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1、误差理论与数据处理第2页数字舍入规则： 舍去部分的数值大于保留部分末位半个单位，则末 位加1； 舍去部分的数值小于保留部分末位半个单位，则末 位不变； 舍去部分的数值等于保留部分末位半个单位，则末 位凑成偶数。 数据修约有国家标准（GB18071987）1）有效数字第3页简单记为“四舍六入，奇进偶舍” 或 “逢五凑偶”原有数据保留4位有效数字3.141593.1422.717292.7174.510504.5103.215503.2166.3785016.3797.6914997.6915.434605.4351）有效数字第4页在近似数运算中，为了保证最后结果有尽可能高的精度， 所有参与运算的
2、数据，在有效数字后应多保留一位数字作 为参考数字（或安全数字）。（1）加减以小数位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位 小数字，最后结果应与小数位数最少的数据小数位相同。（2）乘除/平方或开方各运算数据以有效位数最少的数据位数为准，其余各数据 要比有效位数最少的数据位数多取一位数字。最后结果应以有效位数最少的数据的数据位数相同。1）有效数字误差的定义及表示法 绝对误差：测得值与真值之差称为绝对误差，通常简称误差。绝对误差测得值真值修正值：实际工作中常用修正值。为补偿（减少）系统误差用代数法加到测量结果 上的值称为修正值。修正值真值(约定真值）测得值测量结果(真值)测得值修正值2）误差的基
3、本概念第5页相对误差测量绝对误差与被测量的真值的比称为相对误差。GUM中注：由于真值不能确定，实际上用约定真值（测值的最佳估计值） 。（1）无单位（无名数），通常以或10-d表示（2）通常可比较不同测量的质量如何。2）误差的基本概念第6页引用误差(fiducial error)式中引用值 xm 通常指全量程或量程上限，示值误差 xm是该量程范围内任一刻度点的示值的绝对误差中的最大值。分析讨论：引用误差和相对误差的区别？2）误差的基本概念第7页第8页实例：现用1.0级、量程为150伏电压表来进行测量，问： 1）该电压表的引用误差是多少？ 2）用该电压表测量电压时的最大测量误差是多少？ 3）用该电
4、压表测量100伏的电压时的最大测量误差是多少？ 4）用该电压表测量50伏的电压时的最大测量误差是多少？ 5）用该电压表测量50伏的电压时的相对误差是多少？ 6）用该电压表测量100伏的电压时的相对误差是多少？ 7）用0.5级、量程为300伏电压表一起测量100伏电压时，哪个更准？解：1）该电压表的引用误差是： 12）用该电压表测量电压时的最大测量误差是：解： 3）用该电压表测量100伏的电压时的最大测量误差是：1.5V。4）用该电压表测量50伏的电压时的最大测量误差是：1.5V。解： 5）用该电压表测量50伏的电压时的相对误差是：6）用该电压表测量100伏的电压时的相对误差是：当用1.0级、量
5、程为100伏的电表测量时，有 解：7）当用0.5级、量程为300伏的电压表测量时，有 结论：(1)一样准确。 (2)仪表等级越高成本越高 。2）误差的基本概念按照测量误差的特点、性质和规律，以及对测量结果的 影响方式，可将其分为系统误差，随机误差和粗大误差三 类：1系统误差在同一条件下多次测量同一量值时，其绝对值和符号 保持不变或在条件改变时，其值按一定规律变化的误差， 称为系统误差。系统误差按其出现的规律又可分为: （1）定值系统误差 ：即误差的大小和方向为固定值。 （2）变值系统误差：即误差的大小和方向为规律的变化 值。为补偿（减少）系统误差用代数法加到测量结果上的值 称为修正值。3）误差
