航天器控制原理第2章

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1、2.1航天器轨道的基本定律 2.2二体轨道力学和运动方程2.3航天器轨道的几何特性2.5航天器的轨道摄动第二章 航天器的轨道与轨道力学2.4航天器的轨道描述 第二章 航天器的轨道与轨道力学“1642年圣诞节，在柯斯特沃斯河畔的沃尔索普庄 园，诞生了一个非常瘦小的男孩。如同孩子的母亲后来 告诉他的那样，出生时他小得几乎可以放进一只一夸脱 的杯子里，瘦弱得必须用一个软垫围着脖子来支起他的 头。这个不幸的孩子在教区记事录上登记的名字是 伊 萨克和汉纳牛顿之子伊萨克 。虽然没有什么贤人哲 士盛赞这一天的记录，然而这个孩子却将要改变全世界的思想和习惯。” 牛顿2.1 航天器轨道的基本定律如果说1642年

2、的圣诞节迎来了理性的时代, 那么完 全是由于有两个人为大约50年后牛顿最伟大的发现奠定 了基础。一个是第谷布拉赫, 他几十年如一日,极为细 致地收集和记录了行星精确位置的大量数据；另一个是 约翰开普勒，他以其极具的耐心和天赋的数学才能， 揭示了隐藏在第谷的观测数据背后的秘密。这两人就是 用肩膀托起牛顿的“巨人”。 第谷布拉赫约翰开普勒2.1.1 开普勒定律1第一定律椭圆律 每个行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭 圆的一个焦点上。因此，行星在运行过程中，离太阳的距离是变化的，离 太阳最近的一点为近日点，离太阳最远的一点为远日点 ，如图21所示。 2第二定律面积律 由太阳到行星的矢径在相等的时间

3、间隔内扫过相等 的面积。在图所示中，S1,S2,S3,S4,S5,S6,分别表示行星运行到 t1,t2,t3,t4,t5,t6, 时刻的位置。如果从S1到S2的时间间 隔和S3到S4 ， S5到S6的时间间隔相等，则矢径扫过的面 积S1OS2, S3OS4, S5OS6也都相等，可表示为dA/dt=常量开普勒第二定律 开普勒第二定律式中， dA/dt表示单位时间内矢径扫过的面积，叫 做面积速度。为了保持面积速度相等，行星在近日点附近运行的 路程 S1S2较长，速度相应地要快些；在远日点附近运行 的路程S5S6较短，因而速度相应地要慢些。这种变化规 律，叫做面积速度守恒。 3第三定律周期律 行星

4、绕太阳公转的周期T的平方与椭圆轨道的长半径a 的立方成正比。即 a3/T2=K它说明，行星椭圆轨道的长半径越大，周期就越长，而 且周期仅取决于长半径。图23 开普勒第三定律图23表示3种不同椭圆度的轨道，它们的长半径都 相等，周期也就相同。2.1.2 牛顿定律 第一运动定律 任一物体将保持其静止或是匀速直线运 动的状态，除非有作用在物体上的力强迫其改变这种状 态。第二运动定律 动量变化速率与作用力成正比，且与作 用力的方向相同。 第三运动定律 对每一个作用，总存在一个大小相等的 反作用。 万有引力定律：任何两个物体间均有一个相互吸引的力，这个力与 它们的质量乘积成正比，与两物体间距离的平方成反

5、比 。数学上可以用矢量形式把这一定律表示为 式中， Fg为由于质量引起的作用在质量m上的力矢量；r 为从到m的距离矢量。万有引力常数G的值为G =667010-13 Ncm2g2。2.2 二体轨道力学和运动方程 2.2.1 N体问题为不失一般性，假定存在某个合适的惯性坐标系， 在该坐标系内，n个质量的位置分别为 .此系 统如图2.4所示。 由牛顿万有引力定律得出， 作用在 上的力 为(2.5) 式中(2.6) 作用在第i个物体上的所有引力的矢量和 为(2.7)图2.4中所示的其他外力 ，包括阻力、推力、太阳辐 射压力、由于非球形造成的摄动力等。作用在第i个物体 上的合力称为 ，其表达式为(2.

