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1、1.4 有关条件概率的计算公式一、条件概率二、乘法公式三、全概率公式四、贝叶斯公式前面讨论了事件和概率这两个概念， 对于给定的一个随机试验，要求出一个指 定的随机事件AF 的概率P(A),需要花很 大的力气，现在将讨论继续引入深入，设 两个事件A,BF,则有加法公式条件概率 特别地，当特别地，当A,BA,B为互不相容的两个事件时为互不相容的两个事件时, ,有有 ，此时由此时由P(A)P(A)及及P(B)P(B)即即可求得可求得 ，但在一般情形下，为求得，但在一般情形下，为求得 因而很自然要问，能不能通过因而很自然要问，能不能通过P(A)P(A)，P(B)P(B)求得求得P(AB),P(AB),
2、先看一个简单的例子。先看一个简单的例子。例1.4.1 考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率一样, 则两个孩子（依大小排列）的性别分别是： （男，男），（男，女），（女，男），（女，女 ） 的可能性是一样的.解：若记A=随机抽取一个这样的家庭中有一男一女,则 但如果我们事先知道这个家庭至少有 一个女孩，则上述事件的概率为 .这两种情况下算出的概率不同，这也很容这两种情况下算出的概率不同，这也很容易理解，因为在第二种情况下我们多知道了一易理解，因为在第二种情况下我们多知道了一个条件个条件. . 记记B=B=这个家庭中至少有一个女孩这个家庭中至少有一个女孩 ，因此我们算得的概率是，因此我们算得的概率
3、是“ “在已知事件在已知事件B B发生的条发生的条 件下，事件件下，事件A A发生发生” ”的概率，这个概率称为条件概的概率，这个概率称为条件概率，记为率，记为P P（A|BA|B）. .P P（A|BA|B）= = = .= = = .这虽然是一个特殊的例子，但是容易这虽然是一个特殊的例子，但是容易 验证对一般的古典概型，只要验证对一般的古典概型，只要 P(B)0P(B)0上上 述等式总是成立的，同样对几何概率上述述等式总是成立的，同样对几何概率上述 关系式也成立关系式也成立. .1 1、条件概率的定义、条件概率的定义定义定义1.4.11.4.1 若（若（,F,P,F,P）是一个概率空间）是
4、一个概率空间, ,BF,BF,且且P(B)0,P(B)0,对任意对任意A AF,F,称称 = =为在已知为在已知B B事件发生的条件下事件事件发生的条件下事件A A发生的条件概发生的条件概率率. .性质性质不难验证条件概率不难验证条件概率 具有概率的三个基本性质具有概率的三个基本性质1 1）非负性：）非负性：A AF,F, ; ;2 2）规范性： ）规范性： ; ;3 3）可列可加性： 可列可加性： F F ，且 ，且 互不相容，有互不相容，有由此可知由此可知, ,对给定的一个概率空间（对给定的一个概率空间（, F, P, F, P）和事件和事件B BF,F,如果如果P(B)P(B)，则条件概
5、率，则条件概率 也是也是（，F F）上的一个概率测度）上的一个概率测度, ,特别，特别，当时当时 ，就是原来就是原来 的概率测度的概率测度, ,所以不妨将原来的所以不妨将原来的概率看成条件概率的极端情形，还可以验证：概率看成条件概率的极端情形，还可以验证：4 4）5 5）6 6）由条件概率的定义可知，当由条件概率的定义可知，当P(A)0P(A)0时，时，P(AB)=P(AB)=乘法公式乘法公式P(A)P( ),P(A)P( ),同理同理, ,当当P(B)0P(B)0时时,P(AB)= P(B)P( ). ,P(AB)= P(B)P( ). 这个公式称为乘法公式乘法公式可以推广到个事这个公式称为
6、乘法公式乘法公式可以推广到个事 件的情形，件的情形，= =例例1.4.2 1.4.2 甲、乙两市都位于长江下游甲、乙两市都位于长江下游 ，据一百多年来的气象记录，知道在一年中，据一百多年来的气象记录，知道在一年中 的雨天的比例甲市占的雨天的比例甲市占20%20%，乙市占，乙市占18%18%，两地，两地 同时下雨占同时下雨占12%.12%.记记 A=A=甲市出现雨天甲市出现雨天,B=,B= 乙市出现雨天乙市出现雨天. .求：求：1 1）两市至少有一市）两市至少有一市 是雨天的概率；是雨天的概率；2 2）乙市出现雨天的条件下）乙市出现雨天的条件下 ，甲市也出现雨天的概率；，甲市也出现雨天的概率；3
