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1、第5章 函数1第5章 函数 5.1 函数定义及其性质 5.2 函数的复合与反函数25.1 函数定义及其性质 5.1.1 函数的定义 函数定义 从A到B的函数 5.1.2 函数的像与完全原像 5.1.3 函数的性质 函数的单射、满射、双射性 构造双射函数3函数定义4定义5.1 设 f 为二元关系, 若 xdomf 都存在唯一的 yranf 使 x f y 成立, 则称 f为函数. 对于函数f, 如果有 x f y, 则记作 y=f(x), 并称 y 为 f 在 x 的值. 例如 f1=, f2=, f1是函数, f2不是函数 （1对1，多对1是函数； 1对多 不是函数）函数相等5定义5.2 设f
2、, g为函数, 则 f=g fggf 如果两个函数 f 和 g 相等, 一定满足下面两个条件：(1) domf = domg (2) xdomf = domg 都有 f(x) = g(x) 实例 函数f(x)=(x21)/(x+1), g(x)=x1 不相等, 因为 domfdomg. 从A到B的函数6定义5.3 设A, B为集合, 如果(1) f 为函数 (2) domf = A(3) ranf B, 则称 f 为从A到B的函数, 记作 f : AB. 实例 f : NN, f(x)=2x 是从 N 到 N 的函数 g : NN, g(x)=2也是从 N 到 N 的函数 B上A7定义5.4
3、所有从A到B的函数的集合记作BA, 读作“B上A”符号化表示为 BA = f | f : AB 计数：|A|=m, |B|=n, 且m, n0, |BA|=nm.A=, 则 BA=B=. A且B=, 则 BA=A= .实例8解 BA = f0, f1, , f7 , 其中 f0=, f1=, f2=, f3=, f4=, f5=, f6=, f7=, 例1 设A = 1, 2, 3, B = a, b, 求BA.重要函数的定义9定义5.5(1) 设f：AB, 如果存在 cB 使得对所有的 xA 都有 f(x)=c, 则称 f : AB是常函数.(2) 称 A 上的恒等关系 IA为 A 上的恒等
4、函数, 对所有的 xA 都有 IA(x)=x.(3) 设, 为偏序集，f : AB，如果对任意的 x1, x2A, x1x2, 就有 f(x1) f(x2), 则称 f 为单调递增的； 如果对任意的 x1, x2A, x1x2, 就有 f(x1) f(x2), 则称 f 为严格单调递增的. 类似的也可以定义单调递减和严格单调递减的函数.重要函数的定义(续)10(4) 设 A 为集合, 对于任意的 A A, A 的特征函数 A : A0,1 定义为实例：设A=a,b,c, A的每一个子集 A都对应于一个 特征函数, 不同的子集对应于不同的特征函数. 如 = ,，a,b = ,. 重要函数的定义(
5、续)11(5) 设 R 是 A 上的等价关系, 令 g : AA/R g(a) = a, aA称 g 是从 A 到商集 A/R 的自然映射.函数的性质12定义5.7 设 f : AB, （1）若ranf = B, 则称 f : AB是满射的. （2）若 yranf 都存在唯一的 xA使得 f(x)=y, 则 称 f : AB是单射的. （3）若 f : AB既是满射又是单射的, 则称 f : AB是双射的f 满射意味着：y B, 都存在 xA 使得 f(x)=y. f 单射意味着：f(x1)=f(x2) x1=x2 实例13给定集合 A 和 A 上的等价关系 R, 就可以确定一个自然 映射 g
6、 : AA/R. 不同的等价关系确定不同的自然映射, 其中恒等关系所确定的自然映射是双射, 而其他的自然 映射一般来说只是满射. 例如： A=1, 2, 3, 等价关系: R1=,IA 自然映射：g1(1) = g1(2) = 1,2, g1(3) = 3 等价关系：IA 自然映射：g2(1)=1, g2(2)=2, g2(3)=3函数的像与完全原像14定义5.6 设函数 f : AB, A1A, B1B,称f(A1) = f(x) | xA1 为A1 在 f 下的像，f(A) 称为函数的像. （值域的子集）f1(B1)= x | xA f(x)B1 为B1 在 f 下的完全原像. （定义域的
7、子集）注意:函数的像与值的区别：函数值 f(x)B, 像 f(A1)B. A1f1(f(A1)， f(f1(B1)B1. 实例1. 设 f : NN, 且令A=0,1, B=2, 那么有f(A) = f(0,1) = f(0), f(1) = 0, 2 f(B) = f(2) = 1 2. A=1, 2, 3, B=a, b, c, f=,，则f1(a,b) =1,2,3, f1(b,c) =3, 15实例 11,2=f1(a)= f1(f(1) f(f1(b,c)=f(3)=bb, c 函数的性质16定义5.7 设 f : AB, （1）若ranf = B, 则称 f : AB是满射的. （
