《[理学]上海大学2011级概率论与数理统计第8章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[理学]上海大学2011级概率论与数理统计第8章（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第八章 假设检验 1 假设检验的基本概念一、假设检验所解决的问题设总体的分布未知, 或分布形式已知但有些参数未知， 现要根据样本来推断总体的分布或未知参数。这一过程 称为假设检验。假设检验可分为参数检验和非参数检验.解决此类问题的方法是：先提出关于总体参数或分布的 某种假设 ，然后定出一个“判别标准”，再把样本值 与“判别标准“作对照，在一定的可信度下,做出对所提 出的假设 是接受，还是拒绝的推断。我们先来看两个例子例1：在摇奖之前要先检验摇奖机是否正常，现让摇奖机摇出200个数，得到如下结果 号码： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 出现次数：25 18 21 22 17 23 20
2、 16 18 18问：摇奖机是否正常 这就是分布检验问题。例2：某车间用一台包装机包装糖果，包的袋装糖 重量是一个随机变量，它服从正态分布。当机器正 常时，其均值为0.5公斤，标准差为0.015公斤，一 次开工后为检验包装机是否正常，随机地抽取它所 包装的糖5袋，称得其重量为（公斤）：0.497 0.505 0.520 0.525 0.487 问机器工作是否正常这是参数检验问题。我们知道 是 的无偏估计， 的观察值 的大小在一定程度上可以反映 的大小，当 为真时 与 的偏差 不应太大；如果很大就有理由怀疑 的真实性。那么大到什么程度时我们就拒绝呢？需要定出一个“判别标准”即给出一个数 k,当
3、时就拒绝 , 否则就接受. 那怎样确定 k 呢?先讨论例2的参数检验即对于事先给定的一个小概率 ，要使得犯错误的概率,由分位点的定义可知, 这样就得到了判别标准,只要比较 若 ，就拒绝 ，否则就接受。为了计算的方便，我们选取 k ， 当时，我们就有理由怀疑假设 的正确性。 但按照这样的判别标准，我们也可能会犯“弃真”的错误 即 为真,但由于抽样的随机性导致 发生，由此我们拒绝了 .我们希望把犯错误的概率控制在小范围例如在本例中取 ，则有 ，又已知 ，再由给定的样本观察值算得 所以 ,即 所以就接受 , 即认为这天包装机工作正常。二、两类错误由于我们是根据一次抽样结果对假设作出判断的， 因此不可
4、避免地可能会犯以下两类错误： 1.事实是: 为真,但由于抽样的随机性导致 ,我 们就拒绝了 , 这称为第I类错误；这类错误是“弃真”的错 误,其概率可表示为 2.同样当 不真时，也可能因 而接受 ,我 们将这类错误称之为第II类错误；这类错误是“取伪”,该 错误的概率可表示为 注：两类错误是一对矛盾，即要减小犯第一类错误的概率，必然导致犯第二类错误概率的增大。若想同时减小犯这两类错误的概率，只能加大样本容量。如果我们在做假设检验时只考虑对犯第一类错误的概率加以控制，而不考虑犯第二类错误的概率，我们将这类假设检验称为显著性检验。即:对事先给定的小数 ,使得以这样的原则来确定”判别标准”.有关的几
5、个概念我们称 为原假设（或称零假设），而称 为备择假设（或称对立假设），称数 为显著性水平，称统计量 为检验统计量。当的值落在某个区域 中时，就拒绝原假设，这时称区域 为拒绝域，拒绝域的边界点为临界点。如上例的拒绝域为 为临界点。当 时, 称 有显著差异, 否则称两者差异不显著。三、单边检验我们将形如 的假设检验称为双边假设检验。或有时我们需要作的假设检验。通常称形如 的假设检验为右边检验；称形如 的假设检验为左边检验；我们把右边检验和左边检验统称为单边检验 。我们先考虑右边检验 的拒绝域如果 为真,则 不应很大,如果很大,即我们就有理由拒绝 ,同时我们也要把犯第一类错误的概率控制在 ,即由标
6、准正态分布的上 分位点的定义可知, 即当 或 时, 拒绝 ,否则就接受. 类似地可得左边检验 的拒绝域为 或四 , 假设检验与区间估计的关系 从以上的分析过程可以看到参数检验与上一章的参数 的区间估计有一些类似之处.首先两者解决的问题都是:总体分布形式已知,但其中有 些参数未知,要对参数作统计推断.但解决问题的方法是从两个不同的角度出发.与区间估计一样,参数检验主要也是讨论正态总体的情 况,对于非正态总体也是抽取大样本,再根据中心极限定 理近似为正态总体.例3：某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服从正态分布 ， ，现在用新方法生产了一批推进器，从中随机取 25 只，测得燃烧率的样本均值为 ，设
