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1、5.5 二次型及其标准形 一、二次型及其标准形的概念一、二次型及其标准形的概念 定义: 含有n个变量x1, x2, , xn的二次齐次函数 f(x1, x2, , xn) = a11x12+a22x22+annxn2 +2a12x1x2+2a13x1x3+2an-1,nxn-1xn 称为二次型. 当aij 是复数时, 称 f 为复二次型. 当aij 是实数时, 称 f 为实二次型. 只含有平方项的二次型f(x1, x2, , xn) = k1y12+k2y22+knyn2 称为二次型的标准形(或法式). 如果二次型的标准型的系数仅为1, 1, 0, 即 f(x1, x2, , xn) = y1
2、2+ +yp2 yp+12 yr2, 称为二次型的规范型.例如: f1(x1, x2, x3) = 2x12+4x22+5x324x1x2;f2(x1, x2, x3) = x1x2+x1x3+x2x3f3(x1, x2, x3)=x12+4x22+4x32 都为二次型, 而f3为二次型的标准形. 二、二次型的表示方法二、二次型的表示方法 对二次型 1. 用和号表示 f(x1, x2, , xn)=a11x12+a22x22+annxn2 +2a12x1x2+2a13x1x3+2an-1 nxn-1xn 取aji = aij , 则 2aij xi xj = aij xi xj + aji x
3、jxi , 于是 =a11x12+a12x1x2 +a1nx1xn +a21x2x2 + a22x22+a2nx2xn + +an1xnx1+an2xnx2+ +ann xn2f(x1, x2, , xn)2. 用矩阵表示 =x1(a11x1+a12x2 +a1nxn) +x2(a21x2+a22x2+a2nxn) + +xn(an1x1+an2x2+ +ann xn)f(x1, x2, , xn)则二次型可记作 f = xTAx, 其中A为对称矩阵.若记 三、二次型的矩阵及秩三、二次型的矩阵及秩 在二次型的矩阵表示中, 任给一个二次型, 就唯一 地确定一个对称矩阵; 反之, 任给一个对称矩阵
4、, 也可 唯一地确定一个二次型. 这样, 二次型与对称矩阵之间 存在一一对应的关系对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵, f 叫做对称矩阵A 的二次型, 对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩.例1: 写出二次型 f =x12+2x223x32+4 x1x26x2x3 的矩阵. 解:由 f =x12+2x223x32+4 x1x26x2x3, 得 a11=1, a22=2, a33=3, a12=a21=2, a13=a31=0, a23=a32=3.所以 四、化二次型为标准形四、化二次型为标准形 设对于二次型, 我们讨论的主要问题是: 寻求可逆的 线性变换, 将二次型化为标准形.记C=(cij),
5、则上述可逆线性变换可记作: x = Cy . 将其代入 f = xTAx, 得 f = xTAx = (Cy)TA(Cy) = yT(CTAC) y.定义: 设A, B为n阶矩阵, 若有可逆矩阵C使得 B=CTAC, 则称B为A的合同矩阵, 也称矩阵C为将A变 为B的合同变换矩阵.显然, 矩阵的合同关系也是等价的.结论: 任给可逆矩阵C, 令B=CTAC, 如果A为对称 矩阵, 则B也为对称矩阵, 且R(A)=R(B). 证明:当A为对称矩阵时, 即有A=AT, 于是 BT = (CTAC)T = CTATC = CTAC = B, 即B为对称矩阵.因为B=CTAC, 所以R(B)R(AC)R
6、(A); 又因为A=(CT)-1BC-1, 所以R(A)R(BC-1)R(B); 所以, R(A)=R(B).说明1: 二次型 f 经可逆变换 x=Cy 后, 其秩不变, 但 f 的矩阵由A变为B=CTAC;说明2: 要使二次型 f =xTAx经可逆变换 x=Cy 变成 标准形, 就是要使, yT(CTAC)y =k1y12+k2y22+knyn2也就是要使CTAC成为对角矩阵.由上节知, 对任意实对称矩阵A, 总有正交矩阵P, 使P-1AP =, 即PTAP =. 把此结论应用于二次型, 有定理8: 任给二次型 f =xTAx, 总有正交变换 y=Px, 使 f化为标准形:f = 1y12+
