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1、任课教师：柴振华Email：数值分析 (Numerical Analysis)数值分析 (Numerical Analysis)考试方式：闭卷考试成绩：数值实验报告占 20%，考试占 80%有关数值实验报告的几点说明：1) 题目范围：教材每章后面的数值实验题（自选三题） 2) 提交时间：第11周 周一上午（C12-S201） 3) 要求： u利用所学知识，并严格按照题目要求完成所选题目 u报告中必须包含详细的算法代码（C/C+、Matlab等）、数值结果 （图形、表格）以及必要的结果描述与分析 uA4纸双面打印、首页（单面）须包含姓名、院系、学号等基本信息注：作业必须独立完成，若出现雷同，将视
2、情况酌情扣分& 参考书目 (Reference) 数值分析 李庆扬、王能超、易大义编著 （清华大学出版社） Numerical Analysis (Seventh Edition)数值分析 （第七版 影印版） Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社） Introduction to Numerical Analysis (Second Edition) 数值分析导论 （第二版 影印版）J. Stoer & R. Bulirsch （世界图书出版公司） 数值分析学习辅导 李红、徐长发编著 （华工出版社）&教材 (Text Book)数值分析（
3、第二版）李 红 编著 （华中科技大学出版社）绪 论 数值分析概括为用计算机求解数学问题的数值方 法和理论。在工程计算和科学实验中会遇到诸如线性方程组 的求解、微分、积分、微分方程的求解等常见的数学 问题。 求解数学问题思维方式：（1）利用数学方法求出（或推导出）结果的解析 表达式（又称解析解）（2）若实际中结果的解析表达式难以给出，例如 满足某个微分方程的函数不易求得，采用数学理论与 计算机相结合，寻求(设计)合适的算法以期得到问题 的近似数值解数值分析研究的主要问题。下面是两种思维过程的对比： 通常解决数学问题的思维方式通常解决数学问题的思维方式实际问题数学模型解析表达式结果实际问题数学模型
4、算法设计编程计算结果后者也正是利用计算机进行科学计算的过程。后者也正是利用计算机进行科学计算的过程。 数值分析的思维方式数值分析的思维方式众所周知，电子计算机实质上只会做加 减乘除等基本运算，研究怎样通过计算机所 能执行的基本运算，求得各类数学问题的数 值解或近似解就是数值计算的根本课题。由 基本运算及运算顺序的规定所构成的完整的 解题步骤，称为算法。数值计算的根本任务 就是研究算法。通过编制程序我们就可以计算sinx的近似值。事实上， 计算机语言常用的数学运算的标准函数也可用这种方法 写成。例：计算任意角的三角函数，如sinx。不调用库函数， 计算机是不能直接计算sinx的。根据微分学的Ta
5、ylor公式 ，我们有：等式的右端就只是乘法与加法的循环运算。取算法1：按原形计算： 需做 次乘法、 次加法例：计算多项式的值。十四算法2；上述多项式化为则需做 次乘法、 次加法。四四算法3；上述多项式化为则需做 次乘法、 次加法。三五例：解线性方程组按Cramer法则求解，即其中是把D中第k列换为这要计算 个行列式，做 次除法。n+1n而每个行列式包含 个乘积，每个乘积n! n-1需做次乘法.这样共需做次乘除法。当n=20时，这意味 着在每秒做一亿次乘除法的计算机上，要做 多万年！ 因此，在构造算法时，还应考虑如何计算, 才能既快又省。 提问：数值分析是做什么用的？数值 分析输入复杂问题或运
6、算 计算机近似解第一章 误差 /* Error */1 误差的背景介绍 /* Introduction */1. 来源与分类 /* Source & Classification */ 从实际问题中抽象出数学模型 模型误差 /* Modeling Error */ 通过测量得到模型中参数的值 观测误差 /* Measurement Error */ 求近似解 方法误差 (截断误差 /* Truncation Error */ ) 机器字长有限 舍入误差 /* Roundoff Error */误差：一个物理量的真实值与计算值之间的差异 1 Introduction: Source & Clas
7、sification大家一起猜？11 / e解法之一：将 作Taylor展开后再积分S4R4 /* Remainder */取则称为截断误差 /* Truncation Error */| 舍入误差 /* Roundoff Error */ |= 0.747 由截去部分 /* excluded terms */ 引起1 Introduction: Spread & Accumulation2. 传播与积累 /* Spread & Accumulation */例：蝴蝶效应 纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北京 就刮起台风来了？！NYBJ以上是一个病态问题 /* ill-posed probl
