[理学]广义逆简介

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1、广义逆简介广义逆的思想可追溯到 1903 年弗雷德霍姆(E. I. Fredholm)的工作，他讨论了关于积分算子的一种 广义逆(他称之为伪逆)。1904 年，希尔伯特(D. Hilbert)在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微 分算子的广义逆。而任意矩阵的广义逆定义最早是 由摩尔(E. H. Moore)在 1920 年提出的，他以抽象 的形式发表在美国数学会会刊上。当时人们对此似 乎很少注意，这一概念在以后 30 年中没有多大发 展，只有曾远荣在 1933 年，默里(F. J. Murray)和 冯诺伊曼(John von Neumann)在 1936 年对希尔伯 特空间中线性算子的广义

2、逆作过一些讨论。20 世纪 50 年代围绕着某些广义逆的最小二乘 性质的讨论重新引起了人们对这个课题的兴趣。 1951 年瑞典人布耶尔哈梅尔重新发现了穆尔所定义 的广义逆，并注意到广义逆与线性方程组的关系； 1955 年，罗杰彭罗斯(Roger Penrose)利用四个矩 阵方程给出广义逆矩阵的新的更简便实用的定义， 并证明了广义逆的惟一性；1956年，拉多(R. Rado) 证明了彭罗斯定义的广义逆与穆尔定义的广义逆是 等价的。此后，广义逆矩阵的研究进入了一个新的 时期，其理论和应用得到了迅速发展，成为矩阵论 的一个重要分支。广义逆矩阵的理论和方法不仅是许多数学 分支的基本工具，在经济学、统

3、计学、测量学 、最优化、信息处理、自动控制、工程技术和 运筹学等应用学科中，也都有着广泛的应用。 特别是在研究最小二乘问题，长方、病态线性 、非线性问题，无约束、约束规划问题，控制 论和系统识别问题，网络问题等等中间，广义 逆更是一个不可或缺的研究工具。弗雷德霍姆介绍Erik Ivar Fredholm，瑞典数学家。积分方程 理论的创始人之一。弗雷德霍姆 1866 年 4 月 7 日生于斯德哥尔 摩，1927 年 8 月 17 日卒于同地。1886 年进乌 普萨拉大学，18881893 年在斯德哥尔摩大学 学习。1898 年获乌普萨拉大学物理博士，开始 研究积分方程。1899 年，他提出弗雷德

4、霍姆型 积分方程，并认为它的解可表为两个整函数的 商。1900 年，他的论文关于解决狄利克雷问 题的新方法对今称的第二种弗雷德霍姆积分 方程的核，建立了弗雷德霍姆行列式和弗雷德 霍姆一阶子式，并证明了它们都是整函数，还给出了一个定理（即弗雷德霍姆第二定理）。 第一定理是他 1903 年发表的论文关于一类泛 函方程中的重要结果。他一生仅发表过几篇 论文，但内容丰富，引人注目，他的许多工作 引起了后来的 D. 希尔伯特等人的研究。返回希尔伯特介绍希尔伯特(David Hilbert，18621943)，德 国著名数学家。希尔伯特于 1900 年 8 月 8 日在巴黎第二届 国际数学家大会上，提出了

5、新世纪数学家应当 努力解决的 23 个数学问题，被认为是 20 世纪 数学的制高点，对这些问题的研究有力推动了 20 世纪数学的发展，在世界上产生了深远的影 响。希尔伯特领导的数学学派是 19 世纪末 20 世纪初数学界的一面旗帜，希尔伯特被称为“数 学界的无冕之王”。(著名的哥德巴赫猜想也是问题之一，以陈 景润为代表的中国数学家获得了重大突破，但 还没有彻底解决。) 希尔伯特逸事 返回摩尔介绍摩尔(Eliakim Hastings Moore，18621932 年)，芝加哥大学第一任数学系主任。1892 年，石油大王洛克斐勒捐助的芝加哥 大学成立，这是美国数学史上的一件大事。第一任数学系主任

