(4)求得的公式才 是合式公式。 谓词合式公式也叫谓词公式，简称公式。 下面都是合式公式：P、(

11、PQ)、(Q(x)P)、 x(A(x)B(x)、xC(x) 而下面都不是合式公式：xyP(x) 、P(x)Q(x)x 为了方便，最外层括号可以省略，但是 若量词后边有括号，则此括号不能省。 注意：公式x(A(x)B(x)中x后边的 括号不是最外层括号，所以不可以省略 。2-2.4 量词的作用域(辖域) 定义：在谓词公式中，量词的作用范围称之为 量词的作用域，也叫量词的辖域。 例如 xA(x)中x的辖域为A(x). x(P(x)Q(x)yR(x,y)中 x的辖域是(P(x)Q(x)yR(x,y)y的辖域为R(x,y)。 xyz(A(x,y)B(x,y,z)C(t) x的辖域z的辖域 y的辖域一般

12、地， 如果量词后边只是一个原子谓词公式时 ，该量词的辖域就是此原子谓词公式。 如果量词后边是括号，则此括号所表示 的区域就是该量词的辖域。 如果多个量词紧挨着出现，则后边的量 词及其辖域就是前边量词的辖域。2-2.5 自由变元与约束变元 在谓词公式中的客体变元可以分成两种 ， 一种是受到量词约束的，一种是不受量词 约束的。请看下面公式： x(F(x,y)yP(y)Q(z)(x,y)中的x在x的辖域内，受到x的 约束，而其中的y不受x的约束。P(y)中的y在y的辖域内，受y的约束。Q(z)中的z不受量词约束。 定义：如果客体变元x在x或者x的辖域 内，则称x在此辖域内约束出现，并称x 在此辖域内

13、是约束变元。否则x是自由出 现，并称x是自由变元。 上例中x(F(x,y)yP(y)Q(z)F(x,y)中的x和P(y)中的y是约束变元。 而F(x,y)中的y和Q(z)中的z是自由变元。 对约束变元和自由变元有如下几点说明 ： (1).对约束变元用什么符号表示无关紧要 。就是说xA(x)与yA(y)是一样的。这 类似于计算积分与积分变元无关，即积 分f(x)dx 与f(y)dy 相同。 (2).一个谓词公式如果无自由变元，它就 表示一个命题。例如 A(x)表示x是个大学生。xA(x)或 者xA(x)就是个命题了，因为它们分别 表示命题“有些人是大学生”和“所有 人都是大学生”。(3).一个n

14、元谓词P(x1,x2,xn)，若在前边添加 k个量词，使其中的 k个客体变元变成约束变 元，则此 n元谓词就变成了n-k元谓词。 例如P(x,y,z)表示x+y=z，假设论域是整数集 。xyP(x,y,z)表示“任意给定的整数x，都 可以找到整数y，使得x+y=z” 。 如果令 z=1，则xyP(x,y,1)就变成了命题“ 任意给定的整数x，都可以找到整数y，使得 x+y=1”,。 可见每当给z指定个整数a后，xyP(x,y,a)就 变成了一个命题。所以谓词公式xyP(x,y,z) 就相当于只含有客体变元 z的一元谓词了。 在一个谓词公式中，如果某个客体变元 既以约束变元形式出现，又以自由变元

15、 形式出现，就容易产生混淆。为了避免 此现象发生，可以对客体变元更改名称 。如 x(F(x,y)yP(y)Q(z) 约束变元的改名规则： (1).对约束变元可以更改名称，改名的范 围是：量词后的指导变元以及该量词的 辖域内此客体变元出现的各处同时换名 。 (2).改名后用的客体变元名称，不能与该 量词的辖域内的其它变元名称相同。 例如x(P(x)Q(x,y)(R(x)A(x) 此式中的x 就是以两种形式出现。可以对x改名成z(P(z)Q(z,y)(R(x)A(x) 对自由变元也可以换名字，此换名叫代入。 对自由变元的代入规则： (1).对谓词公式中的自由变元可以作代入。代入 时需要对公式中出现该变元的每一处，同时作代 入。 (2).代入后的变元名称要与公式中的其它变元名 称不同 上例也可以对自由变元x作代入，改成x(P(x)Q(x,y)(R(z)A(z) 2-2.6 命题的符号化 在谓词演算中，命题的符号化比较复杂，命题的 符号表达式与论域有关系。例如 1.每个自然数都是整数。(1).如果论域是自