《[理学]大学数学教学论课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[理学]大学数学教学论课件（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学思维的品质侯新华v众所周知，在数学活动乃至一般的实践活动中，谁 都希望自己具有较强的思维能力，这主要取决于一个 人的思维品质思维的发生和发展，既服从于一般 的、普遍的规律性，又表现出个性差异，这种个性差 异体现在个体思维活动中的智力特征方面就是思维品 质，有时也称思维的智力品质 v由于数学本身及其研究方法的特点决定着数学思维 具有自己的一些特点，因此，本讲座将根据这些特 点，探讨几个就数学思维来说较为重要的思维品 质这些思维品质是深刻性、广阔性、灵活性、创新性、敏捷性以及批判性 一、思维的深刻性 v思维的深刻性经常地被称之为分清实质的能力 这种能力表现为能洞察所研究的每一事实的实质 及这些
2、事实之间的相互关系；v能从所研究的材料(已知条件、解法及结果)中揭 示被掩盖着的某些个别特殊情况；v能组合各种具体模式等 仔细分析这道题，发现它有两个本质特征根据异号两数相加，和的符号与绝对值较大的那个加 数相同思维的深刻性的反面是思维的肤浅性 v经常表现为只满足一知半解，对概念不求甚解；v考虑问题时，不去领会问题的实质这反映在数学 学习中，往往对一些定理、公理不去思考它们为什 么成立？在什么条件下成立；v做练习时，照胡芦画瓢，不去领会解题方法的实质 错解二、思维的广阔性 v思维的广阔性是指思路宽广，善于多方探求不但 能研究问题的本身，而且又能研究有关的其它问题 v任何一个事物总不会都象一个球
3、，从每个角度看都 是一种形状而无变化；任何一个事物也总不会都象 一张白纸，看上去永远是一个平面而无层次应当 提倡立体思维，也就是多角度、多层次地思维v在数学学习中，应要求学生既把握数学问题的整体 ，抓住它的基本特征，又要求不忽略重要的细节和 特殊的因素，放开思路进行思考，解决问题 由本题的形式结构，学生的常用方法，进而联想到 重要不等式但运算非常繁锁(这种方法的具体步 骤从略) (1)与坐标平面上两点间距离公式形式相同； (2)与复数的模及其性 质的形式相同于是得到两 种解法： 法一：由联联想(1)，不妨设设点A(x1，y1)，B(-x2， -y2)，O(0，0)(如图图)， 在ABO中有|A
4、O|+|BO|AB|不等式(I)成立法二：由联联想(2)，设设z1=x1+y1i， z2=x2+y2i又已知对对任意复数z1，z2，有|z1+z2|z1|+|z2|不等式(I)成立这两种证明既简洁，又具有独到之处如果 经常这样训练，对开阔学生思路，活跃学生 思维大有裨益 1是最简单的数字。而把它因题而异地作各种 各样的变式，常会给解题带来方便。例如；1 可以表示为故事v在二次世界大战中，在英国的军营里流行着这样 一道数学题：用且只用四个4，利用数学符号写 一个等式，使其等于71.虽然当时战争打得很激 烈，但到二战结束时，此题的答案已有上百种。另外，在数学教学中，为了培养学生思维的广 阔性，还可
5、以运用解题思路，改变题目条件和结 论，使所学方法得到广泛应用 例如，在圆 上有动点P，圆内有一个定 点A(-2，0)，求线段AP中点的轨迹方程 解：引入参变量，利用中点坐标公式可以推导出 它的轨迹方程(略) 1、若把条件“圆”改为椭圆、双曲线、抛物线 ，或把已知曲线方程改为参数方程形式，解题 思路是相同的 2、若把条件“圆内有一个定点”改为圆外或圆上 ，解题思路也相同 3、若把结论“中点的轨迹方程”改为把线段AP分 成定比的分点的轨迹方程，解题思路仍基本相 同 通过这种变换和转化，可以扩大学生的视野，使 思维广阔所学的方法可得到广泛的应用 思维的广阔性的反面是思维的狭隘性，具体 表现为思考问题
6、时脑子经常放不开，跳不出条条 框框的束缚，思维处于封闭状态；在学生的数学 学习中经常表现为只是围着书本和教师转，或者 陷入题海之中，得不到主动发展长期下去必然 造成学生的思维的片面和狭隘，这对培养学生的 思维能力会带来很大的消极作用 三、思维的灵活性v思维的灵活性是指思维活动的灵活程度。v学生思维的灵活性主要表现在随着新条件而迅速确 定解题方向，或者随着条件变化而有的放矢地转化 解题方法；v也表现在随着新知识的掌握和经验的积累，而重新 安排已经学会的知识的能力上；v表现在从已知数学关系中看出新的数学关系、从隐 蔽的形式中分清实质的能力上 例3 8减6是2，8加6也是2，有这种可能吗？答：闹钟上
7、例1、有一个问题，不论你问到任何人，答 案都是“没有”，请问那是什么问题？答：你睡着了吗？例2、老张二十多年一直卖假货，为什么大家却 认为他是大好人？ 答：老张卖的是假发 v思维灵活性的反面是思维的呆板性v知识和经验经常被人们按着一定的、个人习惯的“现 成途径”反复认识这就产生了一种先入之见，使思 维倾向于某种具体的方法和方式，使人在解题过程 中总想遵循业已知道的规则系统这即是思维的 呆板性v思维的呆板性是发明和创造性活动的极大障碍。思 维的呆板性是部分学生思维的特点,表现为片面强调 解题的模式，缺少应变能力 v例如在解方程时，总是强调那些步骤：去分母、 去括号、移项、合并同类项等，于是，遇到
