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1、24.1.4 圆周角复习旧知:请说说我们是如何给 圆心角下定义的,试回答?顶点在圆心的角叫圆心角。考考你:你能仿照圆心角的定义,给下图中象ACB 这样的角下个定义吗?顶点在圆上,并且两边都和圆 相交的角叫做圆周角 问题探讨 : 判断下列图形中所画的P是否为圆周角?并说明理 由。PPPP不是是不是不是顶点不 在圆上 。顶点在圆上 ,两边和圆 相交。两边不和 圆相交。有一边和圆 不相交。 当球员在B,D,E处射门时 ,他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角 ABC, ADC,AEC.这 三个角的大小有什么关 系?.BACDE生活实践 EOBDCA你能发现什么规律?AC所对的圆周角 AEC ABC
2、 ADC的大小 有什么关系?画一个圆,再任意画一个圆周角,看一下 圆心在什么位置?圆心在一边上圆心在角内圆心在角外 如图,观察圆周角ABC与圆心角AOC,它们的大 小有什么关系? 说说你的想法,并与同伴交流.OABCOABCOABC1.首先考虑一种特殊情况: 当圆心(O)在圆周角(ABC)的一边(BC)上时,圆周角 ABC与圆心角AOC的大小关系. AOC是ABO的外角, AOC=B+A.OA=OB,OABCA=B.AOC=2B.即 ABC = AOC.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 2.当圆心(O)在圆周角(ABC)的内部时,圆周角 AB
3、C与圆心角AOC的大小关系会怎样?过点B作直径BD.由1可得:O ABC = AOC.ABCDABD = AOD,CBD = COD,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.ODABC过点B作直径BD.由1可得: ABC = AOC.ABD = AOD,CBD = COD,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 3.当圆心(O)在圆周角(ABC)的外部时,圆周角 ABC与圆心角AOC的大小关系会怎样?结论:圆周角的定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对 的圆周角相等,都等于这条弧所对 的圆心角的一半。结论: 圆周角的定理:在同圆或等圆中,同弧或等
4、弧所对 的圆周角相等,都等于这条弧所对 的圆心角的一半。ACB的度数与它所对的弧AB的度数有什么关系?分析:连接OA,OB,AB=AB C=1/2AOB ACB的度数等于它所 对的弧AB的度数的一半.规律: 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半 当球员在B,D,E处射门时,他 所处的位置对球门AC分别形 成三个张角ABC, ADC,AEC.这三个角的大 小有什么关系?.BACDE生活实践 EOBDCA规律:都相等,都等于圆心角AOC的一半AC所对的圆周角 AEC ABC ADC的大小有什么关系?结论:同弧或等弧所对的圆周角相等。在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等, 它们所对弧一定相等吗?为什
5、么?在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等巩固练习: 如图,点A,B,C,D在同一个圆上,四 边形ABCD的对角线把4个内角分成 8个角,这些角中哪些是相等的角?ABCD1 2345678问题1:如图,AB是O的直径,请问: C1、C2、C3的度数是 。ABOC1C2C3推论:半圆(或直径)所对的 圆周角是直角;90的圆周角 所对的弦是直径。 问题2: 若C1、C2、C3 是直角,那么AOB是 。90180探究与思考:ABC1OC2C3归纳:定理在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半定 理半圆(或直径)所对的圆周 角是直角;90的圆周角所对
6、的弦是直径在同圆或等圆中,相等的圆周 角所对的弧相等推 论如果一个四边形 的所有顶点都在 同一个圆上,那么这个圆叫做这个四边形的外接圆。什么是圆内接四边形?这个四边形叫做圆内接四边形猜想:圆内接四边形的对角有什么关系呢? 证明猜想思路:在一般的圆内接四边形中,如果把圆心O与一组对顶点A、C分别相连,能得到什么结果呢? D+B= D= ,B=ABCDO如果延长BC到E,那么A与 DCE 会有怎样的关系呢?DCEBCD 180又 A BCD 180ADCE我们把A叫做DCE的内对角。因为A 是与DCE相邻的内角DCB的对角 ,CODBAECODBA1234如图:根据刚才的结论 我们可以得到哪些角相
7、 等呢?2_3_4_1_BCDDABABCCDA几何表达式:(如图) 四边形ABCD内接于O A+C=180,B=1 DABC1EO圆内接四边形定理: 圆的内接四边形的对角互 补,并且任意一个外角等 于它的内对角 练一练1、如图,在O中,ABC=50, 则AOC等于( ) A、50; B、80; C、90; D、100ACBOD2、如图,ABC是等边三角形, 动点P在圆周的劣弧AB上,且不 与A、B重合,则BPC等于( ) A、30; B、60; C、90; D、45CABPB练一练3、如图,A=50, ACB=60 BD是O的直径,则AEB等于( ) A、70; B、100; C、90; D
8、、120B4、如图,ABC的顶点A、B、C 都在O上,C30 ,AB2, 则O的半径是 。ACBODECA BO解:连接OA、OB C=30 ,AOB=60 又OA=OB ,AOB是等边三角形 OA=OB=AB=2,即半径为2。25.如图,你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗?你有多 少种方法?与同学交流一下DAB COOO方法一方法二方法三方法四AB练 习第二课时 应用 回顾:圆周角定理及推论? 思考:判断正误: 1.同弧或等弧所对的圆周角相等( ) 2.相等的圆周角所对的弧相等( ) 3.90角所对的弦是直径( ) 4.直径所对的角等于90( ) 5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30( )例
9、 如图,O直径AB为10cm,弦AC为6cm,ACB的平分 线交O于D,求BC、AD、BD的长又在RtABD中,AD2+BD2=AB2,解:AB是直径, ACB= ADB=90在RtABC中,CD平分ACB,AD=BD.例题3.求证:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个 三角形是直角三角形(提示:作出以这条边为直径的圆.)ABCO求证: ABC 为直角三角形.证明:CO= AB,以AB为直径作O,AO=BO,AO=BO=CO.点C在O上.又AB为直径,ACB= 180= 90.已知:ABC 中,CO为AB边上的中线, 且CO= AB ABC 为直角三角形.课本 练 习课堂练习 1.如
10、图,OA、OB、OC都是O的半径, AOB=2BOC,ACB与BAC的大小 有什么关系?为什么?2.如图,A、B、C、D是O上的四个点,且 BCD=100,求BOD( 所对的圆心角) 和BAD的大小。探究 3、如图,AB是O的直径,BD是O的弦,延长BD 到点C,使DC=BD,连接AC交O于点F,点F不 与点A重合。 (1)AB与AC的大小有什么关系?为什么? (2)按角的大小分类,请你判断ABC属于哪一类 三角形,并说明理由。ACBDFOABC是锐角三角形解:(1)AB=AC 。证明:连接AD又DC=BD,AB=AC。 (2)ABC是锐角三角形。由(1)知,B=C90 连接BF,则AFB=90 ,A90 AB是直径,ADB=90,拓展练习如图,点P是O外一点,点A、B、Q是O上的 点。(1)求证P AQB (2)如果点P在O内, P与AQB有怎样 的关系?为什么?