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1、1第第 6-3 课时课时 线性规划线性规划1二元一次不等式表示的平面区域 一般地，二元一次不等式 AxByC0 在平面直角坐标系中表示直线 AxByC0 某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界线，不等式 AxByC0 所表示的平面 区域(半平面)包括边界线 对于直线 AxByC0 同一侧的所有点(x、y)使得 AxByC 的值符号相同因此， 如果直线 AxByC0 一侧的点使 AxByC0，另一侧的点就使 AxByC0(或 AxByC0)所表示的平面区域时，只要在直线 AxByC0 的一侧任意取一点(x0，y0)，将它的坐标代入不等式，如果该点的坐标满足 不等式，不等式就表示该点所在一
2、侧的平面区域；如果不满足不等式，就表示这个点所在 区域的另一侧平面区域 由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部 分 2线性规划 基本概念名 称意 义线性约束条件由 x、y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组,是对 x、y 的 约束条件目标函数关于 x、y 的解析式如：z2xy，zx2y2等线性目标函数关于 x、y 的一次解析式可行解满足线性约束条件 x、y 的解（x，y）叫做可行解可行域所有可行解组成的集合叫做可行域最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 用图解法解决线性规划问题的一般步
3、骤： 设出所求的未知数； 列出约束条件(即不等式组)； 建立目标函数； 作出可行 域和目标函数的等值线； 运用图解法即平行移动目标函数等值线，求出最优解 （有些 实际问题应注意其整解性）例例 1. 若ABC 的三个顶点为 A(3，1)，B(1，1)，C(1，3)，写出ABC 区域（含边界） 表示的二元一次不等式组 解：解：由两点式得 AB、BC、CA 直线的方程并化简得 AB：x2y10，BC：xy20，CA：2xy50结合区域图易得不等式组为 05202012yxyxyx变式训练变式训练 1： ABC 的三个顶点为 A(2，4)、B(1，2)、C(1，0)，则ABC 的内部(含 边界)可用二
4、元一次不等式组表示为 010440832yxyxyx典型例题典型例题基础过关基础过关2例例 2. 已知 x、y 满足约束条件 0104011702357yxyxyx 分别求： z2xy z4x3y zx2+y2的最大值、最小值？ 解：解：在直角坐标系中作出表示不等式组的公共区域如图阴影部分 其中 A(4，1)， B(1，6)， C(3，2) (1) 作与直线 2xy0 平行的直线 l1：2xyt，则当 l1经过点 A 时，t 取最大，l1经过点 B 时，t 取最小zmax9 zmin13 (2) 作与直线 4x3y0 平行的直线 l2：4x3yt，则当 l2过点 C 时，t 最小，l2过点 B
5、 时， t 最大zmax14 zmin18 (3) 由 zx2y2，则z表示点(x，y)到(0，0)的距离，结合不等式组表示的区域知点 B 到原点的距离最大，当(x，y)为原点时距离为 0zmax37 zmin0 变式训练变式训练 2：给出平面区域如下图所示，目标函数 taxy， (1) 若在区域上有无穷多个点(x，y)可使目标函数 t 取得最小值，求此时 a 的值(2) 若当且仅当 x 32，y 54时，目标函数 t 取得最小值，求实数 a 的取值范围？解：解：(1)由 taxy 得 yaxt要使 t 取得最小时的(x，y)有无穷多个， 则 yaxt 与 AC 重合akAC 132054 5
6、12(2)由 KAC a KBC 得512 a103.例例 3. 某木器厂生产圆桌子和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种 72 立方米，第二种有 56 立方米，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌需用第一种木料 0.18 立方 米，第二种木料 0.08 立方米，可获利润 6 元，生产一个衣柜需用第一种木料 0.09 立方米， 第二种 0.28 立方米，可获利 10 元，木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜应各生产多少 才能使所获利润最多？ 解：解：设圆桌和衣柜的生产件数分别为 x、y，所获利润为 z，则： 005628. 008. 07209. 018. 0yxyxyx即 001400
7、728002yxyxyx则 z6x10y 作出可行域如图ACyxBxy (0,80 0)M (350,100 )(0,200)Ox0A(1,0 )C( , )32 54B(0,1 )y3由 1400728002 yxyx得 100350 yx即 M(350，100) 由图可知，当直线 l：6x10y0 平移到经过点 M(350，100)时，z6x10y 最大，即当 x350，y100 时， ，z6x10y 最大 变式训练变式训练 3：某厂要生产甲种产品 45 个，乙种产品 55 个，可用原料为 A、B 两种规格的 金属板，每张面积分别为 2m2和 3m2，用 A 种可造甲种产品 3 个和乙种产
8、品 5 个，用 B 种 可造甲、乙两种产品各 6 个问 A、B 两种产品各取多少块可保证完成任务，且使总的用 料(面积)最小 解：解：设 A 种取 x 块，B 种取 y 块，总用料为 z m2，则 55654563 yxyxz2x3y (x、yN) 可行域如图： 最优解为 A(5，5)，x5，y5 时，zmin25，即 A、B 两种各取 5 块时可保证完成任务， 且总的用料(面积)最省为 25m2 例例 4. 预算用 2000 元购买单价为 50 元桌子和 20 元的椅子，希望桌子的总数尽可能的多， 但解：解：椅子的总数不能少于桌子的总数，但不多于桌子数的 1.5 倍，问桌椅各买多少才合 适？
9、 设桌椅分别买 x、y 张，由题意得：200020505 . 100yxxyyxyx由 20002050yxyx解得： 72007200yx 点 A(7200，7200)由 200020505 . 1yxxy解得 27525yx 点 B(25，275)满足以上不等式组表示的区域是以 A、B、O 为顶点的AOB 及内部设 xyz，即yxz；当直线过点 B 时，即 x25，y275，z 最大 yz，y37买桌子 25 张，椅子 37 张是最优选择 变式训练 4：A1、A2两煤矿分别有煤 8 万吨和 18 万吨，需通过外运能力分别为 20 万吨和 16 万吨的 B1、B2两车站外运，用汽车将煤运到车
10、站，A1的煤运到 B1、B2的运费分别为 3 元/吨和 5 元/吨，A2的煤运到 B1、B2的运费分别为 7 元/吨和 8 元/吨，问如何设计调运方 案可使总运费最少？AxylO5154解：设 A1运到 B1 x 万吨，A2运到 B1 y 万吨，总运费为 z 万元，则 A1运到 B2(8x)万吨， A2运到 B2(18y)万吨，z3x5(8x)7y8(18y) 1842xy，x、y 满足 1808016)18()8(20yxyxyx可行域如图阴影部分 当 x8 时，y12 时，zmin156 即 A1的 8 万吨煤全运到 B1，A2运到 12 万吨运到 B1，剩余 6 万吨运到 B2，这时总运费最 少为 156 万元1二元一次不等式或不等式组表示的平面区域： 直线确定边界； 特殊点确定区域 2线性规划实际上是“数形结合”的数学思想的体现，是一种求最值的方法 3把实际问题抽象转化为数学问题是本节的重难点，求解关键是根据实际问题中的已知条 件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解而在考虑约束条件时，除数学概 念的条件约束外，还要深入其境、考虑实际意义的约束4解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图尽可能精确，图上操作尽可能规范。但最优点不易辨别时，要逐一检查.xyA(8, 12)l1O102018小结归纳小结归纳
