材料力学-12-简单的静不定系统

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1、Nanjing University of Technology材料力学课堂教学软件(12)第12章 简单的静不定系统 材料力学 12.1 静不定系统的几个基本概念 第12章 简单的静不定系统 12.4 力法与正则方程 12.3 对称性与反对称性在求解静不定问题中应用 12.5 能量法在求解静不定问题中的应用 12.2 简单静不定问题 第12章 简单的静不定系统 12.1 静不定系统的几个基本概念 6.6 简单的静不定梁 1、基本概念静不定系统的作用：为了提高工程结构中构件的强度 和刚度。 静不定次数：未知力个数与独立平衡方程数之差静定问题与静定结构：未知力（内力或外力）个数等于 独立的平衡方

2、程数静不定问题与静不定结构：未知力个数多于独立的平衡 方程数多余约束：保持结构静定多余的约束一、静不定结构的类型外力静不定系统内力静不定系统混合静不定系统 12.1 静不定系统的几个基本概念 FP1FP2FP1FP2X1X2 X3外力静不定系统 12.1 静不定系统的几个基本概念 几次静不定？相当系统内力静不定系统FPFPFPFPX1X2X1X2X3X3 12.1 静不定系统的几个基本概念 几次静不定？相当系统混合静不定系统FP1FP2FP1FP2X1X2 X3X4X4 12.1 静不定系统的几个基本概念 几次静不定？ 相当系统几次静不定？X6X6FP1FP2FP1FP2X1X2 X3X4X4

3、X5X5 12.1 静不定系统的几个基本概念 混合静不定系统相当系统 12.1 静不定系统的几个基本概念 基本静定系统：选择合适的多余约束，将其除去， 使静不定结构变为静定结构，在解除约束处代之以 约束力所得到的静定系统。静不定系统：凡是根据平衡方程不能确定全部未知 约束力或内力的结构或者结构系统。第12章 简单的静不定系统 12.2 简单静不定问题 求解静不定问题，需要以下三方面的联立。平衡方程、变形协调方程、物理方程 12.2 简单静不定问题 yxFN2FN1FP 一、拉压静不定问题 12.2 简单静不定问题 FPABDFN3 12.2 简单静不定问题 yxFN2FN1FP CFPABD变

4、形协调方程：物理关系FPE3A3l3 E1A1l1CABDE2A2l2已知：E1A1=E2A2、l1l2 ； E3A3、l3 AFPDl3Dl1 Dl2 12.2 简单静不定问题 将物理关系代入变形协调条件得到补充方程为：平衡方程、补充方程联立，得(拉力)(拉力) 12.2 简单静不定问题 装配应力：在静不定结构中，由于制造、装配不准确，在 结构装配好后不受外力作用即已存在的应力。ABDABDh加工构件时，尺寸上的微小误差难以避免。对于静定结构，加工误差只 会造成结构几何形状的轻微 变化，不会引起内力。对静不定结构，加工误 差往往要引起内力。 12.2 简单静不定问题 温度应力：在静不定结构中

5、，由于温度变化引起的变形受 到约束的限制，因此在杆内将产生内力和应力，称为温度 应力和热应力。温度变化将会引起物体的膨胀或收缩。对于静定结构，温度均匀变 化时，不会引起内力。对静不定结构，温度变 化时往往要引起内力。 12.2 简单静不定问题 安装木地板为防止 装配应力、温度应 力的处理办法二、扭转静不定问题 12.2 简单静不定问题 图中所示为两端固定的圆轴AB，全轴扭转刚度相同。在截面C处 承受绕轴线的扭转力偶作用，力偶矩Me 为已知。试求：两固定端的 约束力偶矩。 2l/3A AB BMeMeMAMAMBMBl/3C C解：1平衡方程A ABMeMeMAMAMBMBC C 12.2 简单