7、2y22+nyn2, 其中1, 2, ,n 是二次型 f 的矩阵A的特征值.用正交变换化二次型为标准形的具体步骤:1. 将二次型表示成矩阵形式 f = xTAx, 求出A;2. 求出A的所有特征值1, 2, , n ;3. 求出对应特征值i 的正交单位化的特征向量组, 从而有正交规范向量组 1, 2, , n ;4. 记P=(1, 2, , n ), 作正交变换x=Py, 则得 f 的 标准形:f = 1y12+2y22+nyn2 .如果需要将二次型的标准型f = yTy = 1y12+2y22+nyn2 化为规范型, 再作线性变换 y=Kz. 不妨设二次型 f 的秩 为r, 且 ir时, i
8、 0, ir时, i =0. 其中 则从而 f = yTy = zTKTKz 即KTK = diag例2: 将二次型 通过正交变换x=Py化成标准形. f =17x12+14x22+14x324x1x24x1x38x2x3解: 1. 写出对应的二次型矩阵. 2. 求A的特征值.= (18)2 (9)从而得A的特征值: 1=9, 2=3=18. 3. 求特征向量. 将1=9代入(AE)x=0得基础解系: 1=(1, 2, 2)T.将特征向量正交化:得正交向量组 取 1 = 1, 2 = 2,1 =(1/2, 1, 1)T, 2 =(2, 1, 0)T, 2 =(2/5, 4/5, 1)T.将2=
9、3=18代入(AE)x=0得基础解系: 2=(2, 1, 0)T, 3=(2, 0, 1)T.将正交向量组单位化, 令得4. 作正交变换.令于是所求正交变换为x=Py, 即且有 f = 9y12 + 18y22 +18y32 . 如果继续将其化为规范型, 则再作线性变换 y=Kz: 其中f = z12 + z22 + z32 .则其线性变换为: x=Py=PKz.f =2x1x2+2x1x32x1x42x2x3+2x2x4+2x3x4例3: 求一个正交变换x=Py, 把二次型 化为标准形. 解: 二次型的矩阵为 A的特征多项式为 计算特征多项式: 把二, 三, 四列都加到第一列上, 有 把二,
10、 三, 四行分别减去第一行, 有 从而得A的特征值: 1=3, 2=3=4=1. 当1=3时, 解方程组(A+3E)x=0, 得基础解系:单位化即得当2=3=4=1时, 解方程组(AE)x=0, 可得正交的 基础解系:单位化即得:于是正交变换为: x=Py, 其中P=(p1, p2, p3 , p4), 即且有 f = 3y12 + y22 + y32 + y42. 如果继续将其化为规范型, 则再作线性变换 y=Kz: 其中则其线性变换为: x=Py=PKz, 即f =xTAx=zT(KTPTAPK)z. f = z12 + z22 + z32 + z42.即五、小五、小 结结 1. 实二次型
11、的化简问题, 在理论和实际中经常遇 到, 通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关 系, 将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵, 而这是已经解决了的问题, 请注意这种研究问题的思 想方法.2. 实二次型的化简, 并不局限于使用正交矩阵, 根 据二次型本身的特点, 可以找到某种运算更快的可逆 变换. 下一节, 我们将介绍另一种方法拉格朗日配 方法.思考题解答思考题解答 二次型的矩阵为:求得特征多项式为: | AE | = (4)(9). 于是A的特征值为: 1 = 9, 2 = 4, 3 = 0. 对应特征向量为:思考题思考题: :化为标准型, 并指出f (x, y, z)=36表示何种二次曲面.求一正交变换, 将二次型 f(x, y, z)=5x2+5y2+3z22xy+6xz6yz 正交变换为:化二次型为 f = 9u2 +4v2. 可知 f (x, y, z) = 36 为椭圆柱面方程.将其单位化得 在o-xyz坐标系中的图形 在o-uvw坐标系中的图形
