概率论与数理统计第一章4

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1、3 条 件 概 率一 条 件 概 率二 乘 法 定 理三 全概率公式和贝叶斯公式目 录 索 引3条件概率退 出前一页后一页目 录一、条 件 概 率3条件概率设A、B是某随机试验中的两个事件，且则称A在“B已发生”这一附加条件下的 概率为在B发生的下A的条件概率， 简称为在B之下A的条件概率，记为1）条件概率的定义：退 出前一页后一页目 录n将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反方面的 情况,设事件A为“至少有一次为正面朝上”，事 件B为“两次掷出同一面”，求已知事件A 已经 发生的条件下事件B发生的概率例 1(1):两台机器加工同一种零件共100个，结果如下 合格品数 次品数 总计 第一台机器加工

2、数 30 5 35 第二台机器加工数 50 15 65 总 计 80 20 1003条件概率设A=产品合格B=第一台机器加工的产品 解：退 出前一页后一页目 录练习：全年级有100名学生，男生有80名，女生20名；北 京籍的有20名，其中有12名男生，8名女生；如果A =“北 京籍的学生” ； B =“男生” （1）试求出P（A）、P(B) 、 P（A/B）、P（ B / A ）、 P（AB），并解释它们的含义。 （2）P（ A / B）和P（AB）、P（ B ）的关系如何 ？ 解:(1) P（A）=20/100, P(B) =80/100, P（A/B）=12/80P（ B / A ）=12

3、/20 , P（AB）=12/100 .(2) P（A/B）=12/80=注：可以看出，在“事件B已发生” 这附加条件的 事件A概率与不附加这个条件的概率是不同的 但有称为在B已发生的条件下A的条件概率， 简称为A在B之下的条件概率。设A、B是某随机试验中的两个事件，且则因此，有下面的定义：退 出后一页2）条件概率的性质：3条件概率退 出前一页后一页目 录退 出前一页后一页目 录 一盒子装有4只产品，其中有3只一等品，1 只二等品，从中取产品两次，每次任取一 只，作不放回抽样，设事件A为“第一次取 到的是一等品”，B为“第二次取到的是一等 品”，试求条件概率P（ B / A ） 例1.17 某

4、种动物出生后活到20岁的概率为 0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20 岁的这种动物活到25岁的概率。 解 设A表示事件“活到20岁以上”，B表示事 件“活到25岁以上”，显然 在计算条件概率时,一般有两种方法: (1) 由条件概率的公式; (2) 由P(B|A)的实际意义,按古典概型计 算.二、乘法公式由条件概率的定义我们得这就是两个事件的乘法公式3条件概率1）两个事件的乘法公式：退 出前一页后一页目 录2）多个事件的乘法公式则有这就是n个事件的乘法公式 退 出前一页后一页目 录 例：设袋中有r只红球，t只白球，每次自袋 中任取一只球，观察颜色然后放回，并再 放入a只与所取出的那只

5、球同色的球，若在 袋中连续取球四次，试求第一、二次取到 红球，且第三、四次取到白球的概率 练习： 袋中有一个白球与一个黑球，现每 次从中取出一球，若取出白球，则除把白 球放回外再加进一个白球，直至取出黑球 为止求取了n 次都未取出黑球的概率则由乘法公式，我们有退 出前一页后一页目 录退 出前一页后一页目 录例 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为 1/2 ，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为 7/10 ,若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为 9/10 。求透镜落下三次而未打破的概率。解：以 Ai ( i=1,2,3 ) 表示事件“透镜第 i 次落下打破”，以 B 表

6、示事件“透镜落下三次而未打破”，有：退 出前一页后一页目 录三、全概率公式和贝叶斯公式SA1A2An.BA1BA2.BAn定义 设 S 为试验 E 的样本空间，为 E 的一组事件。若满足(1)(2) 则称 为样本空间 S 的一个有限划分或完备的事件组 3条件概率退 出前一页后一页目 录1）全 概 率 公 式：设随机事件3条件概率退 出前一页后一页目 录全概率公式的证明：由条件：得而且由A1A2An.BA1BA2.BAnS3条件概率退 出前一页后一页目 录全概率公式的证明（续）所以由概率的可加性，得得3条件概率退 出前一页后一页目 录例 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品 ，已知三家工

7、厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2， 且三家工厂的次品率分别为2、1、3，试求市场 上该品牌产品的次品率。 解 设B：买到一件次品；A1：买到一件甲厂的产品；A2：买到一件乙厂的产品；A3：买到一件丙厂的产品。例某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率解：由全概率公式，有第一章 概率论的基本概念退 出前一页后一页目 录例1.2.5 市场上某种商品由三个厂同时供货,其供应量为: 甲厂是乙厂的2倍,乙、丙两

8、个厂相等,且各厂产品的次品 率分别为2%,2%,4%,求市场上该种商品的次品率.(1) 设Ai表示取到第i 个工厂产品,i=1,2,3,B表示取到次品,由题意得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25, P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04由全概率公式得:即市场上该种商品的次品率为 2.5%.解 练习 某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的 次品最多不超过4件，且具有如下的概率： 一批产品中的次品数 0 1 2 3 4 概 率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1现进行抽样检验，从每批中随机抽取10件来检验，若发现其中 有次

9、品，则认为该批产品不合格。求一批产品通过检验的概率 。解 设A表示事件“一批产品通过检验”，Bi(i=0,1,2,3,4)表示“一 批产品含有i件次品”，则B0,B1, B2, B3, B4组成样本空间的一个划 分， 贝叶斯（Bayes）公式设随机事件 对以往数据分析结果表明,当机器调整得良 好时,产品合格率为98%,而当机器发生故障 时,其合格率为55%,每天早上机器开动时, 机器调整良好的概率为95%,试求已知某日 早上第一件产品合格时,机器调整得良好的 概率是多少? 发报台分别以概率0.7及0.3发出信号“.” 和“ -”；由于干扰，当发报台发出“.”信号时， 收报台分别以0.89及0.11的概率收到“.”和“ -”；而当发报台发出“-”时，收报台分别 以0.92及0.08的概率收到“-”和“.” ；求 （1） 当收报台收到“.”信号时，发报台的 确发出“.”的概率。 (2)当收报台收到“-”信号时，发报台的确 发出“-”的概率。 练习 每箱产品有10件,其中次品数从0到2是等可能的.开箱 检验时,从中依次抽取两件(不重复),如果发现有次品,则拒 收该箱产品.试计算:(1)一箱产品通过验收的概率;(2)已知该 箱产品通过验收,则该箱产品中有2个次品的概率.(1) P(B)= P(A0)P(B|A0) +P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)