6、8) (2.9)现在应用牛顿第二运动定律(2.10) 把对时间的导数展开，得到(2.11)如前所述，物体可能不断排出某些质量以产生推力。在 这种情况下，式(2.11)中的第二项就不等于零。某些与 相对论有关的效应也会导致质量 随时间变化。式 (2.11)各项除以 ，就得出第 i个物体的一般运动方程 为(2.12) 方程式(2.12)是一个二阶非线性矢量微分方程，这种 形式的微分方程是很难求解的。假定第i个物体的质量保 持不变（即无动力飞行， =0），同时还假定阻力和其 他外力也不存在。这样，惟一存在的力为引力，于是方 程式(2.12)简化成(2.13)不失一般性，假定 为一个绕地球运行的航天器

7、， 为地 球，而余下的 可以是月球、太阳和其他行星 。于是对i=1的情况，写出方程式(2.13)的具体形式，得 到(2.14)对i=2的情况，方程式(2.13)变成(2.15)根据式(2.6)，有 (2.16)于是有 (2.17)将式(214)和(215)代人式(217)得到 (2.18)因为 ，所以(2.19) 为了进一步简化这一方程，需要确定摄动影响与航天器和地球间的引力相比有多大。表21 列出了一个高度为370 km的航天器的各相对加速度(不是摄动加速度)，同时还列出了地球的非球形(偏状)造成的影响，以供比较。分析表21中的数据容易 看出，围绕地球运行的航天器 受到地球的引力占有主导地位

8、 ，因此进一步简化运动方程式 (219)，简化N体问题是可能 和合理的。 表2.1首先，作两个简化假设：(1)物体为球对称的，这样就可以把物体看作质量集 中在其中心。(2)除了沿两物体中心连线作用的引力外，没有其他 外力和内力作用。其次，确定一个惯性坐标系(无加速度的和无转动的 坐标系)以便测量物体的运动状态。牛顿描述惯性坐标系 时说：此坐标系固定在绝对空间内，“按其本质来说， 它与外界无任何关系，永远保持那样并且不动”。2.2.2 二体问题和运动方程考虑质量分别为M和m的两个物体构成的系统，如图2 5所示。设 为惯性坐标系，OXYZ为原点在质 量为M的物体质心上的不转动的，且与 平行的 坐标

9、系。物体M和m在坐标系内的位置矢量分别为 和 ，并定义 现在，在惯性坐标系 内可以应用牛顿定律，得到 即 得 （2.20 ）方程式(220)为二体问题相对运动的矢量微分方程。 考虑到实际情况有 为了方便和具有一般性，称M为中心引力体，定义引力参 数 。 于是式(220)变为(221) 此即为二体运动方程。对不同的中心引力体， 的值不 同。对于地球， ； 对于太阳 ， 2.2.3 轨道运动常数 1机械能守恒 用 与式(221)作点乘，且 , ,得到因为由矢量运算法则 ，故并且注意到和 故 更具一般性地，上式可以写为式中，c为任意常数。由此，下式定义的量必为常数：称为比机械能。于是，可以得出结论：

10、当卫星沿着轨道运行时，卫 星的比机械能 (即单位质量的动能和单位质量的势能 之和)既不增加，也不减少，而是保持常值。 的表达式 为(223)2角动量守恒 用 叉乘式(221)，得到因为 总是成立，故上式左边第二项为零，得注意到 所以有或矢量 必定为一运动常数，简记为 ，称作比角动 量。至此已经证明了航天器的比角动量 沿着其轨道为 一常数， 的表达式为(224) 因为 为 和 的矢量叉积，因此，它必定与包含 和 的平面正交。但 为一恒定矢量，所以 和 必定 总在同一平面内。由此可以证明航天器的运动必定限制 于一个在空间固定的平面内，称为轨道平面。轨道平面 具有定向性。2.3.1 轨道的几何方程

