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1、一、概率初步1、随机事件与概率2、用列举法求概率知识结构随机事件必然事件不可能事件概率0P(A)1P(A)=0P(A)=1刻画随机事 件发生可能 性的大小1、随机事件与概率学点1：必然事件、不可能事件和随机事件无需通过试验就能够预先确定它们在每一次实验中都一定会发生的 事件为必然事件；在每一次实验中都一定不会发生的事件为不可能事件；一些事件不是在每一次实验中都发生，也不是在每次试验中都不发 生，而是有时发生，有时不发生，像这样无法确定在每一次试验中会不会 发生的事件，我们称它们为不确定事件或随机事件。学点博览学点学点2 2：概率：概率随机事件在一次实验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复
2、试验的 情况下，它的发生会呈现出一定的规律，一般地，在大量重复进行同一试验时， 事件A发生的频率m/n 总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数 叫做事件A的概率，记作P(A)。考点1：必然事件、不可能事件和随机事件的确定例1指出下列事件中哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件。 同性电荷，相互排斥； 若a、b都是实数，则a+b=b+a； 掷一枚均匀的普通正方体骰子，骰子通知后朝上的点数是偶数； 投掷一枚硬币，掷得的结果不是正面就是反面； 打开电视，正在播广告； 早晨的太阳从东方升起。解答 据物理学原理“同性电荷相互排斥”是必然事件； 若a、b为实数，则a、b满足加法交换律
3、，所以a+b=b+a为必然事件； 掷一枚骰子，朝上的点数可能是偶数，也可能是奇数，故为随机事件； 掷一枚硬币，结果只可能为正面或反面，没有其他情况出现，故其为必然事件； 打开电视，可能正在播广告，也可能播放其他节目，故为随机事件； “早晨的太阳从东方升起”是必然事件。考点2、概率的意义例2 已知抛一枚普通硬币掷得反面向上的概率为1/2，它表示（ ）A、连续抛掷硬币两次，则一定是一次正面向上，一次反面向上B、每抛掷硬币两次，就有一次是反面向上C、连续抛掷硬币200次，一定会出现100次反面向上D、大量反复抛掷硬币，平均每两次会出现一次反面向上 下列说法正确的是（ ）A、一枚质地均匀的骰子已连续抛
4、掷了2000次，其中，抛掷出5点得次数最少 ，则第2001次一定抛出5点B、某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票一定会中奖C、天气预报说明天下雨的概率是50%，所以明天将有一半时间在下雨D、抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等方法规律 相同的条件下，一个事件发生的概率是一个常数，是由事件固 有的属性决定的，与上一次试验结果无关DD*能力拓展请问下列事件中，哪些是确定事件？哪些是不确定事件？哪些是不可能事件、必然事 件？随机地从第一个盒子中取出一个球，是黄色的；随机地从第一个盒子中取出六个球，则其中一定有红色的球；随机地从第二个盒子中取出两个球，都是白球；随机地从第二个盒子中
5、取出四个球，则两种颜色的球都有；随机地从第三个盒子中取出三个球，则一定有黑色的球；随机地从这三个盒子中各取出两个球，那么取出的六个球都是黄色的球盒子第一个盒第二个盒第三个盒盒子中的球4个红球 3个白球 2个黄球1个白球 1个黄球5个黑球 2个红球 2个白球例3现有三个盒子，里面放着一些只有颜色不同的小球解答 第一个盒子中有红、白、黄三种颜色的球，随机从中取出一个球，这三种 颜色的球都可能被取出，故取出黄色球是可能发生的，为不确定事件；第一个盒子中共有9个球，白球和黄球只有5个若取出6个球，则必然有红 球被取出，故其为确定事件（必然事件）；随机从第二个盒子中取出两个球，可以都是白色的，也可以都是
