《高数课件3-6导数在经济上的应用举例》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数课件3-6导数在经济上的应用举例（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.7 导数在经济中的应用一. 边际分析与弹性分析二.函数最值在经济中的应用Date作者：郭健4.7 导数在经济中的应用导数在工程、技术、科研、国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用. 下面介绍导数(或微分)在经济中的一些简单的应用.边际和弹性是经济学中的两个重要概念. 用导数来研究经济变量的边际与弹性的方法, 称之为边际分析与弹性分析.一. 边际分析与弹性分析Date作者：郭健1.边际函数定义1 经济学中, 把函数(x)的导函数 称为(x)的边际函数. 在点x0的值 称为(x)在 x0 处的边际值(或变化率、变化速度等).Date作者：郭健在经济学中, 通常取x =1, 就认
2、为x达到很小(再小无意义). 故有实际问题中, 略去“近似”二字, 就得(x) 在 x0 处的边际值 .经济意义: 即当自变量 x 在 x0 的基础上再增加一个单位时, 函数 f(x) 的改变量.例1 某机械厂, 生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件, 假设日产品的总成本 C(元)与日产量 x (件)的函数为Date作者：郭健求: (1)日产量75件时的总成本和平均成本;解 (1)日产量75件时的总成本和平均成本(2)当日产量由75件提高到90件时, 总成本的平均改变量C(75)/75 = 106.08 (元/件)(2)当日产量由75件提高到90件时, 总成本的平均改变量;(3)当日产
3、量为75件时的边际成本.C(75) = 7956.25(元) Date作者：郭健(3) 当日产量为75件时的边际成本注 当销售量为x, 总利润为L=L(x)时, 称 为销售量为x时的边际利润, 它近似等于销售量为 x 时再多销售一个单位产品所增加或减少的利润.例2 某糕点加工厂生产A 类糕点的总成本函数和总收入函数分别是 求边际利润函数和当日产量分别是200公斤, 250公斤和300公斤时的边际利润. 并说明其经济意义.Date作者：郭健解 (1)总利润函数为L(x) = R(x) C(x)边际利润函数为(2)当日产量分别是200公斤、250公斤和300公斤时的其经济意义: 当日产量为 200
4、公斤时, 再增加1公斤, 则总利润可增加1元. 当日产量为 250公斤时, 再增加1边际利润分别是公斤, 则总利润无增加. 当日产量为300公斤时, 再增加1公斤, 则反而亏损1元.Date作者：郭健结论: 当企业的某一产品的生产量超越了边际利润的2.弹性弹性是用来描述一个经济变量对另一个经济变量变化时, 所作出反映的强弱程度. 即弹性是用来描述一个量对另一个量的相对变化率的一个量.,反而使企业无利可图.零点时 Date作者：郭健定义2 若函数 y =(x)在点 x0 0 的某邻域内有定义, 分别为自变量 x 与 (x) 在点 x0 处的相对增量.则称 x 和 y 分别是 x 和 y 在点x0
5、 处的绝对增量, 并称定义3 设 y =(x)当时, 极限则称极限值为函数 f (x) 在 x0 点处的弹性, 记为Date作者：郭健由弹性定义可知(1)若 y = (x)在点 x0 处可导. 则它在 x0 处的弹性为 (3)弹性是一个无量纲的数值, 这一数值与计量单位无关.的经济意义是：在x0 处, 当 x 发生1的改变,(4)弹性函数为则(x)就会产生的改变. 时，x 与y 的变化方向相同(相反) .Date作者：郭健例3 当a、b、k为常数时, 求下列函数的弹性函数及在点 x = 1处的点弹性, 并阐述其经济意义. (1)的经济意义是: 函数(x)在 x = 1处, 当b 0时, x 增
6、加(或减少)1%, 当b 0)或降价(p 0)将使收益减少;(2)若 (称为低弹性)时, 则 R 与 p 同号. 此时, 降价(p 0)将使收益增加;从而有结论:(3)若 (称为单位弹性)时, 则 . 此时, 无论是降价还是提价均对收益没有明显的影响.Date作者：郭健由此对例4而言: 当 p = 4时, (低弹性), 当 p = 4.35 时, (单位弹性), 此时, 降价、提价对收益没有明显的影响;当 p = 5 时, (高弹性), 此时降价使收益增加; 提价使收益减少.此时降价使收益减少; 提价使收益增加;Date作者：郭健例5 某商品的需求量为2660单位, 需求价格弹性为1.4.若该