6、静不定问题 2l/3A ABMeMeMAMAMBMBl/3C C2变形协调方程3物理方程4解联立方程解：1. 确定静不定次数，并选择基本静定梁。多余约束的数目=1 6.6 简单的静不定梁 (2)简支梁(1)悬臂梁选择合适的多余约束， 将其除去，使静不定结构变 为静定结构，在解除约束处 代之以约束力。化为静定结构的办法：一般来说，悬臂梁最为简单，其次是简支梁，最后为外 伸梁。 BAlqBlAqBlAq 例题7三、简单的静不定梁 2. 列出变形协调方程（几何方程）。根据基本静定梁的一 切情况要与原超静定梁完 全相同的要求，得到变形 协调条件。 6.6 简单的静不定梁 BAlqBlAqBlAq 例题

7、7(1)悬臂梁：3. 根据物理方程（用积分法或叠加法求变形），列出补充 方程，并求出多余未知力。 仅有作用，B点挠度为：仅有 作用，B点挠度为：因此解得： 6.6 简单的静不定梁 BlAq 例题74. 根据平衡方程在基本静定梁上求出其余的约束力。（ ） 6.6 简单的静不定梁 (1)悬臂梁：BlAq 例题7(+) (-)因此5. 在基本静定梁上按照静定梁的方法求解内力、应力和变形。 6.6 简单的静不定梁 BlAq 例题7BlAq处理具体问题时的注意点讨论：讨论：求解简单静不定求解简单静不定 梁的步骤梁的步骤 确定静不定次数，并选择基本静定梁。 列出变形协调方程。 根据物理方程（用积分法或叠加

8、法求变形），列出补充 方程，并求出多余未知力。 根据平衡方程在基本静定梁上求出其余的约束反力。 在基本静定梁上按照静定梁的方法求解内力、应力和变形。力法：以力作为未知量,将位移表示为力的形式，从而求 解未知力，进而求解位移的方法。BAlq第12章 简单的静不定系统 12.3 对称性与反对称性在求解静 不定问题中应用 若结构的几何形状、尺寸、构件材料及约束条 件都对称于某一轴，则这样的结构称为对称结构（ symmetric structure）。在不同的荷载作用下，对称结构可能产生对称变形 、反对称变形或一般变形。正确而巧妙地应用对称性和反对称性，不仅可 以推知某些未知量，而且可以使分析、计算过

9、程大 为简化。 12.3 对称性与反对称性在求解静不定问题中应用 当对称结构承受对称荷载时，其约束力 、内力分量以及位移都是对称的。一、一、对称结构的对称变形对称结构的对称变形 12.3 对称性与反对称性在求解静不定问题中应用 对称结构对称结构 的对称变形的对称变形FPFPABEFCD结构对称轴 12.3 对称性与反对称性在求解静不定问题中应用 位移对称对称结构对称结构 的对称变形的对称变形ABEFCD结构对称轴FPFPFAxFBxFAyFByMAMB 12.3 对称性与反对称性在求解静不定问题中应用 约束力对称对称结构对称结构 的对称变形的对称变形FPFAxFAyMAFPFBxFByMBFX

10、1FX1FX2FX2FX3FX3 12.3 对称性与反对称性在求解静不定问题中应用 内力对称当对称结构承受反对称荷载时，其上的 约束力、内力分量以及位移都具有反对称的 特征。二、二、对称结构的反对称变形对称结构的反对称变形 12.3 对称性与反对称性在求解静不定问题中应用 对称结构的对称结构的 反对称变形反对称变形FPFPEDABC结构对称轴 12.3 对称性与反对称性在求解静不定问题中应用 位移反对称对称结构的对称结构的 反对称变形反对称变形FPFPEDABC结构对称轴FAxFBxFAyFByMAMB 12.3 对称性与反对称性在求解静不定问题中应用 约束力反对称FX1FX1FX2FX2FX

11、3FX3CFPDAE FPBCFAxFBxFAyFByMAMB对称结构的对称结构的 反对称变形反对称变形 12.3 对称性与反对称性在求解静不定问题中应用 内力反对称ABDCABDCMMMM对称还是反对称？对称还是反对称？思思 考考FPEDABC结构对称轴三、三、对称结构的一般变形及其简化对称结构的一般变形及其简化 12.3 对称性与反对称性在求解静不定问题中应用 EDAB对称结构的一般变形对称结构的一般变形EDAB EDABFP/2FP/2FPFP/2FP/2 12.3 对称性与反对称性在求解静不定问题中应用 第12章 简单的静不定系统 12.4 力法与正则方程 力法：以力作为未知量，而将位