8、2）若 yranf 都存在唯一的 xA使得 f(x)=y, 则 称 f : AB是单射的. （3）若 f : AB既是满射又是单射的, 则称 f : AB是双射的f 满射意味着：y B, 都存在 xA 使得 f(x)=y. f 单射意味着：f(x1)=f(x2) x1=x2 实例17例2 判断下面函数是否为单射, 满射, 双射的, 为什么?（1）f : RR, f(x)= x2+2x1（2）f : Z+R, f(x)=lnx, Z+为正整数集（3）f : RZ, f(x)=x（4）f : RR, f(x)=2x+1（5）f : R+R+, f(x)=(x2+1)/x, 其中R+为正实数集.实例
9、(续)18解 (1) f : RR, f(x)= x2+2x1 (2) f : Z+R, f(x)=lnx(3) f : RZ, f(x)= x(4) f : RR, f(x)=2x+1(5) f : R+R+, f(x)=(x2+1)/x 在x=1取得极大值0. 既不是单射也不是满射的.单调上升, 是单射的. 但不满射, ranf=ln1, ln2, .是满射的, 但不是单射的, 例如 f(1.5)=f(1.2)=1.是满射、单射、双射的, 因为它是单调函数并且ranf=R.有极小值f(1)=2. 该函数既不是单射的也不是满射的. 构造从A到B的双射函数19有穷集之间的构造例3 A=P(1,
10、2,3), B=0,11,2,3 解 A=,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3. B= f0, f1, , f7 , 其中 f0=, f1=, f2=, f3=, f4=, f5=, f6=, f7=,. 令 f : AB, f()=f0, f(1)=f1, f(2)=f2, f(3)=f3, f(1,2)=f4, f(1,3)=f5, f(2,3)=f6, f(1,2,3)=f7构造从A到B的双射函数(续)20实数区间之间构造双射构造方法：直线方程 例4 A=0,1 B=1/4,1/2构造双射 f : AB解 令 f : 0,11/4,1/2 f(x)=(x+1)/4 构造从A到
11、B的双射函数(续)21A与自然数集合之间构造双射方法：将A中元素排成有序图形，然后从第一个元素开始按照次序与自然数对应 例5 A=Z, B=N，构造双射 f : AB将Z中元素以下列顺序排列并与N中元素对应： Z：0 1 1 2 2 3 3 N：0 1 2 3 4 5 6 则这种对应所表示的函数是： 5.2 函数的复合与反函数 5.2.1 函数的复合 函数复合的基本定理及其推论 函数复合的性质 5.2.2 反函数 反函数存在的条件 反函数的性质22函数复合的基本定理23定理5.1 设f, g是函数, 则fg也是函数, 且满足(1) dom(fg)= x | xdomf f(x)domg(2)
12、xdom(fg) 有 fg(x) = g(f(x)证 先证明 fg 是函数. 因为 f, g 是关系, 所以 fg 也是关系.若对某个 xdom(fg)，xfgy1和 xfgy2, 则 fg fg t1(f g) t2(f g) t1t2 (t1=t2 g g) y1=y2所以 fg 为函数.证明再证明结论 (1) 和 (2) . 任取x, xdom(f g) t y (fg) t (xdomf t=f(x) tdomg) x x | xdomf f(x)domg 任取x, xdomf f(x)domg f g fg xdom(fg)fg(x)g(f(x)所以(1) 和 (2) 得证.24定理
13、5.1 设f, g是函数, 则fg也是函数, 且满足(1) dom(fg)= x | xdomf f(x)domg(2) xdom(fg) 有 fg(x) = g(f(x)推论推论1 设f, g, h为函数, 则(fg)h 和 f(gh)都是函数, 且(fg)h = f(gh) 证 由上述定理和关系合成运算的可结合性得证.推论2 设f : AB, g : BC, 则 fg : AC, 且xA都有 fg(x) = g(f(x). 证 由上述定理知 fg是函数, 且 dom(fg) = x | xdomf f(x)domg = x | xA f(x)B = A ran(fg) rang C 因此 fg : AC, 且xA 有 fg(x) = g(f(x). 25函数
