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1、第3章 线性方程组* *1 1第二章第二章 矩阵矩阵主要内容N维向量及其线形相关性向量组的秩及其极大线形无关组矩阵的秩，相抵标准型齐次线性方程组有非零解的条件及解的结 构非齐次线性方程组有非零解的条件及解的 结构DateDate2 2第二章第二章 矩阵矩阵本章要解决的问题和使用的工具 主要问题 中心问题是讨论线性方程组 解的基本问题 方程组Axb的增广矩阵 在 何时可以使得其演变为 阶梯 型矩阵（C，d）中的dr10采用消元法所得的阶梯型矩 阵非零的行数是否唯一确定自由变量可以随便选择，问 题是这样得到的方程组解的 集合是否相等。使用的工具 消元法 向量及相应的理论DateDate3 3第二章
2、第二章 矩阵矩阵3.1 n 维向量及其线性相关性如果 ai (i=1,2,n )是实(复)数叫做实(复)向量。1n元向量的概念 定义3.1 由 n 个数 a1,a2,an 组成的有序数组称为 n 元向量, 记作 (a1,a2,an)，其中 ai 称为第 i 个分量。* *4 4第二章第二章 矩阵矩阵x1=1+k17k2 x2=k1 x3=24k2 x4=1+3k2 x5=k2 (k1,k2为任意常数)3个方程，5个未知数， 任取 x2 = k1, x5 = k2 代入可解出全部解：x =(x1, x2, x3, x4, x5 )T =(1+k17k2, k1, 24k2 , 1+3k2, k2
3、 )T其中(k1,k2为任意常数)DateDate5 5第二章第二章 矩阵矩阵一个 n 元方程可以用 n + 1 元有序数组(a1, a2, , an, b)来代表，所谓方程之间的关系实际上就是代表它们的 n + 1 元有序数组之间的关系.DateDate6 6第二章第二章 矩阵矩阵例例 1 1 点的坐标点的坐标在解析几何中我们已经看到，有些事物的性质不能用一个数来刻画. 例如，为了刻画一点在平面上的位置需要两个数，一点在空间中的位置需要三个数，也就是要知道它们的坐标.即点的坐标是多元有序数组即点的坐标是多元有序数组. .DateDate7 7第二章第二章 矩阵矩阵例例 2 2 力、速度、加速
4、度力、速度、加速度又如力学中的力、速度、加速度等，由于它们既有大小，又有方向，用一个数也不能刻画它们，在取定坐标系之后，它们可以用三个数来刻画.何中向量的概念正是它们的抽象.几力、速度、加速度要用力、速度、加速度要用 3 3 元有序数组来表示元有序数组来表示. .DateDate8 8第二章第二章 矩阵矩阵例例 3 3 n n 元方程组的解元方程组的解一个 n 元方程组的解是由 n 个数组成，而这 n个数作为方程组的解是一个整体，分开来谈是没有意义的.即即 n n 元方程组的解是一个元方程组的解是一个 n n 元有序数组元有序数组. . x =(x1, x2, x3, x4, x5 )T =(
5、1+k17k2, k1, 24k2 , 1+3k2, k2 )T其中(k1,k2为任意常数)DateDate9 9第二章第二章 矩阵矩阵例例 4 4 球的大小和位置球的大小和位置为了刻画一个球的大小和位置，需要知道它中心的坐标 (三个数) 以及它的半径，也就是说， 球的大小和位置需要 4 个数来刻画.即球的大小和位置要用即球的大小和位置要用 4 4 元有序数组来表示元有序数组来表示. .DateDate1010第二章第二章 矩阵矩阵例例 6 6 在国民经济中的应用在国民经济中的应用在国民经济的问题中，我们也会碰到这种情况.譬如一个工厂生产好几种产品，那么为了说明这个工厂的产量，就需要同时指出每
6、种产品的产量.又如一个工厂的原料来自好多地方于是一个原料的采购计划就需要同时指出从每个原料产地的采购量.在这里产品的产量、原料的采购量都需用多元在这里产品的产量、原料的采购量都需用多元有序数组来表示有序数组来表示. .DateDate1111第二章第二章 矩阵矩阵向量通常写成一行：有时候也可以写成一列：行向量行向量列向量列向量行向量是 1n 矩阵, 记作 (a1,a2,an)；列向量是 n1 矩阵, 记作 (a1,a2,an)T。DateDate1212第二章第二章 矩阵矩阵如果 n 个分量全为零，叫做零向量，用 0 表示。常用 , , 等表示 n 元向量。零向量记作 0 = (0 , 0 ,
7、 , 0)T .全体 n 元实向量组成的集合记作 Rn 。DateDate1313第二章第二章 矩阵矩阵(2) 与 之和 : + = (a1+b1, a2+b2, an+bn)。k= 1时， = ( a1, a2, an) = +( ) 定义3.2 设 = (a1, a2, an) Fn, = (b1, b2, bn) Fn, F。(3) 数 与 之乘积: = (a1,a2,an) ，简称数乘。向量的加法与数量乘法统称为向量的线性运算，其运算规律与矩阵的相同(1) = 当且仅当 ai=bi ， i=1,2,n。F为数域2向量的线性运算 DateDate1414第二章第二章 矩阵矩阵加法满足4条
8、运算律：(1) + = + ；(2) ( + )+ = +( + )； (3) 有+0n = ；(4) 有( ) ,使 + ( ) =0n。DateDate1515第二章第二章 矩阵矩阵, Fn, , F有：1=； ()=()；(+)=+； (+)=+。数乘满足4条运算律：其他: (1) 有 0=0n ; k0n = 0n。(2) 若 k =0n，则 = 0n 或 k=0(3) 向量方程 +x= 有唯一解: x= 定义3.3 数域 F上的全体 n 元向量，在其中定义了上述 的加法和数乘运算 , 称为数域 F上的n维向量空间，记作 Fn (Rn为实空间)。DateDate1616第二章第二章 矩
9、阵矩阵称为向量1, 2 , , m的线性组合，或 可用1, 2 , ,m线性表示。矩阵A=1, 2 , , m，x= 1, 2 , , mT。定义3.4 设i Fn , iF (i = 1, 2, , m), 则向量 = 1 1 + 2 2 + + m m (1) (1)式可表示为：A x =，此时， 1, 2 , , m , 为列向量，DateDate1717第二章第二章 矩阵矩阵例例 设 1 = ( 1, 2, -1, 2 )T , 2 = ( 2, 4, 1, 1 )T , = ( -1, -2, -2, 1)T , 则显然有 = 1 - 2 , 说明 可以表为1 , 2 的线性组合.