7、商品价格计划上涨8%(假设其他条件不变), 问该商品的需求量会降低多少?解 设该商品的需求量为Q, 在价格上涨时的改变量为课后考虑: 用类似方法, 对供给函数、成本函数等常用经济函数进行弹性分析, 以预测市场的饱和状态及商品的价格变动等.且Q = Q 2660Date作者：郭健二.函数最值在经济中的应用在经济管理中, 需要寻求企业的最小生产成本或制定获得利润最大的一系列价格策略等. 这些问题都可归结为求函数的最大值和最小值问题.下面举例说明函数最值在经济上的应用.1.平均成本最小例6 某工厂生产产量为 x (件)时, 生产成本函数(元)为求该厂生产多少件产品时, 平均成本达到最小? 并求出其最
8、小平均成本和相应的边际成本. Date作者：郭健解且驻点唯一.唯一的极小值点.平均成本达到最小，且最小平均成本为.Date作者：郭健2.最大利润设总成本函数为C(x), 总收益函数为R(x), 其中 x 为产量, 则在假设产量和销量一致的情况下, 总利润函数为L(x) = R(x) C(x)而边际成本函数为时, 相应的边际成本为显然最小平均成本等于其相应的边际成本.Date作者：郭健假设产量为 x0 时, 利润达到最大, 则由极值的必要条件和极值的第二充分条件, L(x0)必定满足:可见, 当产量水平 x = x0 使得边际收益等于边际成本时, 可获得最大利润.Date作者：郭健例7 某商家销
9、售某种商品的价格满足关系p = 7 0.2x(万元/吨), 且 x 为销售量(单位:吨)、商品的成本函数为(1)若每销售一吨商品, 政府要征税 t (万元), 求该商家获最大利润时的销售量;(2) t 为何值时, 政府税收总额最大.解 (1)当该商品的销售量为x时, 商品销售总收入为设政府征的总税额为T, 则有T = t x, 且利润函数为C(x) = 3x + 1(万元)Date作者：郭健(2)由(1)的结果知, 政府税收总额为显然当 t = 2时, 政府税收总额最大. 但须指出的是:为了使商家在纳税的情况下仍能获得最大利润, 就应使 x = 5/2(4 t) 0 即 t 满足限制0 t 4
10、.显然 t = 2 并未超出t 的限制范围.是使商家获得最大利润的销售量 .且驻点唯一.得驻点Date作者：郭健例8 某家银行, 准备新设某种定期存款业务. 假设存款量与利率成正比, 经预测贷款投资的收益率为16%, 那么存款利息定为多少时, 才能收到最大的贷款纯收益?3.最佳存款利息解 设存款利率为 x, 存款总额为M, M = k x ( k 是正常数 )则由题意 M 与 x 成正比, 得Date作者：郭健若贷款总额为M, 则银行的贷款收益为故当存款利率为8%时, 可创最高投资纯收益.而这笔贷款 M 要付给存户的利息为 从而银行的投资纯收益为0.16M = 0.16k x Date作者：郭
11、健解 设每年的库存费和定货的手续费为C, 进货的批为x, 则批量为 个, 且4.最佳批量和批数例9 某厂年需某种零件 8000个, 现分期分批外购, 然后均匀投入使用(此时平均库存量为批量的一半). 若每次定货的手续费为40元, 每个零件的库存费为4元. 试求最经济的定货批量和进货批数.驻点 x = 20Date作者：郭健因而当进货的批数为 20 批, 即定货批量为 400 个时, 每年的库存费和定货的手续费最少最经济.企业在正常生产的经营活动中, 库存是必要的, 但库存太多使资金积压、商品陈旧变质造成浪费. 因此确定最适当的库存量是很重要的.故驻点为极小值点.Date作者：郭健欲求 的现在值
12、 的问题称为贴现(率)问题. 则一年结算m次, t 年末的贴现净额为5.最优决策时间准备知识: 设A0 为初始本金(称现值), r为年利率, 按连续复利计算, t 年末的本利和记作At (称总收入). 则当年结算m次时, 就有从而有连续复利公式 与此相反, 经济学中把已知未来值为 , 贴现率也为r.按连续复利计算, 得 t 年末的贴现净额为(也称为贴现公式)Date作者：郭健例10 某酒厂有一批新酿的好酒, 如果现在(假定t=0)就出售, 售价为 (元). 如果窖藏起来待日按陈酒价格出售解 设这批酒窖藏 t 年整, 售出总收入的现值为L 则按照贴现公式得(假设不计储藏费), 那么未来总收入R 就是时间 t 的函数假设资金的贴现率为 r, 并以连续复利计息, 为使总收入的现值最大, 应在何年出售此酒?Date作者：郭健故 时, L(t)在该点达到最大值, 即储藏年限为收入的最大现值： 比如 r = 0.10, 则 t = 25, 即此酒商应将此酒窖藏 25 年. 两端求导，得得唯一不可导点(整年)时, 是最佳销售时间，可见, 利率(贴现率)越高窖藏期越短.Date作者：郭健小结：导数的应用作业：复习Date作者：郭健
