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1、（带约束的）非线性 规划模型 1*非线性规划的基本解法非线性规划的基本概念非线性规划返回2定义 如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题就叫做非线性规划问题非现性规划的基本概念一般形式: （1）其中 ， 是定义在 En 上的实值函 数，简记:其它情况: 求目标函数的最大值或约束条件为小于等于零 的情况，都可通过取其相反数化为上述一般形式3定义1 把满足问题（1）中条件的解 称为可行解（或可行 点），所有可行点的集合称为可行集（或可行域）记为D即问题(1)可简记为 定义2 对于问题(1)，设 ，若存在 ,使得对一切 ，且 ，都有 ，则称X*是f(X)在D上的 局部极小值点（局
2、部最优解）特别地当 时，若 ，则称X*是f(X)在D上的严格局部极小值点（严格局部最优解）定义3 对于问题(1),设 ,对任意的 ,都有 则称X*是f(X)在D上的全局极小值点（全局最优解）特别地当时，若 ，则称X*是f(X)在D上的严格全局极小值点 （严格全局最优解）返回4非线性规划的基本解法SUTM外点法SUTM内点法（障碍罚函数法）1、罚函数法2、近似规划法返回3、库恩-塔克法5罚函数法罚函数法基本思想是通过构造罚函数把约束问题转化为一系列无约束最优化问题，进而用无约束最优化方法去求解这类方法称为序列无约束最小化方法简称为SUMT法其一为SUMT外点法，其二为SUMT内点法6其中T(X,
3、M)称为罚函数，M称为罚因子，带M的项称为罚项，这里的罚函数只对不满足约束条件的点实行惩罚：当 时，满足各 ，故罚项=0，不受惩罚当 时，必有 的约束条件，故罚项0，要受惩罚SUTM外点法7近似规划法的基本思想：将问题(3)中的目标函数 和约束条件 近似为线性函数，并对变量的取值范围加以限制，从而得到一个近似线性规划问题，再用单纯形法求解之，把其符合原始条件的最优解作为(3)的解的近似近似规划法每得到一个近似解后，都从这点出发，重复以上步骤这样，通过求解一系列线性规划问题，产生一个 由线性规划最优解组成的序列，经验表明，这样的序 列往往收敛于非线性规划问题的解。8近似规划法的算法步骤如下9返回
4、10用MATLAB软件求解,其输入格式如下:1. x=quadprog(H,C,A,b);2. x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq);3. x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB);4. x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0);5. x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0,options);6. x,fval=quaprog(.);7. x,fval,exitflag=quaprog(.);8. x,fval,exitflag,output=quaprog(.);1
5、、二次规划11例1 min f(x1,x2)=-2x1-6x2+x12-2x1x2+2x22s.t. x1+x22-x1+2x22x10, x20 MATLAB（youh1）1、写成标准形式：2、 输入命令：H=1 -1; -1 2; c=-2 ;-6;A=1 1; -1 2;b=2;2;Aeq=;beq=; VLB=0;0;VUB=;x,z=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB) 3、运算结果为：x =0.6667 1.3333 z = -8.2222s.t.121. 首先建立M文件fun.m,定义目标函数F（X）: function f=fun(X); f=F(
6、X);2、一般非线性规划其中X为n维变元向量，G(X)与Ceq(X)均为非线性函数组成 的向量，其它变量的含义与线性规划、二次规划中相同.用 Matlab求解上述问题，基本步骤分三步：133. 建立主程序.非线性规划求解的函数是fmincon,命令的基本格 式如下：(1) x=fmincon(fun,X0,A,b)(2) x=fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq)(3) x=fmincon(fun,X0,A,b, Aeq,beq,VLB,VUB)(4) x=fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,nonlcon) (5)x=fmincon(fun,
7、X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,nonlcon,options) (6) x,fval= fmincon(.)(7) x,fval,exitflag= fmincon(.)(8)x,fval,exitflag,output= fmincon(.)输出极值点M文件迭代的初值参数说明变量上下限141、写成标准形式： s.t. 2x1+3x2 6s.t x1+4x2 5x1,x2 0例2152、先建立M-文件 fun3.m:function f=fun3(x);f=-x(1)-2*x(2)+(1/2)*x(1)2+(1/2)*x(2)2MATLAB(youh2)3、再建立主程序youh