6、的分类第9页第10页2.随机误差在同一条件下，多次测量同一量值时，其绝对值和符号 以不可预定的方式变化着的误差称为随机误差，过去也 叫偶然误差。3.粗大误差（异常值）明显歪曲测量结果的误差称为粗大误差，过去也叫过失 误差或疏忽误差。测量结果中有无粗大误差必须判断并剔除。3）误差的分类1）变值系统误差的发现方法之一：残差观察法4）系统误差发现方法1）可否直接对测值进行观察来发现变值系统误差？ 2）可否直接对测值进行观察来发现定值系统误差？ 第11页第12页2算术平均值的差值与标准差比较法 对同一量值在测量条件不同，测量次数也不同的情况下进行两组（ 或多组）测量。设测量次数分别为n1和n2次，得两
7、组算术平均值：其实验标准差分别为：4）系统误差发现方法第13页算术平均值之差的标准差为：由于两组测值是服从正态分布的随机变量，故其算术平均值的差值也 服从正态分布，因此，可用区间的概率估计原理来判断是否有定值系 统误差，即：两组算术平均值之差为：4）误差的分类系统误差发现方法第14页例1 惰性气体（氩）的发现。雷莱（Rayleigh，多译为瑞利）测定氮气 的密度。化学方法制得的氮，其平均密度和标准差分别为2.29971和0.00041；从大气中分离的氮，其平均密度和标准差分别为2.31022和0.00019 取置信概率p=99.73%来判断，则故可判断其中一定有系统误差，经检查由于操作技术等明
8、显因素产生系 统误差的可能性很小，进一步仔细分析，结果发现了惰性气体（氩）的 存在。4）系统误差发现方法单次测量的标准偏差：算术平均值的标准偏差：5）随机误差的计算第15页不等精度测量：权的概念应该让可靠程度大的在最后测量结果中占的比重 大一些，让可靠程度小的在最后测量结果中占的比重 小一些。各测量结果的可靠程度用数值表示，这数值称为 该测量结果的“权”，记为p。测量精度愈高，可靠性愈 高，应给予的“权”应愈大。5）随机误差的计算第16页第17页加权算术平均值对同一被测量进行m组不等精度测量，得到m个测量结果设相应的测量次数为（215）根据等精度测量算术平均值原理，全部测量的算术平均值为5）随
9、机误差的计算我国在GB488385中推荐了两种异常值的判别方法，两种方 法是：1、在只剔除1个异常值时采用格拉布斯(Grubbs)准则。2、在剔除多个异常值时采用狄克逊（Dixon)准则。三种粗大误差判断准则 ：（1） 3准则（莱以达准则 ）当测量结果（测量列），某一数据的残差的绝对值 |v|3 时，则剔除此数据。 6）异常值处理第18页（2）格拉布斯（Grubbs)准则。 设独立重复测量的一个正态分布的测量列x1，x2，xn， 其测量标准偏差为 s(x) 对其中的一个可疑数据xd,(其残余偏差vd的绝对值最大），若：则数据xd为异常值，应予剔除；否则应予保留。上式中系数G（，n）为格拉布斯准
10、则的临界值，由测量次 数n，和选定的显著性水平（相当于犯“弃真”错误的概率 ）查表选取。显著性水平通常选为0.01或0.05。6）异常值处理第19页（3）狄克逊（Dixon)准则正态测量总体的一个样本x1, x2, ， xn ，按从小到 大顺序排列为 ，分以下几种情况： 6）异常值处理第20页（3）狄克逊（Dixon)准则6）异常值处理第21页第22页异常值判断操作原则逐个剔除原则：在应用上述准判断粗大误差时，若同时有两个以 上的测得值的残差i超出判断界限，也只能剔除其中|i |最大的 那一个数据（如有两个相同的数据超限，也只能剔除其中的一个） ；之后再按剩下的（n-1）个数据重新计算算术平均
11、值、残差及实验标 准差，继续判断另一个可疑数据，直到全部数据无问题为止。那些 在前次判断中和被剔除的数据同时超限的次大（或同样大）的数据 ，在重新计算后，其|可能不超过判断界限，所以每次只能剔除 一个超限的数据。我国在GB488385中推荐了两种异常值的判别方法，两种方法是： （1）在只剔除1个异常值时采用格拉布斯（Grubbs)准则。 （2）在剔除多个异常值时采用狄克逊（Dixon)准则。6）异常值处理7） 间接测量 直接测量 无需对被测的量与其它实测的量进行函数关系的辅助计算，而直接 得到被测量值的测量。 e.g. 游标卡尺测零件直径D。间接测量实测的量与被测的量之间有已知函数关系，通过计
