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1、简谐振子与自由实标量场的正则量子化张宏浩从拉格朗日量到运动方程正则动量、勒让德变换与哈密顿量正则等时对易关系平面波展开平面波展开的逆变换，产生、湮灭算符之间的对易关系哈密顿量与真空能筒谐振子与由实标量场的E则量子化a张宏浩从拉格朗日量到运动方程简谐振子自由实标量场田发点拉格朗日量拉格朗日量密度1T11E=二(9J(6“9-二5绍5030(0“9)2(这里取质量为1经典运动方程师欧拉-拉格朗日方程画欧拉-拉格朋目方程41一L。3695E2,二可得455“皂56奶5=-eozg卵0,0“9=-mi#即5+mg=0(6+m2)9=0正则动量、勒让德变换与哈密顿量自由实标量场正则动最(密度正则动量密度
2、定义为Z()万=一一人)【滋(x)0哈密顿量(寇度通过勒让德变换得到通过勒让德变换得到L哈密顿量密度:2WC0=zC#Cr-cCn)=妾:+量(v沟三+皇濑正则等时对易关系简谐振孔自由实标量场正则量孔化引入正则对易关系:9.p1-1(联页二1)g,g从统景(万标5)到海森堡绘景(上标H:07(0=egre(/)一e蛐/)罩e_】则有正则等时对易关系:g*oup*t=ig*0g*0J=0=p2(0,p2(J引入正则等时对易关系:bCx0.z(yo(bCx0,A(yy=0=r(x0,z(y,川平面波展开平面波履开(借立叶变换)行渡描子自由实标最场作年面洛展开(注意远曰是升桥7余平面洛展开,详设c1
3、le01x=I3(口帅刊g=raen)Gyzav+o-doe则则zGx)=Cx0)PY(0=9700)一|gCiagjeQlernn。Cio)_oree(叫-orloecin/扁(ae町波展开的逆变换,产生、湮灭算符之间的对易关系简谐振孔自由实标最场迎变可反解出满灭、产生算笛为定义:人aee=一eg+ip*t爪G一ee75P&5775E1则可求得孝owo-poaQo=才gyic05bCm)09=-才yiCn54(n)其中招8=400,8)-(0,48的寿由上面两式以及g2(0),p(0)之间的对易关系可得aa=0oa=0=o,a由上面两式以及(x.0).z(y,0)一ACy,0)之间的对易关系可得ala“kJJ=(2zP6“(k-k0aflakJ=0=ao(k)a(kJ一渡技自由实标最场哈密啪室枝量是哚宣桥量是顿重用产=m+_历=I_(“、【(k)(k)+E生、源窑寅共中的真空能是达I(2)2这里的不是三续定间的总体秦