8、2.m：x0=1;1;A=2 3 ;1 4; b=6;5;Aeq=;beq=;VLB=0;0; VUB=;x,fval=fmincon(fun3,x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)4、运算结果为：x = 0.7647 1.0588fval = -2.0294 161先建立M文件 fun4.m,定义目标函数:function f=fun4(x); f=exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);x1+x2=0s.t. 1.5+x1x2 - x1 - x2 0-x1x2 10 0例32再建立M文件mycon.m定义非线性约束：func
9、tion g,ceq=mycon(x)g=x(1)+x(2);1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10;173主程序youh3.m为: x0=-1;1; A=;b=; Aeq=1 1;beq=0; vlb=;vub=; x,fval=fmincon(fun4,x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,mycon)MATLAB(youh3)3. 运算结果为：x = -1.2250 1.2250fval = 1.895118例4 1先建立M-文件fun.m定义目标函数:function f=fun(x);f=-2*x(1)-x(2);2再建立M文件mycon2
10、.m定义非线性约束：function g,ceq=mycon2(x)g=x(1)2+x(2)2-25;x(1)2-x(2)2-7; 193. 主程序fxx.m为:x0=3;2.5;VLB=0 0;VUB=5 10;x,fval,exitflag,output=fmincon(fun,x0,VLB,VUB,mycon2)MATLAB(fxx(fun)204. 运算结果为:x =4.00003.0000 fval =-11.0000 exitflag = 1 output = iterations: 4funcCount: 17stepsize: 1algorithm: 1x44 charfirs
11、torderopt: cgiterations: 返回21应用实例： 供应与选址某公司有6个建筑工地要开工，每个工地的位置（用平面坐标系 a，b表示，距离单位：千米 ）及水泥日用量d(吨)由下表给出。目 前有两个临时料场位于A(5,1)，B(2,7)，日储量各有20吨。假设从 料场到工地之间均有直线道路相连。（1）试制定每天的供应计划，即从A，B两料场分别向各工地运 送多少吨水泥，使总的吨千米数最小。（2）为了进一步减少吨千米数，打算舍弃两个临时料场，改建两 个新的，日储量各为20吨，问应建在何处，节省的吨千米数有多大 ？22（一）、建立模型记工地的位置为(ai，bi)，水泥日用量为di，i=
12、1,6;料场位置为 (xj，yj)，日储量为ej，j=1,2；从料场j向工地i的运送量为Xij。当用临时料场时决策变量为：Xij， 当不用临时料场时决策变量为：Xij，xj，yj。23（二）使用临时料场的情形使用两个临时料场A(5,1)，B(2,7).求从料场j向工地i的运送量 为Xij，在各工地用量必须满足和各料场运送量不超过日储量的 条件下，使总的吨千米数最小，这是线性规划问题. 线性规划模 型为：设X11=X1, X21= X 2, X31= X 3, X41= X 4, X51= X 5, X61= X 6 X12= X 7, X22= X 8, X32= X 9, X42= X 10
13、, X52= X 11, X62= X 12编写程序gying1.mMATLAB（gying1） 24计算结果为：x = 3.0000 5.0000 0.0000 7.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 4.0000 0.0000 6.0000 10.0000 fval = 136.227525（三）改建两个新料场的情形改建两个新料场，要同时确定料场的位置(xj,yj)和运送量 Xij，在同样条件下使总吨千米数最小。这是非线性规划问题 。非线性规划模型为：26设 X11=X1, X21= X 2, X31= X 3, X41= X 4, X51= X 5, X61
14、= X 6X12= X 7, X22= X 8, X32= X 9, X42= X 10, X52= X 11, X62= X 12x1=X13, y1=X14, x2=X15, y2=X16 （1）先编写M文件liaoch.m定义目标函数。MATLAB（liaoch）(2) 取初值为线性规划的计算结果及临时料场的坐标:x0=3 5 0 7 0 1 0 0 4 0 6 10 5 1 2 7; 编写主程序gying2.m.MATLAB（gying2）27(3) 计算结果为：x= 3.0000 5.0000 0.0707 7.0000 0 0.9293 0 0 3.9293 0 6.000010.0707 6.3875 4.3943 5.7511 7.1867 fval = 105.4626 exitflag = 128某厂向用户提供发动机，合同规定，第一、二、三季度末分别交货40台、60台、80台每季度的生产费用为 （元），其中x是该季生产的台数若交货后有剩余，可用于下季度交货，但需 支付存储费，每台每季度c元已知工厂每季度最大生产能力为100台，第一季度开始时无存货，设a=50、b=0.2、c=4，问工厂应如何安排生产计划，才能既满足合同又使总费用最低讨论a、b、c变化对计划的影响，并作出合理的解释练习 129练习 2返回30谢
