课01(0.1-0.3 信号分析与dft)

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1、 数字图象处理技术数字图象处理技术高等学校规划教材图像信息研究所1 主要内容 预备知识：常用信号及特性，傅里叶变换，卷积与相关；线性系统分析视觉特性，图像评价 图像数字化原理：图像的表示；采样与量化 数字图像的线性处理：二维离散卷积与相关；离散傅氏变换；离散余弦变换；其它可分离变换* 图像增强：灰度修改技术；图像平滑与锐化；伪彩色与假彩色图像增强 图像压缩编码：统计编码；预测编码；变换编码；国际标准 图像恢复与重建*： 图像退化模型；无约束恢复；有约束恢复；几何失真校正；投影重建2 主要参考书目 刘榴娣等.实用数学图像处理.北京：北京理工大学出版社,1998 章毓晋.图像处理与分析.北京：清华

2、大学出版社，1999 K.R.Castleman . Digital Image Processing .Prentice Hall , Inc ., 1996 (影印版.清华大学出版社，1998；中译本.电子工业出版社， 1998） 容观澳.计算机图像处理.北京：清华大学出版社，2000 周新伦.数字图像处理.北京：国防工业出版社, 1996 3 目录+ 预备知识 线性系统基本理论+ 第一章 图像数字化原理+ 第二章 数字图像的线性处理+ 第三章 图像增强+ 第四章 图像压缩编码+ 第五章 图像恢复与重建4预备知识：信号与线性系统基础0.1 常用信号及特性0.2 傅立叶变换0.3 快速傅立叶

3、变换(FFT)0.4 卷积与相关0.5 线性系统分析上级目录50.1 常用信号及特性上级目录0.1.1 单位阶跃函数0.1.2 单位冲激函数0.1.3 二维冲激函数60.1.1 单位阶跃函数 定义：单位阶跃函数，是 处不连续的符号函数，定义如下 ：波形例如 作用：可用来表示一个信号的定义域。 用于表示(或定义)单边指数函数、门函数等信号。上级目录70.1.2 单位冲激函数（定义） 定义： 又称狄拉克函数或 函数，用 表示。它是一种通过积分性质定义的符号函数。定义如下：函数在 处面积(或强度)为1； 时处处为0。波形函数可由矩形窄脉冲的极限描述例子之一上页80.1.2 单位冲激函数（性质）取样概

4、念 性质：(1) 筛选性质：上页取样是基于 函数的一个重要概念。(2)卷积性质：下列积分定义为 函数与 的卷积：90.1.2 单位冲激函数（性质）卷积服从交换律：(3) 偶函数：简单证明：上页函数 与 的卷积是 自身。进一步有：100.1.2 二维冲激函数（定义）上页 定义： 一般地，定义在 处的二维冲激函数为：当 时，110.1.2 二维冲激函数（性质）筛选卷积偶对称推广记作 性质：上页120.1.2 二维冲激阵列 二维冲激阵列在图像数字化中，该阵列又 称“冲激采样阵列”。S(x,y)是(x,y)平面内无穷个相距( 、 )的冲激函数 组成的阵列。其中， 、 为空间取样间隔。 上级目录130.

5、2.1 连续信号的傅立叶变换0.2.2 周期信号的傅立叶变换0.2.3 一维离散傅立叶变换（DFT）0.2 傅立叶变换上级目录140.2.1 连续信号的傅立叶变换（1）上页（1）非周期信号的一维傅里叶变换定义反变换傅氏变换存在的条件正变换傅氏变换是一种积分变换，定义如下：充要条件 绝对可积，即FTFT-1150.2.1 连续信号的傅立叶变换（2）物理意义 一般为复函数，可表示为其中， 模相位若为 实函数，则 是 的偶函数； 是 的奇函数， 这时反变换可写成： 解释160.2.1 连续信号的傅立叶变换（3）反变换定义 二维傅氏变换定义如下：变换对 其中， 空间坐标变量；沿 轴方向的空间频率分量。

6、正变换上页（2）二维连续傅里叶变换对u,v的理解FTFT-1170.2.2 周期信号的傅立叶变换设一维周期信号 ： 周期 ；角频率 其傅氏级数（指数形式）为其中，傅氏系数一般为复数，可进一步表示为为 的振幅频谱（离散谱）； 为 的相位频谱 。上页180.2.2 周期信号的傅立叶变换现对级数展开式两边取傅氏变换： 可以证明最后得到:例题 求周期冲激序列 的傅氏变换。例题FT FT FTFT190.2.3 一维离散傅氏变换（DFT）正变换反变换变换对定义 设 为N点一维离散函数，离散实变量定义一维离散傅里叶变换：上页DFTIDFT200.2.3 一维离散傅氏变换（DFT）一般为复函数，可以写成式中

7、 ： 的傅里叶频谱函数；或上页 的傅里叶相位函数。210.3.1 FFT的必要性0.3.2 FFT的基本思想0.3.3 基2按时间抽取算法0.3.4 算法特点0.3.5 其他快速算法0.3 快速傅立叶变换（FFT）上级目录22FFT是DFT的高效、快速算法。0.3.1 FFT的必要性返回DFT运算量：设 也为复函数，并将 写成如下形式：可以看出：计算 1个 值： 实乘 次，实加 次；计算 个 值： 实乘 次，实加 次。设 (n为正整数)； (权函数复数)，则DFT可表示为 ：230.3.2 FFT的基本思想上页将长度为N的离散序列 逐次分解为若干短序列,计算各短序列的DFT,再进一步组合为N点