6、摩尔(Eliakim Hastings Moore，18621932年)是耶鲁大学的毕业生， 他和那一代的许多美国数学家一样，游学过德 国，深受当时数学界中心哥丁根大学的世纪级 数学家 Klein(18491925 年)的影响。1893 年芝 加哥举行世界博览会，芝加哥大学趁机发起国 际数学会，从欧洲六国请来数学家与会。Klein 也应邀参加，并在会后假西北大学做了一连串 的学术演讲。国际数学会与 Klein 的演讲轰动整个美国数 学界，芝加哥大学很快就变成美国的数学重镇 。 Moore 本身的研究非常出色，但更重要的是 他教出了许多更出色的学生，其中最有名的是 Dickson(1874195

7、4年，研究数论与群论)、 Veblen(18801960年，研究几何学)及G. D. Birkhoff(18841944年，研究分析学)。日后他 们分别在芝加哥大学、普林斯顿大学及哈佛大 学带动研究，使这三个地方成为二十世纪上半 叶美国的数学重镇，而他们本身的研究也是世 界级的。美国的数学水平就在他们这一代与欧洲先 进国家并驾齐驱，他们的学生也不必再到欧洲 游学了。 返回曾远荣介绍曾远荣(19031994)，国立中央大学教授， 数学家，我国泛函分析第一代著名学者。 曾远荣字桂冬，1903 年 10 月生，四川南溪 人。出生 8 个月父曾绍芬弃独子而逝，9 岁又丧 母，自幼住外婆家。1919 年

8、 7 月曾远荣在成都 考取了清华学校留美预备部后，一直读到 1927 年 8 月去美国留学，先后在芝加哥大学、普林 斯顿大学、耶鲁大学学习研究数学。1930 年在 芝加哥大学获硕士学位，1933 年获博士学位。5 月回国，8 月受聘为中央大学教授。1934 年 8 月至 1942 年 7 月一直任教于清华大学。1942 年 秋至 1945 年 7 月被成都燕京大学聘为客座教授 。19451950 年任四川大学数学系教授、系 主任，1949 年底成都解放，他被委派为校管会 常委兼理学院院长。1950 年 2 月中央大学改名 为国立南京大学，受数学系主任孙光远教授之 聘回南京大学任教，直到 199

9、4 年 2 月 2 日逝于 南京。他在南大讲过线性变换、近世代数、实 变函数、泛函分析等多门课程，他常开新课， 大多自编教材。返回罗杰彭罗斯介绍罗杰彭罗斯(Roger Penrose)爵士，出生于 1931 年 8 月 8 日，是英国数学物理学家，牛津 大学数学系的 W. W. Rouse Ball(罗斯玻勒)名 誉教授。 罗杰彭罗斯在数学物理方面的工作拥有 高度评价，特别是对广义相对论与宇宙学方面 的贡献。他也是娱乐数学家与具争议性的哲学 家。罗杰彭罗斯是科学家里昂内彭罗斯 (Lionel S. Penrose)与玛格丽特雷瑟斯与 (Margaret Leathes)的儿子，为数学家奥利弗

10、彭罗斯(Oliver Penrose)与西洋棋大师强纳森彭 罗斯(Jonathan Penrose)的兄弟。1955 年，当他还是学生之时，彭罗斯重新 发明了广义逆矩阵(又称作摩尔彭罗斯广义逆 )。参见罗杰彭罗斯 “A Generalized Inverse for Matrices”，Proc. Cambridge Phil. Soc. 51， 406-413，1955。1958 年，彭罗斯在剑桥大学知名代数学家 与几何学家约翰陶德(John A. Todd)指导下获 得博士学位；其博士论文题目为代数几何学 中的张量方法(Tensor methods in algebraic geometr

11、y)。1965 年在剑桥大学，彭罗斯与物理 学家史蒂芬霍金证明了奇点(例如黑洞)可以 从毁坏中的巨星体的引力坍缩现象中形成。1967 年，彭罗斯发明了扭量理论，将闵可夫斯 基空间中的几何物体映射到 4 维复数空间，此空间 度规标志为(2, 2)。1969 年，他推测出宇宙审查假 设(cosmic censorship hypothesis)。这项提案(相当 非正式地)指出了宇宙阻挡我们了解奇点(例如黑洞 )内禀的不可预测性，以其被遮掩在我们视线之外 ，这个形式现在称作弱审查原理(weak censorship hypothesis)。1979 年，彭罗斯建构了更强的形式， 称作强审查原理(st