6、黄色的， 也可能为一个白球、一个黄球，故为不确定事件；随机从第二个盒子中取出四个球，可以都是白色或黄色的，也可能两种颜 色都有，故为不确定事件；第三个盒子中红球与白球共4个，随机从第三个盒子中取三个球，可能为 红球与白球，不一定有黑球，故其为不确定事件；从三个盒子中各取两个球，二第三个盒子中没有黄色的球，则这6个球中 必然有两个球不是黄色的，故其为确定事件（不可能事件）。方法规律确定事件包括必然发生的事件和不可能发生的事件，而不确 定事件也称随机事件，有可能发生，也有可能不发生，解决此类问题 ，首先要明确不同事件的含义，然后再给出答案2、用列举法求概率知识结构古典概型直接列举列表列举画树状图列
7、 举概率学点博览学点学点1 1：古典概型试验的特征：古典概型试验的特征 对于某些特殊类型的试验，实际上不需要做大量重复的试验，而通过列举法进行 分析就能得到随机事件的概率； 这类特殊类型的试验一般具有以下两个共同的特点： 一次试验中，可能出现的结果是有限多个； 一次试验中，各种结果的可能性相等。 具有这些特点的试验称为古典概型学点学点2 2：用列举法求随机事件的概率：用列举法求随机事件的概率一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等 ，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P(A)=m/n； 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重
8、复不 遗漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法； 当一次试验要涉及三个或更多因素时，为了不重复不遗漏地列出所有可能的结 果，通常采用树形图。考点1：用直接列举法求概率例1某电视台的娱乐节目有这样的翻奖游戏：牌的正面为数字，背面写有祝 福语或奖金数，如下面的两个表格，游戏的规则是：参加游戏的人可随意翻动一 个数字牌，看背面对应的内容，就可以知道是得奖还是得到祝福语。123456789牌的正面牌的背面祝你开心万事如意奖金1000元身体健康心想事成奖金500元奖金100元生活愉快谢谢参与求“翻到奖金1000元”的概率； 求“获得奖金”的概率。点拨一共有9张牌，则所有等可能的情况只有9种，因此只要弄清
9、楚各事件包含了哪几种 可能的情况，就可以算出该事件的概率。解答 一共有9种等可能情况，“翻到奖金1000元”只有一种情况，则P(翻到奖金1000元)=1/9； 一共有9种等可能情况，“翻到奖金”包含了3种情况，则P(翻到奖金)=1/3。当某个事件是一步可完成的试验，我们就可以直接列举 在一次试验中所有的等可能结果n，以及所求事件包含的 结果数m，从而可以计算出所求事件的概率。考点考点2 2：用列表法求概率：用列表法求概率如果每次试验包含两步或两步以上，每一步产生的结果数比较多 ，那么，用简单的列举法就有些捉襟见肘了。这时可以用一种比 较方便的列举方法-列表法，这种方法适合在两步的试验中，每 一
10、步出现的结果比较多的情况，采用这种方法可以一目了然地看 出可能出现的所有结果个数。例2如图2-1，有两个可以自由转动的均匀转盘，转盘A被分成面积相等的三个扇形， 转盘被分成面积相等的四个扇形，每个扇形内都涂有颜色，同时转动两个转盘，停止转 动后，若一个转盘的指针指向红色，另一个转盘的指针转向蓝色，则配成紫色；若其中一 个指针指向分界线时，需要重新转动两个转盘：用列表的方法，求同时转动一次转盘、B配成紫色的概率；小强和小丽要用这两个转盘做游戏，他们想出如下两种游戏规则：转动两个转盘，停止后配成紫色，小强获胜；否则小丽获胜；转动两个转盘，停止后指针都指向红色，小强获胜；指针都指向蓝色，小丽获胜。判
11、断以上两种规则的公平性，并说明理由。转盘A转盘B点拨 用列表法来求概率，横栏列举转盘A出现的结果，竖栏列举转盘B出现的结果； 分别求出两种规则的概率可说明它们的公平性。解答 用列表表示所有可能出现的结果：转盘B 转盘A红红蓝蓝红（红，红）（红，红）（红，蓝）（红，蓝）黄（黄，红）（黄，红）（黄，蓝）（黄，蓝）蓝（蓝，红）（蓝，红）（蓝，蓝）（蓝，蓝）由列表可知，转盘A、B同时转动一次会出现12种等可能的情况，其中有4种可配成紫 色。P(配成紫色)=4/12=1/3由可知，P(配不成紫色)=8/12=2/3 P(配成紫色) 而P(都指向红色)=2/12=1/6，P(都指向蓝色)=2/12=1/6