7、 3）甲市出现雨）甲市出现雨 天的条件下，乙市也出现雨天的概率天的条件下，乙市也出现雨天的概率. .解解:1:1） 2 2） ; ;3 3） . .此例表明，甲乙两市出现雨天是有联系的此例表明，甲乙两市出现雨天是有联系的. .例例1.4.3 1.4.3 （抽签问题）有一张电影票，（抽签问题）有一张电影票，7 7个个 人抓阄决定谁得到它，问第个人抓到票的概率人抓阄决定谁得到它，问第个人抓到票的概率 是多少？是多少？ （i=1i=1，2 2，7 7）解解 : :设设 = =第第i i个人抓到个人抓到票票, , 显然显然 , ,如果第二个人抓到票的话如果第二个人抓到票的话, ,必须第一个人没有抓到票
8、必须第一个人没有抓到票. .这就是说这就是说 , ,所以所以 , ,于是可以利用概率的乘法公式，因为在第一个人于是可以利用概率的乘法公式，因为在第一个人 没有抓到票的情况下，第二个人有希望在剩下的没有抓到票的情况下，第二个人有希望在剩下的6 6 个阄中抓到电影票，个阄中抓到电影票，所以所以，类似可得类似可得注意注意：抽签问题或抓阄问题大家机会均等抽签问题或抓阄问题大家机会均等, ,不不 必争先恐后必争先恐后. .先看一个具体例子先看一个具体例子例例1.4.4 1.4.4 有外形相同的球分别装两个袋子有外形相同的球分别装两个袋子 ，设甲袋有，设甲袋有6 6只白球，只白球，4 4只红球，乙袋中有只
9、红球，乙袋中有3 3只只 白球白球6 6只红球，现在先从每袋中各任取一球再只红球，现在先从每袋中各任取一球再 从取出的二球中任取一球，求此球是白球的概从取出的二球中任取一球，求此球是白球的概 率率. .全概率公式全概率公式解解: : 令令B=B=最后取出的球是白球最后取出的球是白球, ,显然导致显然导致B B发发 生的生的“ “原因原因” ”可能是取出的二球中有可能是取出的二球中有0 0只或只或1 1只或只或2 2 只白球只白球, ,因此因此, ,如果令如果令 = =先取出的二球有只白先取出的二球有只白 球球 ， i=0i=0，1 1，2.2.则则B B= = B B B B B B由概率的有
10、限可加性由概率的有限可加性P P( (B B)=)=P P( (B B )+ )+ P P( (B B )+ )+ P P( (B B ) ) 在由乘法公式在由乘法公式P(B)= P(B| )P( )+ P(B| )P( )+ P(B| )P( )P(B)= P(B| )P( )+ P(B| )P( )+ P(B| )P( )= .= .上例中采用的方法是概率论中颇为有用的上例中采用的方法是概率论中颇为有用的 方法，为了求比较复杂事件的概率，往往可以方法，为了求比较复杂事件的概率，往往可以 先把它分解为两个（或若干个）互不相容的较先把它分解为两个（或若干个）互不相容的较 简单的事件的并，求出这
11、些较简单事件的概率简单的事件的并，求出这些较简单事件的概率 ，再利用加法公式，即所要求的复杂事件的概，再利用加法公式，即所要求的复杂事件的概 率，将这种方法一般化便得到下述定理：率，将这种方法一般化便得到下述定理： 定理定理1.4.11.4.1 设设 , , , , 是一列互不相容的事是一列互不相容的事件，且有件，且有 = ,= ,（亦称（亦称 , , ， 为样本空为样本空 间间 的一个剖分），则对任何事件的一个剖分），则对任何事件A A，有，有 P(A)= P(A)= 证明：因为证明：因为 由由 , , ， 是是 一列互不相容的事件，可得一列互不相容的事件，可得A A , ,A A ， 是互
12、是互不相容的不相容的, ,所以由有限可加性可得所以由有限可加性可得 再由乘法公式再由乘法公式 代入上式得到代入上式得到P(A)= P(A)= 对于全概率公式，我们要注意以下三点对于全概率公式，我们要注意以下三点: : （1 1）全概率公式的最简单形式）全概率公式的最简单形式, ,如果如果 ， 则则 （2 2）全概率公式可以推广到可列个事件的情形）全概率公式可以推广到可列个事件的情形 ，即设，即设 , , ， . . 是一列互不相容的事是一列互不相容的事 件，且有件，且有 ， = = ，则对任，则对任 何事件何事件A A，有，有P(A)= .P(A)= .（3 3）条件）条件 , , ， . .为样本空间为样本空间 的一个分的一个分 割，可改写为割，可改写为 , , ， . .互不相容互不相容, ,且且 , , 全概率公式仍然成立全概率公式仍然成立。解解: : 设设 “ “从出厂的产品中任取一件，为第条从出厂的产品中任取一件，为第条 流水生产线的流水生产线的” ” . .A= A=“ “从出厂的产品中任取一件，抽到的恰好为从出厂的产品中任取一件，抽到的恰好为 不合格品不合格品” ”. .由题意知由题意知例例1.4