12、算而得到被测量 值的测量。e.g. 通过测量圆柱体的圆周长度L，通过已知函数关系式D=L/，得 到所求的零件直径D。函数误差间接测量误差是各个直接测量值误差的函数，这种误差称为函数误 差。第23页8）函数误差计算 已定系统误差 随机误差 线性无关 完全正相关第24页 相关系数特征：当01时，两随机变量呈正相关，即一随机变量增大时，另一随机变量的 取值平均地增大；当-10时，两随机变量呈负相关，即一随机变量增大 时，另一随机变量的取值平均地减小；当=-1时，两随机变量完全负相关；当=1时，两随机变量完全正相关；此 时两随机变量之间有着确定的线性函数关系；当=0时，两随机变量间线性无关，即一随机变
13、量增大时，另一随机变量的 取值可能增大也可能减小；此时仅表示两误差间线性无关，并不表示它们 之间不存在其它函数关系。第25页8）函数误差计算实际工作中相关系数的确定：（1）观察法（2）直接计算法8）函数误差计算第26页 应用举例 圆柱体体积V的测量 用千分尺直接测量圆柱体的直径d和高度h（d和h的基本尺寸均为 10mm）各6次，测得值列于下表，求圆柱体体积V，并给出最后测 量结果。直径d (mm)10.08510.08510.09010.08010.08510.080高度h (mm)10.10510.11510.11510.11010.11010.1058）函数误差的计算第27页 应用举例-圆
14、柱体体积V的计算（续） 1、确定函数关系计算体积值8）函数误差的计算2、计算误差传递系数3、计算相关系数4、计算函数随机误差第28页9）误差的合成 用已定系统误差修正测值 随机误差和未定系统误差合成 未定系统误差取值具有随机性，服从一定的概率分布，具有一定的 抵偿作用，可以采用随机误差的合成公式进行合成 随机误差和未定系统误差采用发差合成方式，评估测量结果的分散 性第29页不确定度定义：不确定度是测量结果带有的一个参数，用以表征 合理赋予被测量的值的分散性。准确度定义（精度）定义：测量结果与被测量真值之间的一致程度。国际“ 通用计量学术语”中在B.2.14这条下有两条注解：不要使用 “prec
15、ision”来表示准确度。准确度是一个定性概念，可以用准确度高低、准 确度为0.25级、准确度为三等及准确度符合标准 的说法。尽量不使用准确度为0.25%,16mg，16mg等 方式表示。10）测量不确定度第30页不确定度与误差的区别：测量误差测量不确定度 1测量值与真值之差，表明测量 结果偏离真值的量表明测量值的分散性2由于真值不可知，往往不能准 确得到。可以根据实验，或者资料、经 验等进行评定，从而可定量确 定。 3是有正负号的量值无正负符号的参数4已知系统误差的估计值时，可 以对测量值进行修正。对变值 系统误差无法处理。不能用不确定度对测量结果进 行修正。无系统不确定度或随 机不确定度提
16、法。10）测量不确定度第31页不确定度的分类：标准不确定度： 用标准偏差表示的不确定度。 A类标准不确定度： 用统计方法评定出的不确定度 B类标准不确定度： 用非统计方法评定出的不确定度 合成标准不确定度：由各标准不确定度分量合成得到 扩展标准不确定度：由合成标准不确定度乘以包含因子k得到10）测量不确定度第32页(一）定义：用非统计方法评定出的不确定度。 (二）符号：用符号 u 表示，有多个分量时用u i表示 (三）评定方法：11）标准不确定度的A类评定第33页标准不确定度的B类评定： （一）定义：用非统计方法评定出的不确定度。 （二）符号：用符号 u 表示，有多个分量时用 u i 表示，当既有A类又有B类时，下标 i 统一编号。 （三）评定方法： B类评定方法获得的不确定度，不是依赖于对样本 数据的统计计算，而是设法利用与被测量有关的其他先验 信息来进行估