12、，规则是公平的考点3：画树状图求概率当试验涉及到三个或三个以上的步骤，且可能出现的结 果较多时，为了不重复，不遗漏列举出所有等可能结果 ，通常利用画树状图发来列举。例3田忌赛马是一个为人熟知的故事，传说战国时期，齐王与田忌各有上、中、下三匹马 ，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强。有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛 三局，每局各出一匹马，每匹马赛一次，赢得两局者为胜。看样子田忌似乎没有什么胜算 了，但是田忌的谋士了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、下等马要强如果齐王将马按上中下的顺序出阵比赛，那么田忌的马如何出阵，田忌才能获胜？ 如果齐王将马按上中下的顺序出阵比赛，而田忌的马随机比赛，
13、田忌获胜的概率是多少 ？（要求写出双方对阵的所有情况）点拨 田忌在比赛中总体上处于劣势，但是也有获胜的机会，因为田忌的上、中等马分别 比齐王的中、下等马强，因此改变马的出场顺序，便可取胜； 用画树状图的形式可以确定田忌的马的随机出阵的情况，再与齐王的马进行比较， 便可计算出田忌获胜的概率。解答 由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的马按上中下顺 序出阵时，田忌的马按下上中的顺序出阵，田忌才能获胜。画树状图可得出田忌的马随机出阵情况：第一局第二局第三局上中下上上中下下中下下上中中上田忌的马的出阵情况共有6种，见下表：齐王的马上中下上中下上中下上中下上中下上中下田忌的马上中下上下中
14、中上下中下上下上中下中上与齐王的对阵中，只有一种对抗情况田忌能赢，所以田忌获胜的概率为1/6*能力拓展 例4某校有A、B两家餐厅，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一家餐厅用餐。 求甲、乙、丙三名学生在同一餐厅用餐的概率； 求甲、乙、丙三名学生中至少有一名在B餐厅用餐的概率。点拨本题适宜用列表法或画树状图法列出所有可能的结果，从而探求出甲、乙、丙三 人在同一餐厅用餐的概率，以及三人中至少有一人在B餐厅用餐的概率。解答所有可能出现的结果如下：甲乙丙结果AAA（A、A、A ）AAB（A、A、B ）ABA（A、B、A ）ABB（A、B、B ）BAA（B、A、A ）BAB（B、A、B ）BBA（B、
15、B、A ）BBB（B、B、B）甲、乙、丙三名学生在同一餐厅用餐的概率是1/4；甲、乙、丙三名学生中至少有一人在B餐厅用餐的概率是7/8。例5“石头、剪刀、布”是广为流传的游戏，游戏时比赛各方每次做“石头”、“剪 刀”、“布”中手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布 ”胜“石头”，同种手势或三种手势循环不分胜负，继续比赛。假如甲、乙、丙三人 每次都是等可能地做这三种手势，那么：一次比赛中三人不分胜负的概率是多少？比赛中一人胜，二人负的概率是多少？思维展示 三人不分胜负有两种情况：三人做同种手势或分别出石头、剪刀、布；一人胜、二人负的情况有：剪刀、布、布；石头、剪刀、剪刀；布
16、、石头、石 头。解答画树状图：甲乙丙剪刀石头 布剪 刀石 头布剪 刀石 头布剪刀石头 布剪刀石头 布剪刀石头 布石 头布剪 刀剪刀石头 布剪刀石头 布剪刀石头 布石 头布剪 刀剪刀石头 布剪刀石头 布甲乙丙甲乙丙共有27中等可能出现的结果，其中不分胜负的有：剪刀剪刀剪刀、石头石头石头、 布布布、剪刀石头布（6种）共9种，所以不分胜负的概率为9/27=1/3。共有27种等可能出现的结果，其中一人胜二人负的有：剪刀布布、剪刀剪刀石头、 剪刀石头剪刀、石头剪刀剪刀、石头石头布、布石头石头、布剪刀布、布布剪刀、石 头布石头共9种，所以一人胜二人负的概率为9/27=1/3。错误提示 解决本题时，有些同学认为可能的情况共有27中，其中不分胜负的有3种相同的手势 外每加上一种剪刀、石头、布共只