7、在新方法下总体均方差仍为 ，问用新方法生产的推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率有显著的提高？取显著性水平五、 假设检验的基本步骤1、根据实际问题的要求，提出原假设 和备择假设 ；2、给定显著水平 和样本容量 ；3、确定检验统计量；4、按 的原则，并由分位点的定义，求出拒绝域；5、取样，根据样本观察值作出是接受还是拒绝 的决策。2 单正态总体的假设检验一、单个总体均值的检验1、已知 ，关于 的检验（1） 双边检验双边检验问题为： 拒绝域为通常称这种检验为 检验法。（2）单边检验右边检验问题：在显著水平为 下的拒绝域为左边检验问题：在显著水平为 下的拒绝域为2、 未知，关于 的检验（1）
8、 双边检验双边检验问题为：在显著水平为 下的拒绝域为通常称这种检验为 检验法。由于 未知, 与区间估计类似,我们用检验统计量:（2） 单边检验右边检验问题：在显著水平为 下的拒绝域为左边检验问题：在显著水平为 下的拒绝域为举例例1：为检验某种含有特殊润滑油的容器的容量是否为10公升，随机抽取10个容器，测得其容量为： 10.2 9.7 10.1 10.3 10.1 9.8 9.9 10.3 10.4 10.3 设容器的容量服从正态分布；在显著水平为 下，检验这批容器的容量是否符合标准？例2：某种元件的寿命 （以小时计）服从正态分布， 未知，现测得16只元件的寿命为：159 280 101 21
9、2 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170问是否有理由认为元件的平均寿命大于225（小时 ）, 取 二、 单个总体方差的检验双边检验问题：取 作为检验统计量.如果 为真,如果 或 就有理由拒绝1、双边假设检验则: (1) ; (2) 既不应太大又不应太小.通常取由上 分位点的定义知在显著水平为 下的拒绝域为或通常，称这种检验法为 检验法。注意：只有当上面两个不等式都不成立时才能接受2、单边假设检验右边检验问题：拒绝域的形式为：由上 分位点的定义：所以在显著水平为 下的拒绝域为左边检验问题：在显著性水平为 下的拒绝域为例1:某种产品的寿命服
10、从正态分布,在正常情况下标准差应为0.048,某天抽查了5件该产品,测得寿命为: 1.32 1.55 1.36 1.40 1.44在 =0.05水平下,检验该天产品的寿命的方差是否显著增大.例2： 某厂生产的某种型号的电池，其寿命（以小时计）长期以来服从方差为 的正态分布，现有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命的波动性有所改变。现随机取26只电池，测出其寿命的样本方差 。问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往有显著的变化（取显著水平 ）？一、 两个正态总体均值差的检验1、 方差 已知的情形(1) 双边检验双边检验问题为：首先找一个检验统计量, 由第5章知:3 双 正态总体的假设
11、检验且 的无偏估计,所以当 为真时:(1) 不应很大;(2) 在显著性水平为 下的拒绝域为所以根据 的原则和分位点的定义（2） 单边检验右边检验问题：在显著水平为 下的拒绝域为左边检验问题：在显著水平为 下的拒绝域为2、方差 未知且相等的情形（1） 双边假设检验双边检验问题：在显著水平为 下的拒绝域为（2）单边检验右边检验问题：在显著水平为 下的拒绝域为左边检验问题：在显著水平为 下的拒绝域为有时常常要检验如下问题：这是问题：当 时的一种特殊情形。例1：甲、乙两车间生产的产品的寿命都服从正态分布，且方差相等，现分别抽取容量为8和4的样本，测得：甲产品：79.98;80.04;80.02;80.04;80.03;80.03;80.04;79.97;乙产品：80.02;79.94;79.97;79.98; 试检验：甲产品的平均寿命显著大于乙产品的平均寿命。 （显著性水平取0.05）二、两个总体的方差检验1、双边假设检验