8、这样 的题： 学生也照这样的步骤去套，殊不知这个题可这样来 解： (x-1)(x-2)-(x-1)=0即(x-1)(x-3)=0 则求出x=1或x=3 四、思维的独创性 v思维的独创性是指思维活动的创造性精神，是在新 颖地解决问题中表现出来的智力品质。v学生思维独创性的具体表现： （1） 能独立地、自觉地掌握数学概念。 （2）发现定理的证明。 （3）发现老师课堂上讲过的例题的新颖解法等。分析：该题纯该题纯 从三角去考虑虑，是较较繁锁锁的如果 想到单单位圆圆上的点用数学方法解决物理问题似乎理所当然，但反过来用物理方法去解决数学问题却不太被人们重视，但对有些问题这样去做不仅解法新颖，具有创新性，而
9、且强化了各科之间的相互联系、互相渗 透这无疑是为培养思维独创性的优良品质提供锻 炼机会 思维的独创性是智力的高级表现。一年一度的国际数学奥林匹克竞赛是公认的数学殿堂，试题难度之高常常令不少专家也望而却步。然而从未出现过“空门”（即无人能解之题）。相反，每次都出现为命题者所始料不及、巧思独具的美妙解法，因此，竞赛奥委会专门为这些未来的数学精英设立了“特别奖”，以奖励那些思维独创性特强的优解者。例如：水池有甲、乙、丙、丁四根进水管，甲、 乙、丙三管同时打开，12分钟可注满水池；乙、丙 、丁三管同时打开，15分钟可注满水池；甲、丁两 管同时打开，20分钟可注满水池。如果四管同时打 开，需要多少时间可
10、注满水池？几乎所有学生都习惯地设未知数，列出方程组 去解题。但有一个学生迅速地给出了答案：10分 钟。他的解题思路是：两个甲管、两个乙管、两个丙管、两个丁管同时打开一分钟，可注满水池的 ，所以甲、乙、丙、丁四管同时打开一分钟可注满水池的十分之一。因此，注满水池需10 分钟。思维的独创性的反面是思维的保守性 v它的主要表现是在数学学习中受到各种条条框框的 限制，思维落俗套而受束缚，不愿多想问题，只求 现成的“法规”，而产生思维的惰性v消除思维保守性的有效方法是提倡学生多思和多问 几个为什么，教师在加强基础知识与基本训练的前 提下，要提倡学生独立思考 五、思维的敏捷性v思维的敏捷性指思维过程中的简
11、缩性和快速性v在数学学习中，思维的敏捷性主要表现为能缩短运 算环节和推理过程，“直接”得到结果v具有这一思维品质的人在处理问题和解决问题的过 程中，能够适应迫切的情况来积极地思考，并迅速 地作出判断 例如，学生刚学完两数和的平方公式以后，解这样一道题：(x+y+z)(x+y+z)= ？ 这时思维迟钝的学生可能仍按照多项式的乘法规则 来做，显得非常繁锁而思维敏捷的学生可能一下 子就能得到：其实在这种运算过程中省略了许多运算环节请看 详细过程： 应该指出，思维的敏捷性是通过练习而产生经 过练习，从中总结经验，即可提高思维的概括性克 鲁捷茨基的研究表明，推理的缩短取决于概括，“能 立即进行概括的学生
12、，也能立即进行推理的缩短” 六、思维的批判性 v思维的批判性是指思维活动中善于严格地估计思维 材料和精细地检查思维过程的思维品质思维的批 判性品质是思维过程中自我意识作用的结果 v学生思维的批判性表现为具有一种趣向(和能力)， 即愿意进行各种方式的检验，检验已经得到的或正 在得到的粗略结果，检验归纳、分析和直觉的推理 过程；v还表现为善于找出和改正自己的错误，重新计算和 思考，找出问题所在v还表现为不迷信老师和课本，有分析地接受老师讲得一切， 凡事都要经过自己的头脑去思考，然后再作出判断。v要培养思维的批判性,就要训练”质疑，多问几个“为什么？ 、能行吗？，现在，数学许多课外读物和复习资料不尽
13、完 美，甚至是错误的。数学史上不少显赫成果都闪烁着天才们批判性 思想的熠熠光辉，许多前沿科学理论正是在“批判 ”旧理论中确立的。自几何原本问世以来，许 多数学家认为第五公设（平行公设）是多余的， 并想从前四条公设推出第五公设。2000多年过去 了，却一无所获。19世纪天才的俄国数学家罗巴 切夫斯基扬弃了前辈们走过的弯路，另辟奇径， 从反面引入相反的命题，他不懈地沿着这条与传 统思维方法截然相反的路子向前走，终于建立了 崭新的非欧几何罗氏几何。思维批判性的反面是无批判性，这也是许多中 学生的思维特点他们常常表现为轻易相信结论 ，不善于或不会找出自己解题中的错误为此， 在教学中经常出一些改错题，对
14、克服学生思维的 无批判性是有好处的比如经常进行类似于下面 的练习： 另外，在教学中经常提倡不要迷信书本、不要迷 信老师，凡事都用自己的头脑思考、有分析地接受 、有分析地批判，这些对提高学生思维的批判性无 疑大有益处 这六个方面的思维品质彼此相互联系，密不可分 ，处于有机的统一体中 其中思维的深刻性和广阔性分别从纵向和横向两 个角度表现出思维的品质，它们是一切思维品质的 基础思维的灵活性和独创性也是在思维的深刻性 和广阔性的基础上引伸出来的，思维的批判性是在 深刻性基础上发展起来的，思维的敏捷性是以思维 的其它几个方面品质为必要前提的，同时它又是其 它几个方面品质的具体表现因此，要想区分这些 思维品质中的哪些品质重要进而想给它们按重要性 排队，是非常困难的，而且从教学的观点看也未必 恰当