8、em*/关于本身是病态的问题，我们还是留给数学家去头痛吧！1 Introduction: Spread & Accumulation例：计算 公式一：注意此公式精确成立记为则初始误差? ! ! !What happened ?!1 Introduction: Spread & Accumulation考察第n步的误差我们有责任改变。造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */迅速积累，误差呈递增走势。可见初始的小扰动 公式二：注意此公式与公式一 在理论上等价。方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n 0 0 不唯一不唯一，当然当然 e* e* 越小越具
9、有参考价值。越小越具有参考价值。2 Error and Significant Digits 相对误差 /* relative error */x 的相对误差上限 /* relative accuracy */ 定义为注：注：从从 的定义可见，的定义可见， 实际上被实际上被偷换偷换成了成了 ，而后才考察，而后才考察 其上限。那么这样的偷换是否其上限。那么这样的偷换是否合法合法？严格的说法是，严格的说法是， 与与 是否反映了是否反映了同一数量级同一数量级的误差？的误差？ Dont tell me its 5% becauseBut what kind of information does th
10、at 5% give us anyway?Now I wouldnt call it simple. Say what is the relative error of 20cm1cm?按四舍五入原则若取四位小数得 3.1416，取五位小数则有 3.14159，它们的绝对误差不超过末位数的半个单位，即有效数字 /* significant digits */定义位有效数字。有位，则的第一位非零数字共有位的半个单位，该位到的误差限是某一 （有效数字）若近似值nxnxx*2 Error and Significant Digits五位有效数值六位有效数值2 Error and Significan
11、t Digits 用科学计数法，记 （其中 ）。若 （即 的截取按四舍五入规则），则称为有n 位有效数字，精确到 。证明：有 位有效数字，精确到小数点后第 位。43 注：注：0.23000.2300有有4 4位有效数字，而位有效数字，而0.00230.0023只有只有2 2位有效。位有效。1230012300如如 果写成果写成0.1230.123 10105 5，则表示只有，则表示只有3 3位有效数字。位有效数字。数字末尾的数字末尾的0 0不可随意省去！不可随意省去！例： 问： 有几位有效数字？请证明你的结论。*例：以下数字是经四舍五入得到的，判定各有几位有效数字。187.9325 0.003
12、69246 3.1415926 2.00007276872 Error and Significant Digits 有效数字与相对误差的关系 有效数字 相对误差限已知 x* 有 n 位有效数字，则其相对误差限为 相对误差限 有效数字已知 x* 的相对误差限可写为则可见 x* 至少有 n 位有效数字。2 Error and Significant Digits 例：为使 的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？解：假设 * 取到 n 位有效数字，则其相对误差上限为要保证其相对误差小于0.001%，只要保证其上限满足已知 a1 = 3，则从以上不等式可解得 n 6 log6，即 n 6
13、，应取 * = 3.14159。3 函数的误差估计 /*Error Estimation for Functions*/问题：对于 A = f (x)，若用 x* 取代 x，将对A 产生什么影响？分析：e*(A) = f (x*) f (x) e*(x) = x* xMean Value Theorem = f ( )(x* x)x* 与 x 非常接近时，可认为 f ( ) f (x*) ，则有：|e*(A)| | f (x*)|e*(x)|即：x*产生的误差经过 f 作用后被放大/缩小了| f (x*)| 倍。故称| f (x*)|为放大因子 /* amplification factor
14、*/ 或 绝对条件数 /* absolute condition number */.3 Error Estimation for Functions相对误差条件数/* relative condition number*/f 的条件数在某一点是小大，则称 f 在该点是好条件的 /* well-conditioned */ 坏条件的 /* ill-conditioned */。注：关于多元函数 的讨论，请参阅教 材第7页。3 Error Estimation for Functions例：计算 y = ln x。若 x 20，则取 x 的几位有效数字可保 证 y 的相对误差 0.1% ?解：设截取 n 位有效数字后得 x* x，则估计 x 和 y 的相对误差上限满足近似关系不知道怎么办啊 ？x 可能是20 ，也可能 是19，取最坏情况， 即a1 = 1。 n 4例：计算 ，取 4 位有效数字，即 , 则相对误差4 几点注意事项 /* Remarks */1. 避免相近二数相减例：a1 = 0.12345，a2 = 0.12346，各有5位有效数字。而 a2 a1 = 0.00001，只剩下1位有效数字。 几种经验性避免方法：当 | x | 1 时：4 Remarks2. 避免小分母 : 分母小会造成浮点溢出 /* over flow */3