12、移均表示为力的形 式，从而解出未知力，进而亦可解得位移。 12.4 力法与正则方程 位移法：如以位移作为未知量，而将未知力均表示 为未知位移的形式，从而通过求解未知位移来求解 未知力。 12.4 力法与正则方程 正则方程：在力法中，反映多余约束处位移受到限制 的变形条件可以写成规则的未知力的线性方程组。对于一个n次静不定系统，则有n个多余约束力（ 包括外约束力与内约束力），这些未知力分别用X1， X2， ， Xn表示。ABCFPABCX1FPX2 12.3 力法与正则方程 X1FPX21P2P1X12X11X22X2 12.3 力法与正则方程 1FP1 12.3 力法与正则方程 第12章 简单

13、的静不定系统 12.5 能量法在求解静不定问题中的应用 图乘法的应用 12.6 能量法在求解静不定问题中的应用 例题1平面刚架受力如图所示, 各杆的弯曲刚度均为EI，不 考虑剪力和轴力的影响。试：画出弯矩图。FPABCll 12.6 能量法在求解静不定问题中的应用 X1X2ABC解：1、判断结构是静定的还是静不定的，确定静不定次数FAxFAyMAFPABC 12.6 能量法在求解静不定问题中的应用 2、建立基本静定系统X1X2ABCFP 例题13、根据变形协调条件，写出正则方程FPABCX1X2ABCFP 12.6 能量法在求解静不定问题中的应用 例题14、建立荷载系统与单位荷载系统，画出相应

14、的弯矩图FP11FP lllll 12.6 能量法在求解静不定问题中的应用 5、应用图乘法计算正则方程中的位移1lll1lFP lFP2l/3l 12.6 能量法在求解静不定问题中的应用 2l/35、应用图乘法计算正则方程中的位移1lll1l2l/3l 12.6 能量法在求解静不定问题中的应用 （位移互等定理 ）6、将位移代入正则方程并求解联立方程 12.6 能量法在求解静不定问题中的应用 7、画出弯矩图ABCFPFP 00 12.6 能量法在求解静不定问题中的应用 应用应用“ “图乘法图乘法” ”求解静不定问题的步骤求解静不定问题的步骤 判断问题的性质与静不定次数 建立基本静定系统 建立正则

15、方程（根据变形协调条件）。 建立荷载系统与单位荷载系统，画出相应的弯矩图 用图乘法计算各个荷载引起的位移 求解全部多余约束力 画出内力图 处理具体问题时的注意点 卡氏定理的应用 12.6 能量法在求解静不定问题中的应用 将解除多余约束后所出现的未知力均作为已知量 ，从而写出结构的应变能表达式，以只有弯矩和扭矩 作用的情形为例： 根据多余约束处的约束条件，应用卡氏定理即可建 立求解这些多余约束力的变形协调方程： 12.6 能量法在求解静不定问题中的应用 上述方程中i0是对刚性约束而言的；对于弹性 约束， i也可能不为零，而等于某一常量。 12.6 能量法在求解静不定问题中的应用 应用“卡氏定理”

16、求解静不定问题的步 骤1判断问题的性质与静不定次数2确定合适的基本静定系统3建立相当系统。4建立变形协调条件。 12.6 能量法在求解静不定问题中的应用 5分段建立弯矩方程，并求出偏微分。6用卡氏定理计算每一个荷载引起的位移。 7求解全部多余约束力。8画出内力图。 例题2平面刚架受力如图 所示,各杆的弯曲刚度均 为EI，不考虑剪力和轴 力的影响，试画出弯矩 图。（用卡氏定理求解 ）FPABCll 12.6 能量法在求解静不定问题中的应用 X1X2ABC解：1、原系统为二次静不定，建立下图相当系统FP 12.6 能量法在求解静不定问题中的应用 FPABCll2、比较相当系统与静不定系统，根据变形协调要求写出正则方程FPABCX1X