8、DFT。 N点序列2点变换N/2 点变换N/2 点序列2点序列 N点DFT分解组合240.3.2 FFT的基本思想上页在实现FFT过程中,权函数WN 起着重作用。WN 的主要特性：权函数WN 的周期性是导出FFT算法的一个关键因素；N 的高复合性是实现FFT算法的一个重要条件。 周期性 对称性250.3.3 基-2时间抽取算法上页l 对N点序列 f (x) 进行奇、偶分解并求N/2点DFT 4 分解与变换 由奇、偶子序列计算F(u)，其中u=0,1, (N/2)-1 4另一半N/2点DFT 计算Fu+(N/2)l 由两个N/2点DFT组合为一个N点DFT 4 组合 将F(u)和Fu+(N/2)

9、组合为N点DFT 4 举例 设N=8，由两个4点DFT组合成 8 点DFTl 继续奇、偶分解，直至计算2点DFT为止 4 再分解 对N/2点、 N/4点序列继续奇、偶分解并求DFT4 2点DFT 一个2点DFT直接为两个输入值的蝶形运算 4 综合 例：N=8点FFT流程图(蝶形组合图)260.3.4 算法特点一次蝶形运算 1 次2 次N点DFT总运算量 运算量：复乘 复加 直接运算 同址计算：输入数据与每级运算结果可共用存储单元（新数 “冲”老数） 整序：输入序列以“乱序”方式存入存储单元（因奇、偶分解所致），输出按自然顺序排列，可直接按序输出。必须对输入数据进行整序处理即由自然序变成“奇-偶

10、序”。上页270.3.5 其他快速算法返回 基-2频率抽取法 输入信号按序存储； 输出变换序列“乱序”排列，需进行整序特点： 任意基数的FFT算法将输入序列分为前后两部分，然后对 进行奇、偶分解，其它方法同时间抽取法。 28单位阶跃函数的作用单位阶跃函数的作用门函数宽度为、幅度为1的矩形脉冲单位阶跃函数表示(或定义)单边指数函数、门函数：单边指数函数返回29:矩形窄脉冲的极限矩形窄脉冲的极限矩形窄脉冲的极限（例子之一）返回30取取 样样 概概 念念 单点取样： 周期取样：利用周期冲激序列实现周期取样：返回定义周期性冲激序列（Ts取样周期）31的偶对称性的偶对称性由于返回而由 的取样性质：比较以

11、上二式可得：32傅里叶变换的物理意义傅里叶变换的物理意义返回无限求和正弦波分量“幅度”（密度函数）频率分量相位分量结论：一个非周期信号，可以分解为无穷多个不同频率的正 (余)弦分量之和。其中： 称为 的频谱函数；称为 的相位函数。33变量变量u u、v v的意义的意义下页其中， 出现最大值的位置是 ：过 坐标原点的一条直线与 (x , y) 轴截距为的一条直线由于34变量变量u u、v v的意义的意义下页对对根据式中，OA空间周期；空间频率 。设两条平行线之间的距离为OA，当 取不同值时，可得到 (x , y) 坐标中无限条平行直线。35变量变量u u、v v的意义的意义返回由此得到， x轴空

12、间周期分量；ux轴空间频率分量； y轴空间周期分量；vy轴空间频率分量。应为 的空间频谱。这说明， 是由无穷个空间频率的二维正弦分量组合而成， 即为各正弦分量的幅度。36例例 题题（周期信号的傅氏变换）（周期信号的傅氏变换）下页例题 求周期冲激序列 的傅氏变换。解：已知其中傅里叶系数由周期信号傅氏变换式可得式中，DFT37例例 题题（周期信号的傅氏变换）（周期信号的傅氏变换）返回令最后得到 可见, 的傅氏变换仍是周期序列,其频域周期和强度均为 。FT38WN 的周期性返回特别有(周期为N/2 )N = 23 = 8(周期为N )周期性例如： N=8下页39WN的对称性返回N = 23 = 8例

13、如：N=8特别有其中 ：对称性(复对称)40序列的奇、偶分解与序列的奇、偶分解与变换变换下页 变换：计算F(u)其中 ：注：为简化计算，式中暂不计入系数(1/N) 分解：对N点序列 ，令奇子序列偶子序列41奇、偶子序列的奇、偶子序列的DFTDFT返回F(u) 是奇、偶两个子序列变换 G(u) 与 H(u) 的加权和。 结果 ：上式只计算了 0u(N/2)-1（即N/2个）F(u)值，还必须 计算另一半（即 N/2uN-1）的F(u)，然后再进行组合。 注意 ：下页42计算另一半计算另一半N N/2/2点点DFTDFT返回由于 计算 ：下页43两个两个N N/2/2点点DFTDFT组合一个组合一

14、个N N点点DFTDFT返回两次复乘一次复乘 组合： 计算流程：蝶形运算下页44N N = = 8 8 ，两个两个4 4点点DFTDFT的的组合组合返回点 (4点) DFT 点 (4点) DFT 例 设N = 8，由两个4点DFT组合成 8 点DFT流程图 下页45N N/ /2 2点分解为两个点分解为两个N N/ /4 4点点返回设N=8。对G(u)的分解计算过程如下： 每个N/2点DFT分解为两个N/4点DFTN /4 点 (2点) DFTN /4 点 (2点) DFT下页46 2点DFT直接表示为一个基本的蝶形运算2 2点点DFTDFT基本的蝶形运算基本的蝶形运算返回例如N=8，其中第一个N/4点的变换即为2点DFT变换值直接是两 个输入的代数和基本的蝶形运算下页47N N = = 8 8 点点FFTFFT流程图流程图 返回 综合： N=8点FFT流程图48输入整序输入整序码位倒置码位倒置自然序号 二进制表示 倒置二进码 码位倒置顺序0 000 000 01 001 100 42 010 010 23 011 110 64