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1、求 导 法 则基本公式导 数微 分关 系高阶导数高阶微分第二章 导数与微分1、导数的定义导函数 注意：记为例题1.设存在，且则等于A. 1, B. 0, C. 2, D. 0.5 分析：导数定义的本质：练习：P43 第3题2、单侧导数左导数与右导数:在讨论分段函数在分段点的可导时，由于在分段点两侧表达式 可能不同，因此一般应从定义出发讨论其左、右导数。例. 见教材 P42 页例6例题2. 讨论在处的连续性与可导性. 分析： 所以在处连续 所以因此在处可导。题目的函数为：当时，所以因此从而在处可导。判断可导性的另一种方法：3、导数的几何意义： 函数在点处的导数表示曲线在点处切线的斜率。 曲线在点
2、处的切线方程为 法线方程为： 例 求曲线在点（2，8）处得切线方程和法线方程。解 在点（2，8）处的切线斜率为所以，所求切线方程为所求法线斜率为于是所求法线方程为4、导数与连续的关系 ：定理(函数可导的必要条件) ： 在点处可导在点处连续。可导连续，反之不一定 即函数连续是函数可导的必要条件， 但不是充分条件。 例子 见教材 P42 例题7，8例 函数在x=0连续但不可导，于是有可导一定连续，但是连续不一定可导。连续一定有极限，但是有极限不一定连续。因为例解练习：P43页第7题5、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）6、求导法则(1) 函数的和、差、积、商的求导法则(2) 反函数的求导
3、法则或注意： 与的区别表示复合函数对自变量 求导（3）.复合函数的导数： 复合函数求导关键在于正确地分解复合 函数，正确地运用复合函数求导法则。表示复合函数对中间变量 求导例求下列函数的导数 例 设，求解 例设，求解 首页上页下页(4) 隐函数求导法则隐函数求导法:方程两端同时对x求导,注 意在求导过程中要y=f(x)视为x的函数,即 把y视为中间变量。见 P53 页例3例 求由方程所确定的隐函数的导数解 方程两端对x求导数，得例 求椭圆在点处的切线方程.解 所求切线斜率为方程两边对x求导,得首页上页下页例 求由方程所确定的隐函数的二阶导数(5) 参变量函数的求导法则解： 曲线上对应t =1的
4、点（x, y)为（0,0）,曲线t =1在处的切线斜率为于是所求的切线方程为 y =x求曲线在t =1处的切线方程例例题：设，求(6) 对数求导法先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法 求出导数.适用范围:对数求导法适用于幂指函数 以及多因子乘积（或商）函数的导数 例. 见 P53 页例4，5，6首页上页下页两边对x求导数，得解： 两边取对数，得 例 求函数的导数.（7）抽象函数的求导法则7、高阶导数记作二阶导数的导数称为三阶导数,(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)求函数的高阶导数要根据求导的阶数的不同而选择不同的方法 。 1当只须求函数的2、3、4、5阶导数时，通常选择先求出函数
5、的一阶导数，再求出函数的二阶导数，这样一阶接一阶求下去 ， 直至求出所求阶导数的方法。 2当所求的阶数比较高（超过五、六阶）时，通常先求出函数 的一至四或五阶导函数从中寻找出高阶导函数表达式规律， 再应用数学归纳法求出函数的高阶导。或者利用常见函数的 高阶导公式及高阶导运算法则求出高阶导数。例求的n阶导数.解 一般地，可得例解 求的阶导数.一般地，可得首页上页下页例求的阶导数.解 一般地，可得上页下页练习：P51 2(1) (4) (5)8、微分(微分的实质)（1）微分的定义（2）、导数与微分的关系定理（3）、 微分的求法求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.（4）基本初等函数的微分公式函数和、差、积、商的微分法则（5）、 微分的基本法则微分形式的不变性例.求函数的微分(2)例. 设求分析 ：是R上的可导函数，但由于乘积因子过多，直接 应用乘积函数求导法则或对数求导法则很麻烦。此时可试用 导数定义。解：方法一 方法二 分析函数的表达式特点及求导点为 令 ,其中 则故