12、rong censorship hypothesis)。加 上 BKL 猜想与非线性稳定性问题，使得审查猜想 成为广义相对论中最重要的未决问题之一。罗杰彭罗斯以其于 1974 年发现彭罗斯铺砖 法著称，它能以两种砖片非周期性地铺满整个 平面。他最重要的贡献可能是他在 1971 年发明 了自旋网络，尔后在圈量子引力论中成为构成 时空几何的基础。他在推广通称为彭罗斯图的 因果图方面也颇具影响力。 返回希尔伯特轶事 1. 以希尔伯特命名的数学名词多如牛毛， 有些连希尔伯特本人都不知道。比如有一次希 尔伯特曾问系里的同事“请问什么叫做希尔伯特 空间？”2. 在 1916 年，埃米诺特这位卓有才华的青

13、年妇女来到哥廷根大学。希尔伯特对她的学识 倍加欣赏，立即决定让她留下来当讲师，辅助 相对论的研究工作。但当时歧视妇女的现象相 当严重，希尔伯特的建议遭到语言学、历史学等教授们的强烈反对。希尔伯特拍案而起， 大声疾呼：“先生们，这里是学校，不是澡堂！”3. 他的一位学生买了一部车，后来不幸死 于一场车祸。在葬礼上，死者家属请希尔伯特 老师说几句话，于是他说：“小克劳斯是我学生 当中最优秀的，他生前在数学方面，具有非同 凡响的天分。他对数学问题的非常广泛，诸如 ”他暂停了一会儿，然后说：“考虑单位区间 上一组可微函数，然后去它们的闭包” 国外几位很可乐的牛人 Gorthenideck(格罗坦狄克)

14、在取得最辉煌成 就时突然发现他的数学远远超出他的时代，于 是一怒之下回老家去做了农民。Galois(伽罗华)仅学习数学 5 年已经彻底解 决了高次根式解的难题，提出了可解群预子式 的设想，天才之中的天才，21 岁时为了一个女 人和人决斗身亡，是早逝天才里最年轻的一位 。Graham(葛理翰)说：“我知道一数论学家 ，他仅在素数的日子和妻子同房，在月初，这 是挺不错的，2，3，5，7；但是到月终的日子 就显得难过了，先是素数变稀，19，23，然后 是一个大的间隙，一下子就蹦到了 29，” Hilbert(希尔伯特)的讨论班上，一个年轻人 报告，其中用了一个很漂亮的定理，Hilbert 说“ 这真

15、是一个妙不可言的定理呀，是谁发现的？” 那个年轻人茫然的站了很久，对Hilbert说：“是 你.”。希尔伯特于 1900 年 8 月 8 日在巴黎第二届 国际数学家大会上，提出了新世纪数学家应当 Hilbert(希尔伯特)写的第一篇关于 Dirichlet(狄 利克雷)原理的文章，希望Fredholm(弗雷德霍姆 )能够欣赏，但是Fredholm根本就没看；F. Riesz(F.里斯)写了很多文章，希望 Hilbert 能够 欣赏，但是 Hilbert 根本就没看；M. Riesz(M. 里 斯)写了很多文章，希望 F. Riesz 能够欣赏，但 是 F. Riesz 根本就没看因果循环。La

16、grange(拉格朗日)曾经预见了 Cauchy(柯西) 的天才，苦心的告诫 Cauchy 的父亲，一定不要让 Cauchy 在十七岁之前接触任何数学书籍，这个有点 像当年某些人不让张无忌学武功。Gauss(高斯)中年的时候，妻子病的一塌糊涂 ，不过他还是专心自己的研究。在妻子的弥留之际 ，他还是没有去她的身旁，保姆实在看不下去，就 去 Gauss 做研究的地方去找他说让他赶快过去， Gauss 随口答应了，但是依然做自己的东西。保姆 又来了一次，痛斥了他一番，岂知 Gauss 告诉她说 ：“我马上就过去，你让她再等一会” Kolmogorov(柯尔莫戈洛夫)总是以感激的 口气提到斯大林：“首先，他在战争年代为每一 位院士提供了一床毛毯；第二，原谅了我在科 学院的那次打架。”Kolmogorov 一次在选举会上 打了 Luzin(卢津)一个耳光，他说：“(打架)那 是我们常用的方式。”Luzin 在实变函数方面有 着很重要的贡