11、将方程式(221)两边同时与h叉乘，有(226)考虑到h守恒和矢量运算规则 及 , 所以2.3 航天器轨道的几何特性 于是，可以将式(226)改写为两边积分得这里B是积分常矢量。用r点乘该式就得到标量方程显然，轨道的几何方程是一个圆锥曲线的极坐标方 程，中心引力体质心即为极坐标的原点，位于一焦点上 ，极角v为r与圆锥曲线上离焦点最近的一点与焦点连线 间的夹角，常数p称为“半正焦弦”，常数e称为“偏心 率”，它确定了方程式(228)表示的圆锥曲线的类型， 如图27所示。(1)圆锥曲线族(圆、椭圆、抛物线、双曲线)为二体问 题中的航天器惟一可能的运动轨道。 (2)中心引力体中心必定为圆锥曲线轨道的

12、一个焦点。(3)当航天器沿着圆锥曲线轨道运动时，其比机械能(单 位质量的动能和势能之和)保持不变。(4)航天器绕中心引力体运动，当r和v沿轨道变化时， 比角动量h保持不变。(5)轨道运动总是处在一个固定于惯性空间的平面内。至此，可以把航天器的轨道运动总结如下：航天器的轨道第一宇宙速度 第二宇宙速度2.3.2 轨道的几何性质 1圆锥曲线轨道的几何参数 圆锥曲线轨道包括圆、椭圆、抛物线和双曲线4种类型 的轨道。图28给出了各种圆锥曲线轨道共同的一些几 何参数和关系。 图28 圆锥曲线共同的几何参数 除了抛物线之外，所有的圆锥曲线均有偏心率(229)和 (230)2轨道的近拱点和远拱点轨道长轴的两个

13、端点称为拱点，离主焦点近的称为 近拱点，离主焦点远的称为远拱点。主焦点至近拱点或远拱点(若存在的话)的距离，只 须在极坐标圆锥曲线的一般方程式(228)中以v=0o或 v=180o代入即可求得。于是对任何圆锥曲线有近拱点远拱点将式(230)代人上两式即得(2.31)(2.32)另外，在任何圆锥曲线轨道的近拱点或远拱点(若存 在)处，总有 所以作为方程式 (225)的一个特殊 情况，可以写出(2.33)式中 , ,分别为两个拱点的速度 3轨道形状与比机械能对近拱点写出航天器的能量方程式(223)，并将式 (233)代人其中，得根据方程式(230)和 有因此由此得 (234) 对所有圆锥曲线轨道均

14、成立的这个简单的关系式表 明，轨道的长半轴a仅与航天器的比机械能 有关。进一 步说， 仅与轨道上任一点的r和v有关，即 圆和椭圆轨道：aO， 航天器的比机械能 0。因此，仅由航天器比机械能的符号就可以确定航天器 处在哪种类型的圆锥曲线轨道内。 进一步地，由于 以及式(2.30)和(2.34)成 立，因此对任何圆锥曲线轨道均有 (235)可见，h单独决定了p，而 单独决定了a，它们共同决定 了e，即确定了圆锥曲线轨道的具体形状。考虑到 且对于一般航天器而言，rO，vO，所以航迹角 (0 180o)的取值决定了h的符号。当 90o时，即hO时，若 0，则e1，为双曲线轨道。当 =90o，即h=O时，无论 取值如何，e=1。此时，航天器的轨道是一条通过中心引力体质心和航天器当前位置的直线，也是一种退化的圆锥曲线。 2.3.3 椭圆轨道太阳系所有行星的轨道和所有围绕天体运动的航天 器的轨道都是封闭曲线椭圆。首先考察一下仅对椭 圆轨道适用的几何特性，然后再推导航天器沿椭圆轨道 运动的周期和速度。图2.9显示了椭圆可用两根大头针和一个棉线圈画出 的方法，以及椭圆轨道参数之间的关系。观察可知，椭圆上任何一点到两个焦点的距离之和恒满 足并且椭圆轨道近拱点半径 和远拱点半径 与椭