10、例例 设 1 = ( 2, -1, -4, 1 )T , 2 = ( 1, 2, 3, -4 )T, 3 = ( 2, -1, 2, 5 )T , = ( 2, -1, 5, -4 )T , 问： 是否可以表为 1 , 2 , 3 的线性组合？DateDate1818第二章第二章 矩阵矩阵解解是否可以表为 1 , 2 , 3 的线性组合，取决于能否找到一组数 k1 , k2 , k3 R ，使k11 + k22 + k33 = 或成立，亦即线性方程组DateDate1919第二章第二章 矩阵矩阵是否有解.DateDate2020第二章第二章 矩阵矩阵线性方程组的三种形式线性方程组的三种形式有
11、n 个未知量 s 个方程的线性方程组，有以 下三种形式：形式一形式一 一般形式DateDate2121第二章第二章 矩阵矩阵形式二形式二 矩阵形式在一般形式中，若令则线性方程组可表示成AX = BAX = B. .DateDate2222第二章第二章 矩阵矩阵形式三形式三 向量形式在一般形式中，若令则线性方程组可表示成如下形式的向量方程 1 1x x1 1+ + 2 2x x2 2+ + + + n nx xn n= = . .DateDate2323第二章第二章 矩阵矩阵在 R3中，任一向量 = (a1, a2, a3) 可由基本向量e1=(1, 0, 0), e2=(0, 1, 0), e
12、3=(0, 0, 1) 线性表示为 = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3在R3中，如果三个向量 1, 2, 3共面，则至少有一个向量可以由另两个向量线性表示，如图，即存在不全为 0 的 k1 ， k2 ，k3 使k1 1 + k2 2 + k33 =03 = k1 1+ k2 2231 k22k11DateDate2424第二章第二章 矩阵矩阵定义3.5 设 1, 2, , m Rn , 如果存在不全为零的 1, 2,m R ,使成立，则称1, 2, , m线性相关，否则，线性无关。“否则”是指：不线性相关就是线性无关，“仅当1, 2,m全为零时，才使(*)式成立”。 这等价于 “如
13、果(*)式成立，则1, 2,m必须全为零”。11 + 2 2 + + m m = 0 （*）3向量的线性相关性 DateDate2525第二章第二章 矩阵矩阵例如例如，向量组是线性相关的，因为3 = 31 - 2 .定理3.1 向量组 1, 2, , m(m 2) 线性相关 的充要条件是 1, 2, , m中至少有一个向量可由其余向量线性表示。DateDate2626第二章第二章 矩阵矩阵1 1 + 2 2 + + m m = 0证: 必要性：设1, 2, , m线性相关，则存在不全为零的数1, 2,m, 使得不妨设 1 0 , 于是1= 112 2 11m m其中1, j1,1, j+1,
14、, m不全为零，充分性得证。充分性：若1, 2, , m中的一个向量可由其余向量线性表示，如j = 1 1 + j1 j1 + j+1 j+1 + m m则1 1 + j1 1 j + j+1 j+1 + m m = 0DateDate2727第二章第二章 矩阵矩阵例1 Rn中的 e1, e2, , en 是线性无关的。 其中 ei = (0, 0, 1, 0,0) 是第 i 个分量为 1 (i=1,2, , , n）其余分量全为零的向量。 定理3.1 的等价命题： 1, 2, , m(m 2)线性无关的充要条件是其中任一个向量都不能由其余向量线性表示。解：因为，由 1e1 + 2e2 + + nen = 0 即 (1, 2, , n) = (0, 0, , 0) 必有 1 = 2 = = n = 0.DateDate2828第二章第二章 矩阵矩阵注意: (1) 单个向量 线性相关的充分必要条件是： 为零向量因为 0 使 = 0 成立的充要条
